巧思維切入,妙方法破解
——以一道高考題為例

劉晨玉

江蘇省張家港市樂余高級中學(xué)

雙變元代數(shù)式的最值(最大值或最小值)或取值范圍問題,是天津高考試卷中一副不變的熟悉“面孔”,創(chuàng)新新穎,?？汲Ｐ?破解此類問題,結(jié)合雙變元代數(shù)式的基本特征,借助基本不等式思維、函數(shù)或方程思維、導(dǎo)數(shù)思維或其他重要不等式思維等加以切入與破解,合理融合基本不等式、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法,巧妙處理,正確破解.

1 真題呈現(xiàn)

2 真題剖析

此題以兩個正參數(shù)所對應(yīng)的代數(shù)式為問題背景,進而確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.題目代數(shù)關(guān)系式中兩參數(shù)之間沒有明顯的線性聯(lián)系,又不具有明顯的對稱性,剖析兩參數(shù)之間的次數(shù)、加減與乘積等方面的關(guān)系,為進一步破解問題提供條件.

結(jié)合所求解的代數(shù)關(guān)系式的特征,合理配湊,巧妙拆分,整體設(shè)參,正確構(gòu)建等,借助基本不等式思維、其他重要不等式思維、函數(shù)或方程思維、導(dǎo)數(shù)思維等,合理轉(zhuǎn)化,巧妙變換,進而得以確定相應(yīng)的代數(shù)式的最值問題.

3 真題破解

思維視角一：不等式思維.

方法1：兩步基本不等式法1.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征,利用基本不等式,分兩步來處理,第一步先消去參數(shù)a,結(jié)合代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化再進行第二步消參數(shù)b,進而得以確定代數(shù)式的最值.抓住代數(shù)式的基本特征,合理分步,巧妙借助基本不等式兩步走,合理消參,確定最值.

方法2：兩步基本不等式法2.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征,巧妙配湊,合理分拆,借助合理的分配與組合,分別利用基本不等式,變形轉(zhuǎn)化后再次利用基本不等式來處理,進而得以確定代數(shù)式的最值.抓住代數(shù)式的基本特征,合理分拆與分步,巧妙借助基本不等式,保留參數(shù),巧妙兩步走,確定最值.

方法3：均值不等式法.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征,巧妙配湊,合理分拆,利用代數(shù)式進行巧妙平均拆分處理,結(jié)合拆分后所對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式,巧妙利用四次均值不等式,進而得以確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.抓住代數(shù)式的基本特征,巧妙配湊,合理分拆,巧妙借助均值不等式,直接確定最值.

思維視角二：方程思維.

方法4：待定系數(shù)法.

要使得關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解,則需滿足b3-tb2<0且Δ=(b3-tb2)2-4b2≥0.

整理,可得b3-tb2<0且(b3-tb2)2≥4b2.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式進行待定系數(shù)法處理,將問題方程化,結(jié)合關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解,建立對應(yīng)的不等式,分離參數(shù),利用基本不等式來確定參數(shù)t的最小值,進而得以求解代數(shù)式的最值問題.引入?yún)?shù)進行待定系數(shù)法處理,結(jié)合方程思維,利用不等式的求解以及基本不等式的應(yīng)用來巧妙破解.

思維視角三：導(dǎo)數(shù)思維.

方法5：導(dǎo)數(shù)法.

當(dāng)a>b時,f′(a)>0,f(a)單調(diào)遞增;

當(dāng)a

故f(a)在(0,b)上單調(diào)遞減,在(b,+∞)上單調(diào)遞增.

點評：通過構(gòu)造函數(shù),結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)運算,利用導(dǎo)函數(shù)的零點確定函數(shù)的最值,進而確定此時對應(yīng)的最值關(guān)系式,利用基本不等式確定相應(yīng)的最值問題.導(dǎo)數(shù)法處理代數(shù)式的最值問題,是破解此類最值問題常見的思維方式,導(dǎo)數(shù)思維是解決函數(shù)最值問題的基本思維方法之一.

4 教學(xué)啟示

破解雙變量或多變量代數(shù)式的最值問題,結(jié)合代數(shù)式的特征,合理借助不等式思維、函數(shù)與方程或?qū)?shù)思維等,合理配湊,巧妙拆分,整體設(shè)參,正確構(gòu)建,利用不同的思維方式加以分析與破解.

(1)首選不等式思維

破解雙變量或多變量關(guān)系條件下的代數(shù)式最值問題,關(guān)鍵是借助已知條件中的關(guān)系式,合理恒等變形,巧妙運算轉(zhuǎn)化,結(jié)合不等式思維,特別是基本不等式以及不等式性質(zhì)等加以合理轉(zhuǎn)化與處理,進而直接確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.

(2)函數(shù)與方程或?qū)?shù)思維

函數(shù)與方程思維或?qū)?shù)思維,也是破解雙變量或多變量關(guān)系條件下代數(shù)式最值問題的基本思維方式.通過函數(shù)與方程思維加以轉(zhuǎn)化,或利用函數(shù)思維,結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解;或利用方程思維,結(jié)合判別式的應(yīng)用加以處理;或利用導(dǎo)數(shù)思維,通過求導(dǎo)來確定單調(diào)性、極值與最值等來分析與處理.

(3)拓展思維,形成能力

對于此類問題,要合理挖掘其豐富內(nèi)涵,不斷探究反思,舉一反三,靈活變通,學(xué)會變式拓展,探究提升,真正達到融會貫通.從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等層面融合,形成數(shù)學(xué)知識體系,轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力,有效應(yīng)用于相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題中,真正形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì),有效提高數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).