指數(shù)函數(shù)背景創(chuàng)設(shè),復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用

顧 艷

江蘇省宜興中學(xué)

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)是指結(jié)合指數(shù)函數(shù)的概念、基本知識(shí)與簡(jiǎn)單函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)等)復(fù)合而成的新函數(shù).解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用問(wèn)題,通常借助函數(shù)的解析式、相關(guān)概念、基本性質(zhì)、函數(shù)圖象等,結(jié)合相關(guān)的思維技巧,合理轉(zhuǎn)化,巧妙變換,將復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的分析與解決,提升學(xué)生的思維能力.

1 性質(zhì)問(wèn)題

1.1 函數(shù)的單調(diào)性

分析：根據(jù)題意,對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理,合理構(gòu)建函數(shù),通過(guò)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的配方處理,先確定二次函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律解決問(wèn)題.

解析：令t=x2-2x-1,則函數(shù)t=(x-1)2-2在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

故填答案:(-∞,1).

點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以利用復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)的不同單調(diào)性情況,概括為“同增異減”這一基本規(guī)律.特別要注意的是,在解決復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí),一定要注意“定義域優(yōu)先”的基本原則,同時(shí)熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性,在相應(yīng)的定義域內(nèi)加以分析與討論.

1.2 函數(shù)的值域

A.(0,16] B.[16,+∞)

分析：根據(jù)題意,對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理,引入?yún)?shù)構(gòu)建二次函數(shù),并通過(guò)配方處理確定二次函數(shù)的值域;結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義域、函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)分析與處理.

解析：設(shè)u=x2-6x+5,且u=x2-6x+5=(x-3)2-4≥-4.

故選:A.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)分解復(fù)合函數(shù),利用內(nèi)、外層函數(shù)之間的關(guān)系,結(jié)合內(nèi)層函數(shù)的解析式確定其值域,再通過(guò)“由內(nèi)到外”來(lái)求解相應(yīng)的值域即可.在解決指數(shù)函數(shù)背景下的復(fù)合函數(shù)的值域或最值問(wèn)題時(shí),可以按照“由內(nèi)到外”的順序研究復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)值域A與外函數(shù)定義域B之間的關(guān)系,保證內(nèi)函數(shù)值域A是外函數(shù)定義域B的子集,再結(jié)合條件中相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)加以分析與求解.

2 常數(shù)問(wèn)題

例3已知函數(shù)f(x)=aex2-1-1,a為常數(shù),若函數(shù)y=f(x)的最小值為0,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.

分析：根據(jù)題意,對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理,引入?yún)?shù)構(gòu)建二次函數(shù),進(jìn)而確定二次函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì),分別討論a=0,a<0和a>0時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行分析,進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)最小值的關(guān)系式,得以確定對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的值.

解析：設(shè)u=x2-1,則函數(shù)u=x2-1在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又指數(shù)函數(shù)y=eu是R上的增函數(shù),所以分類討論如下.

當(dāng)a=0時(shí),可得f(x)=-1恒成立,不符合題意,舍去.

當(dāng)a<0時(shí),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)f(x)=aex2-1-1在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)f(x)在x=0處有最大值,無(wú)最小值,不符合題意,舍去.

綜上所述,函數(shù)y=f(x)最小值為0時(shí),a=e.

故填答案:e.

點(diǎn)評(píng)：抓住常數(shù)的不同取值情況以及常數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分類討論,利用常數(shù)的正負(fù)取值情況對(duì)復(fù)合函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性的影響,結(jié)合相關(guān)的概念與基本知識(shí)加以綜合與應(yīng)用.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及基本初等函數(shù)的基本性質(zhì),是破解此類綜合應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

3 應(yīng)用性問(wèn)題

表1

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);

(2)求函數(shù)f(x)的最大值.

分析：根據(jù)情境內(nèi)容,通過(guò)分類討論,在自變量不同的取值情況下,結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型利用待定系數(shù)法求解,得以確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并利用不同變量取值情況下,二次函數(shù)的最值以及指數(shù)型函數(shù)背景下復(fù)合函數(shù)的最值情況,得以確定函數(shù)的最大值.

解析：(1)當(dāng)0≤x<6時(shí),由題意,設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由題中表格數(shù)據(jù)可得

綜上,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

而4>3,所以函數(shù)f(x)的最大值為4.

點(diǎn)評(píng)：在解決涉及復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用性問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是借助對(duì)相關(guān)文字內(nèi)容的理解,合理構(gòu)建數(shù)學(xué)中的相關(guān)模型,為問(wèn)題的進(jìn)一步綜合與應(yīng)用提供條件.研究分段函數(shù)背景下的最值問(wèn)題,要分別討論自變量在不同取值范圍下對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍情況,然后加以綜合.

復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用與創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)知識(shí)交匯點(diǎn)與融合點(diǎn),也是一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn),是每年新高考數(shù)學(xué)試卷中必考的重點(diǎn)基本內(nèi)容之一.借助指數(shù)函數(shù)背景來(lái)創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)情境,結(jié)合指數(shù)函數(shù)自身的特點(diǎn)與性質(zhì),并綜合復(fù)合函數(shù)的相關(guān)知識(shí),滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,優(yōu)化數(shù)學(xué)解題思維,提升數(shù)學(xué)解題能力,全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).