復數場景創設,幾何意義應用

孫寶慶

山東省華僑中學

1 復數中的概念問題

例1在復平面內,復數z=-sin 2-icos 2的共軛復數所對應的點位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：根據題設條件,結合三角函數的概念、性質,確定對應三角函數值的正負,再利用共軛復數的概念,進而確定對應復數的實部與虛部的正負,利用復數的幾何意義等判斷相應點的位置.

解析：因為2弧度對應的角的終邊在第二象限,則有sin 2>0,cos 2<0.

故選:C.

點評：借助復數的幾何意義,合理構建起復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內的對應點的坐標Z(a,b),結合復數的概念,利用點Z(a,b)所滿足的條件來判斷復數所對應的點的幾何特征等.涉及復數的基本概念問題,要充分把握概念的實質,挖掘概念的內涵,不要產生混淆,否則容易出錯.

2 復數中的線性運算問題

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：根據題設條件,結合兩復數所對應的向量的終點均在第四象限,利用復數的幾何意義以及對應的復數的加法運算,從幾何視角來直觀分析與處理,進而確定兩復數的和所對應的向量的終點位置.

故選:D.

另解：設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

由題意可知,復數z1對應的點在第四象限,則a>0,b<0.

同理c>0,d<0.

又z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,所以a+c>0,b+d<0.

點評：直接抓住復數加法運算的幾何意義,從“形”的視角切入,將復數問題轉化為對應的向量問題,直觀明了,易于分析.特別地,涉及兩個復數的加法運算,借助對應的幾何意義解題時,既可以使用平行四邊形法則,也可以使用三角形法則.

3 復數中的綜合運算問題

例3復數z=1+i在復平面內對應的點為A,將點A向右平移一個單位長度得到點B,將點B繞坐標原點按逆時針方向旋轉90°得到點C,再將點C向上平移一個單位長度得到點D,則點D所對應的復數為______.

分析：根據題設條件,結合復數的幾何意義,由條件中給出的復數確定對應點A的坐標,利用復平面內點的平移變換、旋轉變換等依次確定對應點的坐標,進而由點的坐標還原對應的復數.

解析：依題意可知,點A為(1,1),將點A向右平移一個單位得到點B(2,1),而將點B繞坐標原點按逆時針方向旋轉90°得到點C,結合對稱性知,點C為(-1,2),再將點C向上平移一個單位長度得到點D(-1,3).

所以點D所對應的復數為-1+3i.

故填答案:-1+3i.

點評：熟練掌握平面直角坐標系中點的平移變換、旋轉變換(以90°旋轉等)、對稱變換(以坐標原點為對稱中心的中心對稱變換,以坐標軸、象限的角平分線等為對稱軸的軸對稱變換)等,巧妙融入復數或平面向量的相關知識,借助復數的幾何意義加以綜合.

4 復數的綜合問題

例4已知復數z=3+ai(a∈R),且滿足|z|<4,則實數a的取值范圍是______.

分析：根據題設條件,結合復數的模的條件,可以從代數思維與幾何思維視角切入,分別通過模的代數運算與不等式求解,以及復數的幾何意義的應用等來分析與解決,各有千秋,殊途同歸.

解法一：代數思維.

解法二：幾何思維.

如圖1所示,由|z|<4知,復數z在復平面內對應的點在以原點為圓心,以4為半徑的圓內(不包括邊界).

圖1

點評：涉及復數的模的綜合問題,有其“數”的基本屬性,也有其“形”的結構特征,具有對應的幾何意義.借助復數的幾何意義來解決一些與復數的模相關的綜合問題,可以進一步拓展復數中的代數本質,以更直觀形象的視角來挖掘復數中的幾何內涵,為綜合問題的解決提供更加廣闊的空間.

5 復數的創新問題

例518世紀末,挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數,使復數及其運算具有了幾何意義,例如|z|=|OZ|,也即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離.已知復數z滿足|z|=1,i為虛數單位,則|z+3-4i|的最小值為______.

分析：根據題設條件,由題設場景中給出的復數z的模的幾何意義,將復數問題轉化為對應的幾何問題,利用圖形直觀,結合點與圓的位置關系加以分析與判斷,進而確定相應的最值問題.

解析：依題意可設z=x+yi(x,y∈R).

由題意可知|z|=1,利用復數的模的概念可知,x2+y2=1,其幾何意義為以O(0,0)為圓心,半徑為r=1的圓.

故填答案:4.

點評：我們知道,復數的概念、復數的模、復數的四則運算等都具有各自對應的幾何意義,有其“形”的幾何特征,充分挖掘并利用這些相關要素的幾何意義,可以很好地將相應的“代數”問題巧妙轉化為“幾何”問題,從不同思維視角、不同知識層面等方面來分析、解決問題,實現問題的突破與應用.

復數的幾何意義是復數中的“數”與幾何中的“形”之間銜接的橋梁,是“數”與“形”結合的體現.通過復數幾何意義的引入與應用,淡化了繁瑣的數學運算和技巧方法訓練,可以更好地體會數學體系的建構過程、數形結合思想以及理性思維在數學發展中的作用,達到利用復數幾何意義的“形”的意識,結合復數的基本概念、四則運算等,明確現實生活中存在的“數”,真正達到數形結合.