厘清運算對象與法則,探究運算思路和方法
——以高考中的“函數”問題為例談數學運算素養的培養

車 慧

江蘇省無錫市輔仁高級中學

數學運算是“新課標”中提出的數學六大核心素養之一.因此,數學運算在高考中受到了高度關注,“成也運算,敗也運算”,幾乎成為一種共識.從當下高中數學教學的現狀來看,學生的數學運算能力在整體表現上依然比較“孱弱”,“一聽就懂,一做就錯”的現象普遍存在.采取切實有效的措施,使數學運算素養在課堂教學中落地生根,是一個值得我們高度重視的課題.下面以高考及其模擬試題中的“函數”問題為例,談談筆者的一些認識和體會,供大家參考.

1 弄清運算對象,找準運算方向

數學運算素養是在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的一種素養.對于具體的數學運算,我們要結合運算情境,正確地分析并弄清數學運算對象,深刻認識運算對象的特征,挖掘其內涵,明確運算的方向,以理性思維為基礎,合理地將問題加以變形與轉化,進而通過正確的運算使問題獲得解決.

分析：根據題設條件,結合所求結果中代數式的結構特征,對比最值或取值范圍求解的一般形式,確定運算對象,合理聯系對應的基本不等式的有關知識,通過基本不等式的變形公式的應用來分析與求解,簡捷有效.而涉及分式函數的最值求解問題,則可結合運算對象的確定,直接利用對勾函數的圖象與性質,或借助函數與導數的有關知識,通過合理的運算使問題獲得解決.

點評：弄清相應的運算對象是解決數學問題的一種最基本的思維方式,只有弄清了運算對象,才能知道怎么處理運算對象,運算才有方向感.在本例的求解過程中,根據問題的條件和目標,分析它們之間的聯系,根據運算對象的結構特征,合理地聯想由基本不等式引申變形而得到的公式(柯西不等式)及其成立的條件,通過運算實現問題的轉化,找準運算的方向,再通過相應的數學運算獲得了結果,問題迎刃而解.

2 理解運算法則,明晰運算依據

數學運算是在一定的法則下進行的,理解數學運算的法則,明晰數學運算的理論依據,是數學運算得以順利實施、取得正確結果的基本保證.解決數學問題,在弄清了運算對象以后,緊接著就要思考“需要進行哪種數學運算?相應的運算法則是什么?”在正確認識和理解相應的運算法則的基礎上,確定運算思路和途徑,進行科學合理的數學運算,為問題的解決開拓出一個全新的局面.

例2(2023年全國乙卷·16)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是______.

點評：理解數學運算的法則,明晰數學運算的依據,是讓運算能夠沿著既定的方向順利進行的有力保證,對于解決一些與函數、方程和不等式有關的問題有著獨特的功效.這里借助導數將函數的單調性問題轉化為不等式恒成立,再借助參變分離的方法,利用指數和對數的運算法則巧妙地求出a的范圍,使問題獲解.

3 選擇運算思路,設計運算程序

解決數學問題,一項十分重要的工作就是結合題目中的條件與結論的分析,通過理性思維打通條件向結論轉化的途徑,找到解題的思路,在明晰算理的基礎上設計出運算的程序.結合問題的具體情境和基本特征,選擇恰當的運算思路,設計合理的運算程序,算思結合,以思助算,無疑會對提高運算的效率、提升學生的思維品質起到很好的促進作用.

分析：根據題設條件,將抽象函數的奇偶性進行等價轉化,通過函數基本性質的確定,探究運算思路,為問題的求解打開局面.

解析：因為函數y=f(x)的定義域為R,且f(x+1)為偶函數,f(x-1)為奇函數,則f(1-x)=f(1+x),f(-x-1)=-f(x-1),所以,函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,也關于點(-1,0)對稱.所以,f(-x)=f(x+2),f(-x)=-f(x-2).所以f(x+2)=-f(x-2),則f(x+8)=-f(x+4)=f(x).由此可知,函數y=f(x)是以8為周期的周期函數.

由題意,當x∈[-1,1]時,f(x)=1-x2,則f(1)=0,f(7)=f(-1)=0,f(8)=f(0)=1.

所以f(2)=f(0)=1,f(3)=f(-1)=0,f(4)=-f(-6)=-f(2)=-1,f(5)=f(-3)=-f(1)=0,f(6)=-f(-8)=-f(0)=-1.

點評：這里,基于函數的奇偶性、對稱性、周期性之間關系的視角去分析函數的求值問題,將函數的奇偶性等價轉換為函數的周期性,運算思路的選擇和運算程序的設計,溝通了題目的條件和結論之間的聯系,實現了問題的轉化,使問題獲得簡捷巧妙的解決.

4 感悟運算方法,提升運算技能

培養學生的數學運算素養,不僅要讓學生弄清運算對象、理解運算法則,使學生學會選擇運算思路、設計運算程序,更要讓學生掌握運算方法,提升運算技能.一個數學問題的解決,往往有多種方法,教學中,要注意指導學生通過觀察、分析和比較,從這些方法中選取運算步驟少、變形簡便、運算量小的最佳方法,使得解題運算科學合理、省時省力.

例題略.

“數學運算”并不是簡單的數學計算,“數學運算”主要是對運算對象、運算法則、運算思路、運算方法等方面的理解、掌握、探究和選擇,因此,提升學生的“數學運算”核心素養顯得尤為重要.為促進學生“數學運算”核心素養的提高,倡導教師:(1)講授新課時,應該將概念講清楚,講透徹,加強概念教學,注重概念的引入,分析概念的含義,了解概念的本質,掌握概念的內涵與外延,從多角度入手,加深學生對概念的理解.讓學生能在概念與概念間建立聯系.(2)講授習題課時,將習題所涉及到的知識點,思想方法講清楚,講明白,幫助學生對相關知識制作思維導圖,使零散的知識點建立起直觀的聯系.(3)復習課不要盲目刷題,多變式教學,一題多解.打破機械、套路、思維定式的答題思路,提升“數學運算”核心素養,維持關聯結構水平并向拓展結構水平邁進.