發(fā)揮學(xué)生主體作用,助推學(xué)生深度學(xué)習(xí)
——以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

韓雪梅

山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)

目前,數(shù)學(xué)教學(xué)中依然存在著程序化、形式化、碎片化的淺層學(xué)習(xí)方式,影響了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升和思維能力的發(fā)展.為了幫助學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)效果,數(shù)學(xué)課堂上需要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度學(xué)習(xí),以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)層次,強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)能力,建構(gòu)知識(shí)體系,讓學(xué)生獲得可持續(xù)學(xué)習(xí)能力,促進(jìn)終身學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成[1].筆者以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)為例,談?wù)勛约簩?duì)深度學(xué)習(xí)的一些認(rèn)識(shí),供參考.

1 教學(xué)過程

1.1 聯(lián)系舊知,明晰方向

問題1回顧已學(xué)的等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),完成表1.

表1

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí),以期通過新舊知識(shí)的有機(jī)融合讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

1.2 創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)引思

問題2為了讓全世界(約75億人)的人都能了解南京,南京某校欲開展“信息傳遞”活動(dòng).小明作為第1天的“傳遞官”需要將南京的人文歷史介紹給兩個(gè)人.第2天包括小明在內(nèi)就有3人知道信息了,兩名新的“傳遞官”將之前獲得的信息分別傳遞給兩個(gè)人,這樣第3天就有7人得知信息,以此類推,多少天后能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)呢?請(qǐng)嘗試用數(shù)學(xué)語言表述.

問題給出后,學(xué)生積極思考,很快就有了發(fā)現(xiàn).

生1:第1天1人,第2天新增2人,第3天新增22人,第4天新增23人,……,第n天新增2n-1人,問題可以轉(zhuǎn)化為不等式問題,即求1+2+22+……+2n-1≥7.5×109.

師:分析得很有道理,不過這個(gè)不等式該如何求解呢?(學(xué)生陷入沉思)

師:64天后會(huì)有多少人知道呢?S64=1+2+22+23+……+263=?

問題給出后,讓學(xué)生分組探索求解方法.在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下,學(xué)生給出了如下解法:

解法1：錯(cuò)位相減.

S64=1+2+22+23+……+263,

①

2S64=2+22+23+……+263+264.

②

②-①,得S64=264-1.

解法2：猜測歸納.

S1=1=21-1,S2=3=22-1,S3=7=23-1,……,猜測S64=264-1.

解法3：內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析.

S64=1+2+22+23+…+263

=1+2(1+2+22+23+…+262)

=1+2S63,

所以S64=1+2(S64-263).

故S64=264-1.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)與體驗(yàn)是發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.教學(xué)中,教師以貼近學(xué)生的生活情境為背景,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去表述,用數(shù)學(xué)思維去思考,提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.在問題的解決過程中,教師沒有直接呈現(xiàn)問題分析和解決的過程,而是放手讓學(xué)生去思考、去合作,鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度探尋解決問題的方法,以此提高思維活力,引發(fā)深度學(xué)習(xí)[2].

1.3 公式推導(dǎo),揭示本質(zhì)

問題3如果將推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為一道數(shù)學(xué)題,可以怎樣轉(zhuǎn)化呢?

生2:已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比q(q≠1),記Sn=a1+a2+a3+……+an,求Sn=f(n)(n∈N*)的解析式.

問題4請(qǐng)結(jié)合探索“S64=1+2+22+……+263=?”的經(jīng)驗(yàn),求Sn=f(n)(n∈N*)的解析式.

問題給出后,預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考.通過積極思考與交流,學(xué)生給出了如下推導(dǎo)過程:

證法1：當(dāng)q≠1時(shí),

Sn=a1+a2+a3+……+an+0,

③

qSn=0+a2+a3+……+an+an+1.

④

③-④,得(1-q)Sn=a1-qan=a1-a1qn.

證法2：當(dāng)q≠1時(shí),

因?yàn)镾n=a1+a2+a3+……+an

=a1+q(a1+a2+a3+……+an-1)

=a1+qSn-1,

所以Sn=a1+q(Sn-an).

問題5當(dāng)q=1時(shí),如何求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?請(qǐng)寫出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

學(xué)生歸納總結(jié),得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:

設(shè)計(jì)意圖：公式推導(dǎo)是本節(jié)課的重難點(diǎn)內(nèi)容,是誘發(fā)深度思考的重要途徑.在本課教學(xué)中,教師一改往日以師為主的講授模式,引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作自主推導(dǎo)公式,以此通過經(jīng)歷公式推導(dǎo)的過程,理解公式的本質(zhì)屬性.在以上教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)形式進(jìn)行問題的表征,用不同的方法證明,讓學(xué)生體驗(yàn)了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的本質(zhì),為后期應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí),不同角度的證明方式,拓寬了學(xué)生的視野,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階.

1.4 公式應(yīng)用,提高能力

問題6回歸最初的問題2,按照以上傳遞方式,多少天后可以讓全世界的人認(rèn)識(shí)人文薈萃的南京呢?

學(xué)生根據(jù)公式求解:2n-1≥7.5×109,所以n≥log2(7.5×109+1)≈32.8,故33天后可以完成.

問題解決后,教師又給出例題幫助學(xué)生鞏固強(qiáng)化,題目如下:

例1判斷下列各式中公式的使用是否正確?若不正確,請(qǐng)給出理由.

例2已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為a1,公比為q,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和.

(1)若a1=1,ak=243,q=3,求Sk;

設(shè)計(jì)意圖：例題是課堂教學(xué)的重要組成部分,通過問題的解決既能達(dá)到鞏固強(qiáng)化的目的,又能幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn).教師設(shè)計(jì)以上題目旨在引導(dǎo)學(xué)生辨析公式的本質(zhì)屬性,加強(qiáng)公式理解的深度,進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2 教學(xué)思考

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要打破傳統(tǒng)的“講授+題海”,提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生去思考、去探索、去交流,以此通過親身經(jīng)歷逐步培養(yǎng)“四基”、落實(shí)“四能”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

2.1 重視突破重難點(diǎn)

公式的推導(dǎo)是本課教學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn).為了凸顯重點(diǎn)、突破難點(diǎn),教師沒有直接將教材中的推導(dǎo)過程呈現(xiàn)給學(xué)生,而是讓學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)和能力尋找適合的推導(dǎo)方法,以此激發(fā)學(xué)生探究興趣,讓學(xué)生更加全面、深刻地理解公式.推導(dǎo)公式時(shí),學(xué)生給出了3種不同的推導(dǎo)方案,獲得了對(duì)公式不同角度的理解,充分展示了思維的創(chuàng)新性,提高了自身的思維品質(zhì).

2.2 重視公式本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)公式具有高度的抽象性,教學(xué)中需要引導(dǎo)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式抽象的過程,以此幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì).本課教學(xué)中,教師將公式推導(dǎo)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,學(xué)生得到了不同的推導(dǎo)方案,對(duì)數(shù)學(xué)公式獲得了本質(zhì)的理解.

總之,數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要認(rèn)真研究教學(xué)內(nèi)容,認(rèn)真研究學(xué)生,結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的問題,讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下積極思考、積極合作,通過深度學(xué)習(xí)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,提升教學(xué)品質(zhì).