真題追本溯源,回歸教材本源
——以2023年高考數學新高考Ⅰ卷第8題為例

丁學智

安徽省銅陵市第三中學

高中數學教材例(習)題往往是每年高考數學命題的一個重要腳本,回歸教材本源,合理挖掘教材例(習)題的各個方面,基于數學問題場景、數學知識結構與數學思想方法等,全面構建相應的數學知識網絡體系,架構數學基礎知識之間的巧妙鏈接與綜合應用,形成數學能力,合理滲透并應用到高考命題中去.

1 高考真題呈現

此題通過兩角差的三角函數值、兩單角三角函數值的積來設置問題場景,利用兩角和的二倍角的三角函數值的求解來創設問題,是高考中三角函數求值問題的一種基本題型與綜合應用.

三角函數求值的幾種常見類型:“給角求值”“給值求值”“給值求角”等.解決問題的基本思路就是建立題設條件與所求結論之間函數值、函數名、角、運算式等要素之間的聯系,結合相關的三角函數公式加以合理變換與轉化,從而實現函數值、角等的求解與應用.

2 真題破解

解法1：兩角差的正弦公式法.

故選:B.

解法2：積化和差公式法.

故選:B.

解法3：換元法.

故選:B.

解后反思：涉及三角函數中的“給值求值”問題,借助題設條件,方法1中從兩角差的正弦公式入手來變換,解法2中從積化和差公式的應用來轉化,解法3中從整體換元思維來切入,進而利用三角函數關系式的變形與轉化,結合二倍角公式來分析與求解.其中解法1是最為常見的解題方法,也是解決問題的“通性通法”,需要加以熟練掌握.而借助思維視角的改變,也有其他相關的技巧方法可以達到求解目的.

3 追本溯源

追本溯源,該題是在高中數學教材的課后習題的基礎上,依據數學基礎知識,從命題形式、條件轉化、結論設置、能力提升與綜合應用等方面,開拓數學思維,改變對應問題的設置,從而實現問題的應用.

習題〔人民教育出版社2019年《數學》(必修第一冊)第五章“三角函數”第229頁習題5.5第9題〕

(1)sinαcosβ=5cosαsinβ;

(2)tanα=5tanβ.

該教材習題通過sin (α+β),sin (α-β)與sinα·cosβ,cosαsinβ之間的關系,合理設置已知條件與所求結論,以證明的方式來創設,是三角函數求值的另一種表達方式,達到三角函數求值的綜合應用目的.

以上教材習題的證明過程與技巧方法,可以參照上文原高考真題的解析過程,這里不再展開.

其實,涉及三角函數求值的綜合應用問題,是高中數學的一個重要知識點,也是各級、各類考試中的一個基本考點,難度一般比較簡單或中等.

4 變式拓展

A.cos (α-β)=-1 B.sin (α-β)=0

分析：根據題設條件,抓住給出的三角函數關系式的兩邊比較工整,且均是兩角正弦值(或余弦值)的和式特征,可以直接利用三角函數的和差化積公式加以轉化,利用三角函數關系式的恒等變形,并結合角的取值范圍來分析與判斷所給結論是否成立.

故選:D.

5 教學啟示

5.1 熟練掌握公式,把握常規方法

解決三角函數求值問題的關鍵,就是充分挖掘題設條件與所求結論中的函數值、函數名、角、運算式等要素之間的聯系,結合同角三角函數基本關系式、誘導公式、三角恒等變換公式以及解三角形中的相關定理等進行巧妙的“變”——變角、變名、變式,如圖1.

圖1

由題設條件入手,到所求結論為止,構建聯系,合理求“變”,化歸與轉化,實現三角函數值的求解.

5.2 落實教材本源,探尋問題內涵

腳踏實地,認真研究和學習高中數學教材中的基礎知識與相關的例(習)題,從數學知識根源上去深入、研究、理解、掌握,充分把握數學基礎知識的基本內涵與實質,以不變應萬變,這才能真正發揮高中數學教材的最大作用.

我們知道,高中數學教材的基礎知識與對應的例(習)題等相關內容,都具有其他數學教學參考書、習題集等所不可替代的作用和教育教學功能,具有典型性,起到總結成功經驗與標桿等方面的作用.教師要合理引導學生深入領會高中數學教材中對應例(習)題所展示出來的知識內涵與命題意圖,并加以研究和開發,合理追根溯源.真正達到“雙減”的目的,減少所謂的“補充內容”,減少資料書的使用,真真切切地做到為學生減負,同時又能夠增加學生動手、動腦等方面的能力,提高學習興趣,是一舉多得的好事情*.