母題探源:拓展教材習題的價值
——以“兩個習題引出的不等式”教學為例

王永軍

重慶市廣益中學校

數學教材(教科書)中的習題是學生學習數學的重要載體,具有基礎性的重要地位.教材習題的設置看似簡單,有些甚至顯而易見,但它們具有良好的梯度與針對性,是教材編寫專家集體智慧的結晶.教材習題也必然是教師教育教學的載體,教師要引導學生用好教材習題資源,充分挖掘教材習題的“暗示”功能,即提供范例.高考數學試卷的命題專家們必然會潛心研究教材中的習題,數學試卷中也必然會恰當運用這些范例,從而引導教學、教法、思維.

本文中以普通高中教科書數學選擇性必修第二冊(人教A版)中“兩個習題引出的不等式”的教學為例,探討教材母題的應用價值,與大家分享.

1 課標要求

通過導數的學習,學生要掌握導數的基本運算,學會運用導數來研究函數的性質,進而解決一些實際問題.不等關系是數學中最基本的數量關系,用導數研究函數的單調性,由此得到函數在相應區間的極值(最值)能夠建立一些重要的不等關系,同時通過函數圖象能夠直觀理解導數的幾何意義.

2 教學片段

問題呈現:

問題1(教材第94頁練習第2題)證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

問題2(教材第99頁習題5.3第12題)利用函數的單調性,證明下列不等式,并通過函數圖象直觀驗證:

(1)ex>1+x,x≠0;

(2)lnx0.

(Ⅰ)左右對稱,有機整合至真

證明問題1、問題2,只需構造相應的函數:f1(x)=(x-1)-lnx(x>0),f2(x)=ex-(1+x),f3(x)=x-lnx(x>0),f4(x)=ex-x.接下來的任務就是對函數求導、判斷單調性、由極值得最值,進而建立不等式,證明過程簡單.

設計意圖：對問題1、問題2進行整合,可以得到不等式鏈

lnx≤x-1

①

①式中的不等式鏈幾乎無須附加任何條件.當且僅當x=1時,lnx=x-1;當且僅當x=0時,x+1=ex.注意涉及到對數lnx時需要考慮x>0,這其實是對數本身對真數的要求.

另外,①式左右兩端是對稱的.事實上,若①式左邊不等式lnx≤x-1成立,結合指數函數y=ex的單調性,可得eln x≤ex-1,即x≤ex-1,這表明x+1≤ex成立,即①式右邊不等式成立;反之亦然.

①式在很多數學問題(不等關系)的處理中可以大顯身手、化繁為簡,有些看似“莫名”的函數取值都可以通過①式得到解釋.

②

當且僅當x=1時,②式等號成立.

(Ⅱ)數形互動,幾何直觀至美

如圖1,在平面直角坐標系xOy中作出函數y=lnx,y=x-1,y=x,y=x+1,y=ex的圖象(圖象由下向上依序).

圖1

函數y=lnx,y=x,y=ex都是基本初等函數,是必須熟記的函數模型(圖象、性質);函數y=x+1,y=x-1的圖象可以由y=x的圖象經過上下平移而得到.

設計意圖：從整體上看,圖1中5個函數的圖象是關于函數y=x的圖象成軸對稱的,圖形簡潔清晰,便于對①式中不等式鏈的記憶.其中y=x-1是y=lnx在點(1,0)處的切線,y=x+1是y=ex在點(0,1)處的切線.圖象的幾何直觀突出了數形結合的思想方法,便于深刻理解函數及不等式的幾何意義,可以有效提升學生直觀想象和數學運算素養.

(Ⅲ)應用舉例,習題再現至善

問題3〔教材第104頁復習參考題5第19題,2017年高考數學全國卷Ⅰ理科第21題第(2)問〕已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

于是,若f(x)有兩個零點,只需考慮a>0,此時

③

簡單驗證知,當a≥1時,③式不成立;當0

下面說明理由.

結合f(x)的單調性及連續函數零點存在定理知,a的取值范圍是(0,1).

設計意圖：事實上,關于③式的成立與否,可以先觀察,比如從ln 1=0入手進行思考.

方法1,看似簡單,由于教材(教科書)中幾乎沒有提及極限知識(只是在導數的概念中“不得不”用極限引出導數),學生對極限的運算是陌生的,教師在平時的教學中滲透的極限思想是不足以用來解答該題的,因此方法1不是教師平時教學的最優方法.

問題3是很好的教材習題(高考真題)資源,蘊含了多種數學思想方法和思路策略,對各種數學運算能力(直觀想象、轉化化歸、利用導函數處理問題的一般步驟等)的要求都很高,對此問題的深入研究為以后的數學學習提供了很好的示范引領.

(Ⅳ)高考數學,靈活應用至巧

對于此題,函數g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,1).

當x∈(-∞,0)時,f(x)>0;當x∈(0,1)時,f(x)<0.于是xf(x)<0.

欲證g(x)<1,去分母整理,即證x+(1-x)·ln (1-x)>0.

設計意圖：本題中對于xf(x)<0的探討,可以構造新函數v(x)=xf(x),然后用求導、極值、最值等來處理不等式,但這樣會把簡單的問題變得復雜.

3 教學思考

教學中,要注重教材中母題(例題,習題)的開發與利用.如本文中的問題1、問題2分散在教材各處,要有意識地去整合與提升,努力提煉出一些經典的結論;要善于研讀教材習題(如問題3),看清、分析、吃透解題過程中每一步所運用的數學思想與方法.加強運算訓練,特別是指數與對數的互化、不等式的各種等價變形、基本初等函數及其求導與化簡等,這對學生的學習可以起到事半功倍的效果.如從問題1、問題2中整合得到的①式、②式,其應用范圍極其廣泛.運用中要注意觀察所要證明的不等式的結構特征,必要時須先進行恰當的等價變形,還要注意等號成立的條件.恰當的運用通常可以將原本復雜的運算(傳統解法)變得簡單(如問題4),降低數學思維層次,節約考試時間,提高學習效率,提升數學運算素養.