基于數(shù)學(xué)抽象的高中數(shù)學(xué)教材分析與比較
——以人教A版和蘇教版“三角函數(shù)”為例

趙健瀅 張怡文

南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院

1 研究問題

數(shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中將數(shù)學(xué)抽象置于六個(gè)核心素養(yǎng)之首,這表明了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要地位.

教材是教與學(xué)的重要材料.教師只有仔細(xì)研讀教材才能用好教材,充分發(fā)揮教材的價(jià)值.教材是如何將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)融入到教學(xué)內(nèi)容之中?對(duì)此不同版本教材之間存在哪些區(qū)別?“獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,提出數(shù)學(xué)命題和模型,形成數(shù)學(xué)方法與思想,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”是數(shù)學(xué)抽象的四種表現(xiàn)[1].這四種表現(xiàn)可視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的四個(gè)過程,這些過程有賴于數(shù)學(xué)抽象的參與,因此有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).“三角函數(shù)”一章內(nèi)容豐富,是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好載體.為此,本文中選取高中數(shù)學(xué)人教A版教材(2019)和蘇教版教材(2020)(以下簡(jiǎn)稱“人教A版教材”和“蘇教版教材”)中“三角函數(shù)”一章,以數(shù)學(xué)抽象的四種表現(xiàn)為分析維度嘗試回答上述兩個(gè)問題,以期為教師教學(xué)提供參考.

2 研究?jī)?nèi)容

2.1 獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要表現(xiàn)是獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則.數(shù)學(xué)概念的獲得往往源于數(shù)學(xué)問題,而數(shù)學(xué)問題是抽象概念的源頭.具體到概念獲得的過程,有概念形成和概念同化兩種方式.概念形成模式包括“具體例子—觀察共性—抽象本質(zhì)—形成定義—強(qiáng)化概念—概念應(yīng)用”,概念同化模式包括“先行組織者—定義概念—強(qiáng)化概念—概念應(yīng)用”[2].“三角函數(shù)”一章中最重要的概念是三角函數(shù)的概念,對(duì)于三角函數(shù)概念的獲得,兩版教材都采用了概念形成的方式.此外,蘇教版教材還安排了對(duì)正弦、余弦、正切概念的學(xué)習(xí),并用概念同化的方式獲得這三個(gè)概念.基于以上說明,下面按照獲得概念的順序從“提出問題”“抽象本質(zhì)”“強(qiáng)化概念”三個(gè)方面對(duì)兩版教材中的相關(guān)內(nèi)容展開分析.

(1)提出問題

三角函數(shù)在近代數(shù)學(xué)中的快速發(fā)展得益于其與圓周運(yùn)動(dòng)等周期現(xiàn)象的緊密聯(lián)系,兩版教材都注重向?qū)W生滲透這種聯(lián)系,提出用數(shù)學(xué)模型刻畫圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,如表1所示.此外,蘇教版教材引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行初步分析后,將問題進(jìn)一步明確為用模型刻畫兩種表示方法的關(guān)系.

表1 兩版教材提出的問題對(duì)比

(2)抽象本質(zhì)

抽象本質(zhì)是概念形成的重要環(huán)節(jié).承接前面的問題,兩版教材中對(duì)三角函數(shù)概念本質(zhì)的抽象過程如表2所示.蘇教版教材中,三角函數(shù)概念的建立需要借助任意角的正弦、余弦、正切概念.對(duì)于這三個(gè)概念的獲得,教材是在銳角的正弦、余弦、正切概念的基礎(chǔ)上直接給出定義.在這個(gè)過程中,蘇教版教材將初中和高中階段學(xué)習(xí)的正弦、余弦、正切的概念進(jìn)行銜接,利于學(xué)生在舊知的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知.但是對(duì)學(xué)生而言,在經(jīng)歷從銳角到任意角這一思維跨越時(shí),他們是根據(jù)兩個(gè)定義之間形式上的相似而非本質(zhì)上的相通來理解的.三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介,是幾何量(角與有向線段)之間的直接對(duì)應(yīng),這是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)[3].人教A版教材從角與坐標(biāo)之間唯一確定的關(guān)系中抽象出正弦函數(shù)的概念,直接展示了正弦函數(shù)中幾何量之間的對(duì)應(yīng),利于突破這一難點(diǎn).蘇教版教材從角與正弦值之間唯一確定的關(guān)系中抽象出正弦函數(shù)的概念,實(shí)際上正弦值是由坐標(biāo)計(jì)算得來的,因此建立的也是幾何量之間的對(duì)應(yīng).但是學(xué)生在理解時(shí),需要借助正弦值的概念才能“看到”這種對(duì)應(yīng),這可能會(huì)增加理解正弦函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的難度.

表2 兩版教材在抽象本質(zhì)階段的內(nèi)容對(duì)比

(3)強(qiáng)化概念

在強(qiáng)化概念環(huán)節(jié)中,學(xué)生將加深對(duì)概念的理解.選取人教A版教材對(duì)三角函數(shù)概念與蘇教版教材對(duì)正弦、余弦、正切概念的強(qiáng)化內(nèi)容,具體見表3.下面圍繞其中的兩點(diǎn)區(qū)別進(jìn)行分析.第一,關(guān)于對(duì)銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)關(guān)系的處理,人教A版教材在得到任意角的三角函數(shù)后,再通過探究活動(dòng)讓學(xué)生思考二者之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)而認(rèn)識(shí)到銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)雖然來自不同的背景,但是存在聯(lián)系.蘇教版教材在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上得到任意角的三角函數(shù),這樣的內(nèi)容安排再現(xiàn)了歷史上由銳角三角函數(shù)再到任意角三角函數(shù)的發(fā)展歷程,但是學(xué)生可能會(huì)據(jù)此認(rèn)為任意角的三角函數(shù)是由銳角三角函數(shù)推廣而來.第二,人教A版教材與蘇教版教材分別用“角終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)”“角終邊上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的坐標(biāo)比”來定義三角函數(shù),這是三角函數(shù)的兩種定義方式.在強(qiáng)化概念階段,兩版教材雖然沒有直接點(diǎn)明另外一種定義方式,但是對(duì)其有所滲透.人教A版教材引導(dǎo)學(xué)生通過證明認(rèn)識(shí)到,由角α終邊上任意一點(diǎn)(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)都可求得角α的各個(gè)三角函數(shù)值.蘇教版教材在計(jì)算正弦、余弦、正切值的例題后指出:可以選擇角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)計(jì)算角α的正弦、余弦、正切值.

表3 兩版教材在強(qiáng)化概念階段的內(nèi)容對(duì)比

2.2 提出數(shù)學(xué)命題和模型

(1)提出數(shù)學(xué)命題

“三角函數(shù)”一章中的數(shù)學(xué)命題主要有誘導(dǎo)公式.誘導(dǎo)公式的抽象過程是將圖形的對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語言表達(dá)成三角函數(shù)的對(duì)稱性的過程.以公式sin(π+α)=-sinα為例,分析兩版教材中抽象出誘導(dǎo)公式的過程,其他誘導(dǎo)公式與此類似.

人教A版教材以“利用圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)的對(duì)稱性”導(dǎo)入.如圖1,任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1,作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2,以O(shè)P2為終邊的角記作β.如圖2,從點(diǎn)P1,P2的對(duì)稱關(guān)系出發(fā),一方面得到角α,β終邊的對(duì)稱關(guān)系,進(jìn)而得出兩角的關(guān)系為β=2kπ+(π+α)(k∈Z).另一方面由單位圓的中心對(duì)稱性可知,點(diǎn)P2就在圓上,因此角α,β的終邊與單位圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)P1,P2,進(jìn)而利用這兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系可以得到坐標(biāo)的關(guān)系.由前者確定角的關(guān)系,由后者確定對(duì)應(yīng)的正弦值的關(guān)系,兩相結(jié)合就得到誘導(dǎo)公式.

圖1

圖2 人教A版教材中誘導(dǎo)公式的抽象路徑

蘇教版教材以“終邊具有對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系”導(dǎo)入.已知角α的終邊與角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,且分別與單位圓交于點(diǎn)P,P′.如圖3,從角α,β終邊的對(duì)稱關(guān)系出發(fā),由單位圓的中心對(duì)稱性得到交點(diǎn)P,P′的對(duì)稱關(guān)系,由此可得到它們坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而得到角α,β正弦值的關(guān)系為sinβ=-sinα.最后將角β特殊化,因?yàn)榻铅?α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,所以用角π+α代替角β即得到誘導(dǎo)公式.

圖3 蘇教版教材中誘導(dǎo)公式的抽象路徑

(2)提出數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)表現(xiàn)是“提出數(shù)學(xué)模型”,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模兩種素養(yǎng)之間的聯(lián)系:通過數(shù)學(xué)抽象建立數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)建模過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象.“三角函數(shù)”一章主要涉及用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)刻畫的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型和一般的周期運(yùn)動(dòng)模型.人教A版教材以“用數(shù)學(xué)模型刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)”為問題,選取我國古代的筒車作為問題情境,用符號(hào)表示筒車運(yùn)動(dòng)過程中的若干物理量,分析這些量之間的關(guān)系,進(jìn)而抽象出函數(shù)y=Asin(ωx+φ),回答了開始的問題.蘇教版教材由“確定時(shí)刻t時(shí),摩天輪上一點(diǎn)P距離地面的高度”引入,通過分析與點(diǎn)P高度有關(guān)的物理量得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ),再點(diǎn)明它的模型作用——描述勻速圓周運(yùn)動(dòng).最后,兩版教材都以函數(shù)y=Asin(ωx+φ)為基礎(chǔ),通過確定其中的參數(shù)建立了刻畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等一般周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.

2.3 形成數(shù)學(xué)方法與思想

2.4 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)較高水平的表現(xiàn).三角函數(shù)是一類具體的函數(shù),遵循函數(shù)研究的一般規(guī)律的“概念-性質(zhì)-應(yīng)用”,兩版教材的章節(jié)結(jié)構(gòu)都體現(xiàn)了這一規(guī)律,這可以看成是這一章結(jié)構(gòu)體系的“明線”.除此以外,兩版教材在內(nèi)容中都設(shè)置了“暗線”.人教A版教材將單位圓作為暗線貫穿本章的主要內(nèi)容,如圖4所示.蘇教版教材將三角函數(shù)線作為暗線貫穿三角函數(shù)值的幾何表示—誘導(dǎo)公式六—三角函數(shù)的圖象—三角函數(shù)的性質(zhì).

圖4 人教A版教材中“三角函數(shù)”一章的明線與暗線

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)內(nèi)涵豐富,本文中以“三角函數(shù)”一章為例,從數(shù)學(xué)抽象的四種表現(xiàn)解讀了人教A版教材和蘇教版教材是如何發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的,并揭示了兩版教材在這一方面各自的特點(diǎn).實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)把握所用教材的特點(diǎn),借鑒其中的先進(jìn)理念,將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)真正地落實(shí)到課堂中.