多元表征：讓概念生長(zhǎng)“看得見”
——對(duì)“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”的幾點(diǎn)思考

江蘇省常州市戚墅堰東方小學(xué) 王 莉

數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式。通俗地講，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中用圖形表征、情境表征、文字表征、語言表征以及符號(hào)表征等形式促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)生，啟發(fā)學(xué)生思維顯性化，不斷提升他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。基于此，本文將重點(diǎn)聚焦多元表征，圍繞讓概念生長(zhǎng)“看得見”展開探究。

一、情境表征：?jiǎn)拘褜W(xué)生經(jīng)驗(yàn)表達(dá)

情境表征是指對(duì)指定對(duì)象在操作以及日常環(huán)境中事件之間關(guān)系的表征，即創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境。在教學(xué)引入部分，引導(dǎo)學(xué)生建立建構(gòu)概念，過程中運(yùn)用情境表征，實(shí)現(xiàn)表征的相互轉(zhuǎn)化，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)。

如從心理維度看，情境表征可以將原本比較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成可以看見的內(nèi)容。在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師為了更好地激活學(xué)生的前置思維，在本課教學(xué)的引入部分，也就是在第一板塊（游戲?qū)耄せ罱?jīng)驗(yàn)）中，通過有趣的情境來幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)平面圖形的基本思路，運(yùn)用游戲活動(dòng)來喚醒學(xué)生的思維。教師從學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的平面圖形入手，通過演示文稿（PPT）展示，提問學(xué)生這些都是什么圖形。學(xué)生會(huì)根據(jù)PPT 展示的內(nèi)容依次說出這是長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓形。緊接著，教師把學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的這些多邊形和圓形放在盒子中（PPT 顯示把平面圖形收進(jìn)去），玩“摸長(zhǎng)方形”的游戲，第一次追問：摸出的這個(gè)圖形會(huì)是長(zhǎng)方形嗎？學(xué)生在第一次摸圖形的過程中進(jìn)行判斷（露出的是個(gè)半弧形），通過觀察發(fā)現(xiàn)可能是一個(gè)圓。教師追問其判斷的依據(jù)，同時(shí)在第一次摸圖形的過程中進(jìn)行小結(jié)：大家是通過觀察“邊”來判斷的。接著，PPT 中露出了一個(gè)直角，教師第二次追問：這會(huì)是長(zhǎng)方形嗎？你們又是怎樣判斷的呢？學(xué)生根據(jù)出示的圖形再次進(jìn)行判斷，可能是三角形、梯形、長(zhǎng)方形、正方形。教師此時(shí)進(jìn)行第二次小結(jié)：大家是通過觀察“角”來判斷的。從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，要準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)一個(gè)平面圖形既要觀察邊的特點(diǎn)，又要觀察角的特點(diǎn)。

通過情境表征，很快對(duì)接了學(xué)生的已有認(rèn)知，喚醒了學(xué)生的表達(dá)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生清楚了觀察平面圖形要從邊和角這兩個(gè)要素入手，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形埋下了伏筆，指明了學(xué)習(xí)的方向，也建構(gòu)了知識(shí)學(xué)習(xí)的邏輯，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是螺旋上升、逐漸再現(xiàn)的，教師只有引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的體系，形成知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生才能學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

二、語言表征：助力學(xué)生自主學(xué)習(xí)

語言表征就是一個(gè)數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)的過程，而數(shù)學(xué)思維是以數(shù)和形為主體、以語言和符號(hào)為載體，并以認(rèn)識(shí)和探索數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維方式。教師在教學(xué)圖形概念時(shí)，除了要讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)外，更重要的是幫助學(xué)生提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)，幫助學(xué)生形成主動(dòng)學(xué)習(xí)和研究的心態(tài)。同時(shí)，在教學(xué)中還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，以真實(shí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)開展探究活動(dòng)，在研究的過程中引導(dǎo)學(xué)生積極參與、體驗(yàn)感悟，獲得有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在整個(gè)探究的過程中，教師應(yīng)通過調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感官參與思維的發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)過程，用語言表達(dá)、文字描述、動(dòng)手操作與實(shí)踐展現(xiàn)自己的思維過程，外化思維表征。而學(xué)生的思維表征可以成為教師和學(xué)習(xí)伙伴觀察、理解、觸摸的教學(xué)資源，同時(shí)有利于教師進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)分析診斷、及時(shí)回應(yīng)并對(duì)教學(xué)路徑做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

如從智力維度來看，語言表征是智力層面的建構(gòu)，能將學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解表征化。教師通過思維方式的傳遞，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，同時(shí)以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為元素，采用活動(dòng)的形式，展示其思維過程，讓概念學(xué)習(xí)更加地真切。如在“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”一課中，為了讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形，在提出猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、得出結(jié)論這一環(huán)節(jié)，教師首先從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，激活學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的初步認(rèn)知。教師提出問題：長(zhǎng)方形和正方形是我們比較熟悉的圖形，誰來說一說長(zhǎng)方形、正方形的邊和角各有什么特點(diǎn)？學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)說道：“長(zhǎng)方形的邊有長(zhǎng)有短，正方形的四條邊一樣長(zhǎng)，長(zhǎng)方形和正方形四個(gè)角都是直角。長(zhǎng)方形上邊等于下邊，左邊等于右邊。”這樣，教師引出對(duì)邊的概念，上邊和下邊是相對(duì)的，數(shù)學(xué)中將其稱為一組對(duì)邊，隨即追問：長(zhǎng)方形中還有其他的對(duì)邊嗎？用手比畫比畫。學(xué)生說左邊和右邊也是一組對(duì)邊，教師又問長(zhǎng)方形中有幾組對(duì)邊。同時(shí)，教師告知學(xué)生，像這樣上邊等于下邊、左邊等于右邊，我們也可以說對(duì)邊相等。最后提出疑問：這只是同學(xué)們的一種感覺，對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角，這是長(zhǎng)方形的特征，是嗎？從而引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考。教師提出“這只是一種猜想，還需要驗(yàn)證”，接下來為學(xué)生準(zhǔn)備大小不同的長(zhǎng)方形，讓其驗(yàn)證。

在學(xué)生從邊和角這兩個(gè)維度進(jìn)行觀察后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征進(jìn)行深度思考，并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中沿著正確的數(shù)學(xué)研究思路，經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的完整思考過程。在教學(xué)中，教師通過一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)展開研究，首先讓學(xué)生運(yùn)用量一量、折一折、比一比的方法說說剛才的想法是否正確，其次比一比誰的驗(yàn)證方法多，最后和同桌交流自己的驗(yàn)證方法。學(xué)生根據(jù)這三個(gè)活動(dòng)要求展開活動(dòng)，在學(xué)生體驗(yàn)驗(yàn)證后教師追問：你們是從哪個(gè)角度驗(yàn)證的？驗(yàn)證了什么？怎么驗(yàn)證的？得出了怎樣的結(jié)論？學(xué)生會(huì)從兩個(gè)方面進(jìn)行匯報(bào)：首先，驗(yàn)證邊，測(cè)量出每條邊的長(zhǎng)度，同時(shí)通過其他學(xué)生的測(cè)量數(shù)據(jù)，得出對(duì)邊相等的結(jié)論。教師追問：除了用測(cè)量的方法，還可以用其他的方法驗(yàn)證長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等嗎？你們又是怎樣驗(yàn)證的？學(xué)生補(bǔ)充匯報(bào)：還可以通過折一折來驗(yàn)證長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，上下對(duì)折、完全重合，說明上邊等于下邊；左右對(duì)折，完全重合，說明左邊等于右邊。因此，長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等。其次，驗(yàn)證角，剛剛通過量一量、折一折的方法驗(yàn)證了長(zhǎng)方形對(duì)邊相等這個(gè)結(jié)論，學(xué)生又用比一比的方法，拿直角三角板的一個(gè)直角與長(zhǎng)方形四個(gè)角比一比，四個(gè)角都是直角，可以驗(yàn)證長(zhǎng)方形四個(gè)角是相等的。教師通過學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)展示，總結(jié)：剛才大家通過量一量、折一折、比一比的方法找到了長(zhǎng)方形和正方形邊的特點(diǎn)和角的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)中長(zhǎng)方形較長(zhǎng)的邊稱為長(zhǎng)，較短的邊稱為寬。

在上述整個(gè)教學(xué)過程的推進(jìn)中，學(xué)生運(yùn)用語言表征把動(dòng)手操作的、腦中所思所想的表達(dá)出來，通過語言進(jìn)行思維的外延，培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)實(shí)踐的能力，進(jìn)而總結(jié)概括得出結(jié)論，并在體驗(yàn)活動(dòng)中提煉數(shù)學(xué)思想方法，形成學(xué)習(xí)圖形的一般學(xué)習(xí)路徑，從一節(jié)課的學(xué)習(xí)延展到一類課的研究，真正激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、圖形表征：激活學(xué)生創(chuàng)新思維

圖形表征是指學(xué)生在解決問題的過程中，借助實(shí)物或者運(yùn)用畫圖的方式，拼出或者畫出與題意相關(guān)的圖形或圖案，進(jìn)而更加直觀地理解知識(shí)背后蘊(yùn)含的道理。

如從效能維度看，在“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”一課中，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形，形成了數(shù)學(xué)思想方法以及思維結(jié)構(gòu)后，教師就可以讓學(xué)生在掌握基本知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)，從而提升解決問題的能力。在教學(xué)中，從創(chuàng)造小能手和整理關(guān)系兩個(gè)維度進(jìn)行思考。創(chuàng)造小能手方面，教師和學(xué)生進(jìn)行對(duì)話：大家已經(jīng)對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征有了深入的了解，想不想動(dòng)手創(chuàng)造幾個(gè)呢？運(yùn)用老師給大家準(zhǔn)備的釘子板、三角板和方格紙這些工具和材料，結(jié)合活動(dòng)要求進(jìn)行創(chuàng)作。學(xué)生通過圍一圍、拼一拼、畫一畫制作出長(zhǎng)方形和正方形，再把創(chuàng)作的方法和同桌分享交流。在學(xué)生充分探究后，教師運(yùn)用圖形表征分別從畫一畫、拼一拼、圍一圍等方面對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行激活，讓學(xué)生介紹各種創(chuàng)作的方法和過程。經(jīng)歷了正向的思維過程，再進(jìn)行關(guān)系的整理，對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征進(jìn)行深入的辨析，教學(xué)中學(xué)生根據(jù)教師出示的信息，在作業(yè)紙上繪制，從文字抽象到圖形的具象，形成對(duì)長(zhǎng)方形和正方形特征的靈活判斷，充分感悟了正方形是特殊的長(zhǎng)方形，并用集合圖的形式來表示它們的關(guān)系。

通過這樣的兩組不同的練習(xí)設(shè)計(jì)，還存在疑惑或者學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征也有了更深刻的認(rèn)識(shí)，從抽象到具象，再從具象到抽象建立長(zhǎng)方形和正方形的本質(zhì)概念，將文字轉(zhuǎn)化為圖形，通過圖形內(nèi)化理解了長(zhǎng)方形和正方形的特征，從而進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征的理解；而集合圖的出示讓學(xué)生進(jìn)一步形象地感悟長(zhǎng)方形和正方形之間的關(guān)系，提升了學(xué)生提出問題、分析問題的能力，在教學(xué)過程中關(guān)注了學(xué)生空間觀念、推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。綜上所述，多元表征能立足于概念課型，在真實(shí)的活動(dòng)中讓概念生長(zhǎng)“看得見”，更好地為學(xué)生的思維成長(zhǎng)注入活力。