從唯一性定理到場計算

張 明 湯一銘 包 揚

(南京郵電大學 電子與光學工程學院、柔性電子(未來技術)學院,南京 210023)

電磁場的唯一性定理是所有電磁場計算的出發點,是大學和研究生階段“電動力學”和“電磁場理論”等課程的主要內容之一。電磁場計算是學習“電磁場理論”等課程的最終目的,課程中會學到分離變量法、格林函數法、Stratton-Chu公式,甚至一些數值方法。但學生在課程學完后,往往只停留在了解很多孤立的“知識點”,對各“知識點”之間的關聯并沒有深入地討論和思考。本文分別從靜電場和時諧場唯一性定理及相應電磁場計算所需條件出發,討論電磁場唯一性定理與電磁場計算之間的關聯,并用三個邊值問題具體說明此關聯。

1 電磁場唯一性定理

1.1 靜電場唯一性定理

設一封閉區域V,其邊界為S+S∞,如圖1所示。如果這區域中的電荷分布ρ(r)確定,并且下列三項任意一項確定,則V區域內靜電場的電位φ(r)是唯一的(當然電場強度E也為唯一,因為E=-Δφ。另外,電荷分布在有界區域,設φ(S∞)=0)[1]:

圖1 V區域內靜電場的電位

(1)S面上電位φ∣S;

1.2 時諧電磁場唯一性定理

對于時諧場,封閉區域V,邊界為S+S∞,如圖2所示。

圖2 V區域內時諧電磁場

(1)區域V邊界上電場強度E的切向分量Et確定;

(2)區域V邊界上磁場強度H的切向分量Ht確定;

(3)區域V部分邊界上電場強度E的切向分量Et確定,剩余邊界上磁場強度H的切向分量Ht確定;

只要滿足上述三條件中任何一個,則區域內由電流源J和磁流源M產生的電場E和磁場H是唯一的。(在S∞面,電磁場滿足輻射條件[2])

2 電磁場計算

2.1 靜電場電位計算

我們自然關心滿足場唯一性定理的條件后,如何計算靜電位。為回答這個問題,讓我們利用電位滿足的泊松方程,

(1)

如圖1所示,式(1)中ρ(r)是r處的電荷密度,ε為r處的介電常數。并利用格林恒等式和格林函數,可以寫出V內電位的計算式[2]

(2)

2.2 時諧電磁場場計算

計算時諧輻射場有著名的Stratton-Chu公式[3]

(3)

(4)

(5)

上式推導過程中用到電位移矢量D的邊界條件以及面電流密度Js和面電荷密度ρs的關系式,▽s表示曲面上二維拉普拉斯算子。同理可得

(6)

(7)

在洛倫茲規范下,由A(r)可計算相應電場EA(r)和磁場HA(r),

(8)

(9)

同樣,磁流源與全空域格林函數的積分得矢量電位F(r),由F(r)可計算相應電場EF(r)和磁場HF(r),

(10)

(11)

(12)

電/磁流源的總電磁場為

E(r)=EA(r)+EF(r)

(13)

H(r)=HA(r)+HF(r)

(14)

可以證明(13)(14)分別和(3)(4)完全一樣。

3 唯一性定理與場計算的討論

由上述討論可見,計算時諧輻射場不僅需要已知邊界電場強度的切向分量,同時還需要已知邊界磁場強度的切向分量,此要求高于時諧電磁場唯一性定理的條件。計算靜電場情況也有類似情況。

實際上,從數學角度看,求解靜電場的電位,是解滿足泊松方程(偏微分方程)及一定邊界條件的邊值問題。同樣,求解時諧電磁場,是解滿足亥姆霍茲方程(偏微分方程)及一定邊界條件的邊值問題。唯一性定理回答了這些邊值問題在何種條件下,解是唯一的。由式(2)和式(3)～(14)可知,計算靜電位或時諧電磁場需要已知兩個邊界條件(靜電場:邊界上電位及其法向導數;時諧場:邊界上電場強度和磁場強度的切向分量),如果只已知其一,我們并不一定能用顯式列出由已知的邊界條件計算另一個邊界條件的關系式。由此,我們不能在滿足唯一性定理條件下直接用式(2)計算靜電位或用Stratton-Chu公式(3)和(4)計算時諧電磁場。

4 電磁場邊值問題求解方法

計算靜電場的電位及時諧電磁場,需要求解相應的邊值問題。常用的邊值問題求解方法有解析方法和數值方法兩大類。

4.1 解析方法

解析方法主要有分離變量法、鏡像法和保角變換法等,它們的好處是場解可用解析公式直接表示,精度高,但僅適用于某些特定場景。典型場景如:邊界與正交坐標系重合或可通過解析函數把邊界變換成與正交坐標系重合,以及存在無限大導電/磁平面等情況。

4.2 數值方法

數值方法主要有有限差分法,有限元法和邊界積分法等,數值方法的好處是可以處理任意形狀和媒質的邊值問題,通用性強,但數值方法做了某些近似,計算精度與網格劃分、采用的近似技術、線性代數方程組求解器等許多因素有關。并且因為需要求解線性代數方程組,與解析方法相比需要更多計算機內存和計算時間。

邊值問題求解方法還有高頻近似方法,它適用于物理尺寸比電磁波波長大許多倍的應用場景。

4.3 例子

最后以三個電磁場邊值問題為例考察唯一性定理與場計算之間的關聯。

1)帶電導體的電荷分布

(15)

2)理想電導體的電磁散射

(16)

從上面兩個邊值問題可見,在已知一個邊界條件:導體表面的電位/理想導體表面電場強度切向分量為零,邊值問題有唯一解。然后我們需要求解邊值問題得到另一邊界條件:導體表面電位的法向導數/理想導體表面磁場強度切向分量,最后由兩個邊界條件一起計算區域內的電位/電磁場。

3)介質圓柱體的電磁散射

圓柱的邊界是半徑為a的圓柱面,在圓柱坐標系可簡單表示為ρ=a,所以可用解析方法之一的分離變量法求解。以TMz極化均勻平面入射波為例,入射波電場在z方向,可用柱面波展開為

(17)

式中E0為入射波幅度,Jn(*)是n階貝塞爾函數,k為柱外媒質中的波數。由麥克斯韋方程組可以計算得入射磁場Hinc。圓柱體外還有散射場,散射場也可由柱面波表示為

(18)

在介質柱內總場滿足亥姆霍茲方程,也可展開為柱面波

(19)

式中bn為待定展開系數,kd為介質柱中的波數,展開式中沒有選紐曼函數是因為柱內區域含圓柱中心,而紐曼函數在柱體中心處發散。同理,由麥克斯韋方程組計算得柱內磁場Hint。

最后由電磁場在圓柱體表面的切向分量連續

(20)

(21)

聯列(20)和(21)求解得展開系數an和bn[6]

(22)

(23)

在這個問題中,貌似既不知邊界上的切向電場,也不知邊界上的切向磁場,與唯一性定理的條件不符。實際上,介質柱的電磁散射含兩個邊值問題,即柱外的散射場和柱內的總場。由邊界條件可知,這兩個邊值問題的邊界上切向電場的差為入射電場的切向分量,而邊界上切向磁場的差為入射磁場的切向分量。由此,我們需要聯立式(20)和(21)才能解出場計算需要的邊界切向電場和切向磁場。

同樣的例子如勻強電場中的介質球,我們并不直接知道介質球表面的電位或其法向導數,但可以通過電位和其法向導數的邊界條件聯列解出邊界上的電位或其法向導數。從而能計算由介質球引起的電位變化。

5 結語

課程學習中,各部分內容之間的邏輯關聯對學生完整和深入掌握課程知識非常重要,但在教學過程這一環節往往被忽視。本文給出了電磁場唯一性定理的條件與場計算所需條件的差異,討論了兩者的關聯。以邊值問題為例說明了在滿足場唯一性定理后,如何求解電磁場邊值問題,并最終計算區域內電磁場的過程。由此強化了課程知識點間的內在關聯。