高觀點下幾何證題中的動態方法及投影方法

徐境鴻

【摘? 要】? 利用動態以及投影的方法處理一類幾何問題，是解初等幾何題的一種重要的思想方法.本文就一道經典的關于三棱錐的數學競賽題，通過動點軌跡的變化和頂點的不同投影等變式，利用以上兩種方法展開變式探究，簡單探討如何解決高觀點下的初等數學問題.

【關鍵詞】? 高中數學；動態方法；投影方法

實踐證明，利用動態以及投影的方法處理一類幾何問題，將收到事半功倍之效，它不失為解初等幾何題的一種重要的思想方法.在數學競賽及中高考試題中，我們經常會遇到此類問題.

1? 動態以及投影方法概述

眾所周知，幾何學是研究幾何體的性質——形狀、大小和相互位置關系的一門學科.早期的人們只研究靜止的圖形，隨著研究的深入，才逐步引入了動態的觀點，把圖形之間的位置關系看作是處在變化的、相互依存的狀態之中.這里所說的“動”，是指歐式運動，即平移、旋轉和反射三種基本運動所形成的運動群.在高等幾何里，仿射變換、射影變換已有廣泛應用，但這些“高觀點”在中學幾何上是否用得上呢？結論是肯定的.比如在中學集合中，有證明笛莎格定理等著名定理的.

所謂投影，一般有以下幾種：

（1）從一點向平面所作垂線的垂足，就稱這點在平面上的正投影，簡稱投影.

（2）一條直線在一個平面內的投影，就是這條直線上所有的點在這平面內投影的集合.因此，只需將直線上的兩個點向平面作投影，則平面上連接這兩點的投影的直線，叫做已知直線在平面上的投影.

（3）所謂面積投影定理，是指設一封閉圖形面積為S，其在投影面M內的投影面積，封閉圖形所在平面和投影面M所成之角為，則.

投影方法是實現把空間問題轉化為平面問題的一種重要途徑.把空間一點向平面投影，投影點落在什么位置，有時往往成為解決問題的關鍵.

下面我們就以一道經典的上海市中學生數學競賽題進行簡單的變式探究.

2? 試題呈現

例題? 如圖1，棱錐V-ABC的側棱對于底面的傾斜角都相等，底面為直角三角形，它的兩直角邊CA，CB分別為，又棱錐的高為b，M、N、P、Q分別為AC、CB和VB、VA上的中點，求四邊形MNPQ的面積.

解? 首先找出V點在底面上的投影點.

因為已知棱錐的側棱與底面的傾斜角都相等，所以側棱的投影都相等，于是棱錐頂點V在底面的投影點是的外心.

又因為已知為直角三角形，因此垂足D必在斜邊上，且是斜邊的中點，如圖2.

容易證明：VA、AC、BC、BV的中點Q、M、N、P構成平行四邊形.

其次，找出平行四邊形MNPQ中，Q點在MN上的投影點，以便確定平行四邊形的高.為此在面VAB上，作Q點在AB上的投影點E，

由于VQ=QA，

AE=ED.

如圖3，在中，，又D是斜邊中點，因此為正三角形，

在中，設

，

因此QF即為平行四邊形之高.這樣，設平行四邊形的面積為S，則

，

.

3? 變式探究

3.1? 動態方法：當a，b滿足一定的條件時，求S的最值

（1）當在單位圓上運動時，即當時，求S的最值.

解? .

當且僅當時等式成立.但我們發現它們不可能相等，所以無最值.

（2）當在橢圓上運動時，即當時，求S的最值.

解? .

當且僅當，等式成立.

.

3.2? 投影方法：當V點在底面的射影分別是三角形的垂心和內心時

3.2.1? 當V點在底面的射影是三角形的垂心時

解? 如圖4所示，由三角形垂心的性質可知，點V在底面的投影正好是點C，

，

.

，

，

.

3.2.2? 當V點在底面的射影是三角形的內心時

方法1? 投影法

分析? 如圖5所示，V點在底面的射影即三角形ABC的內切圓的圓心，設為O.連接OA，OB，分別取它們的中點，再把連起來，則平面即為平面QPNM的射影面.設兩平面所成的角為，利用射影的知識不難知道.由求，由求，在直角三角形中可求得到，關鍵就是求出.，所以.

詳細解答過程略.

方法2? 向量法

分析? 以點C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，與OV平行的直線為Z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，可求得內切圓半徑即OD的長為，因此易得各點坐標.通過公式，可求得的正弦值，所以.

詳細解答過程略.

3.3? 其他變式：當是邊長為a的正三角形時

分析? 因為“三心”合一，所以不管V點在底面的射影是外心，垂心，還是內心，方法都是一樣的.

如圖6所示，可求得，

從而得到.

易證得四邊形PQMN是矩形，

所以.

在解決三棱錐問題時常常要解決三棱錐的高，只要抓住了垂足在底面上的位置，問題就容易解決.因此，掌握在各種條件下三棱錐頂點在底面上射影位置，是解決三棱錐問題的關鍵.

4? 教學建議

（1）動態方法可以幫助學生更好地理解幾何問題的性質和關系，通過觀察動態場景中的變化，可以培養學生的幾何直覺和推理能力.射影方法是解決立體幾何問題的重要方法，通過觀察和分析投影變化，可以揭示幾何體的內在本質.

（2）在教學中，可以引導學生主動構造動態場景，通過拖動和觀察來解決幾何問題，激發學生的興趣和主動性.可以使用模型或計算機模擬等工具來展示幾何圖形在平面上的投影變化，幫助學生直觀地理解射影的概念和原理.

（3）在引導學生進行動態方法解題時，可以提供一些提示和引導，幫助學生思考如何調整場景中的元素以獲得更多的信息和線索.引導學生觀察和思考幾何圖形在不同角方向和角度的投影變化，培養他們的幾何直覺和推理能力.

（4）鼓勵學生在解決問題過程中思考和討論，培養他們的合作能力和團隊精神，同時也可以促進他們對幾何問題的深入理解.鼓勵學生在解決問題過程中進行實際操作和實驗，通過動手實踐來加深對射影方法的理解和應用.同時，也可以引導學生進行討論和交流，分享彼此的思考和發現.

5? 結語

一個數學教師的職責之一，是“應使學生了解數學并非孤立的各門學問，而是一個有機的整體”；德國數學家克萊因指出，“有關的每一個分支，原則上應看做是數學整體的代表”，因此有眾多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解.一個稱職的教師應當掌握數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程，了解數學歷史和數學教育演化的經過，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單.

參考文獻：

[1]Felix Klein.Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint[M].上海：復旦大學出版社，2008.

[2]張奠宙.現代數學與中學數學[M].上海：教育出版社，1990.

[3]陶鐵群.中學數學教與學（高中版）[J].江蘇高教，1997（07）.