回歸圓錐曲線定義，巧妙解決應用問題

馮雪婷

【摘? 要】? 數(shù)學中的定義與概念是解決問題的根本所在，也是破解問題最常用的一種樸素策略與重要思想方法．在解決圓錐曲線問題中，回歸圓錐曲線的定義實質，綜合已知條件與相關知識加以靈活應用，實現(xiàn)問題的創(chuàng)新與應用，達到解決圓錐曲線問題的目的，提升解題研究與創(chuàng)新應用．

【關鍵詞】? 高中數(shù)學；圓錐曲線；解題技巧

波利亞在《怎樣解題》中認為：“回到定義上來是一項重要的思維活動，并將這一重要思維活動列在解題表的顯著位置加以闡述．”圓錐曲線的定義描述的是對應曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）最本質的幾何特征，是解決圓錐曲線問題的根本出發(fā)點，更是數(shù)學新知識與數(shù)學新思維的生長點與創(chuàng)新點.特別的，在利用圓錐曲線定義來分析與解決問題，可以使得代數(shù)運算簡化，邏輯推理優(yōu)化．定義法是解答圓錐曲線問題的根本方法，是“以退求進，以簡馭繁”策略下的一種解題模式．

1? 抓住圓錐曲線要素切入

曲線要素涉及圓錐曲線的標準方程、焦點、頂點、準線、漸近線等相關的元素，與對應的曲線方程相聯(lián)系，往往離不開圓錐曲線的定義的應用與轉化．

例1? （2021年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷·14）已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP．若，則C的準線方程為________．

解析? 通過數(shù)形結合，根據(jù)拋物線的定義確定線段PF的長度，結合兩垂直關系的應用，確定兩三角形相似，利用相似的性質建立線段的比例關系，進而代入并確定參數(shù)p的值，得以求解拋物線的準線方程．

解? 由題意可得焦點，

準線方程為：，

如圖1所示，由拋物線定義可知，

由于PF與x軸垂直，且PQ⊥OP，

易得△PFO∽△QFP，

所以有，

即，解得，

所以拋物線C的準線方程為：，

故填答案：．

點評? 巧妙利用平面幾何知識，通過數(shù)形結合，利用直觀圖形，并抓住拋物線的定義加以應用與轉化，合理邏輯推理與數(shù)學運算，轉化線段的長度關系，并通過三角形相似的判斷與性質建立對應的關系式，從而得以應用．

2? 抓住圓錐曲線特征切入

曲線特征涉及圓錐曲線的形狀，主要是橢圓或雙曲線的離心率，線段的比例，動點、動直線等所對應的定點、定值等，也是圓錐曲線的定義的基本綜合與應用．

例2? 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：（，）的左、右焦點，點P在雙曲線右支上且不與頂點重合，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為________．

分析? 根據(jù)圖形直觀，利用平面圖形中輔助線的構建，挖掘圖形中蘊含的幾何關系，結合平面幾何知識以及雙曲線的定義得以確定相關線段的長度，進而構建參數(shù)之間的關系，結合雙曲線的離心率公式來分析與求解．

解析? 如圖2所示，延長F2A，交PF1于點B，

由題意可知，△PBA≌△PF2A，

則有，

結合雙曲線的定義，可得，

又因為點A是BF2的中點，

可得，

從而可得，

所以該雙曲線的離心率，

故填答案：．

點評? 抓住圓錐曲線的圖形特征，以及平面幾何圖形的特征性質，通過圖形直觀，并結合圓錐曲線的定義來轉化與應用，合理構建對應平面幾何圖形并結合相關的圖形特征加以分析與處理．

3? 抓住圖形特征切入

圓錐曲線上對應的平面幾何圖形（往往是三角形、四邊形等）的面積、角度、距離等相關問題，經(jīng)常要借助圓錐曲線的定義加以應用．

例3? （2021年高考數(shù)學全國甲卷）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形PF1QF2的面積為________．

解析? 先根據(jù)四邊形的結構特征判定四邊形PF1QF2的形狀為矩形，結合矩形的幾何性質，并綜合利用橢圓定義以及平面幾何知識來建立相應的關系式，綜合數(shù)學運算與邏輯推理來分析與應用．

解? 依題可得，結合題設條件可知四邊形PF1QF2為矩形，

設，

由橢圓的定義可得，

兩邊同時平方可得，

利用勾股定理有，

結合以上關于m，n的兩式，整理可得，

所以四邊形PF1QF2的面積為，

故填：8．

點評? 綜合利用圓錐曲線的定義，結合對應線段的長度來合理構建對應的關系式，為進一步解決圓錐曲線上對應的平面幾何圖形的幾何特征與性質提供條件．破解的關鍵是將平面幾何圖形的對應邊或角的元素與圓錐曲線上的相關元素加以聯(lián)系，進而構建關系，產(chǎn)生聯(lián)系．

4? 結語

借助圓錐曲線的定義是解決圓錐曲線的綜合應用問題中常用的一種基本技巧方法，回歸圓錐曲線的定義本源，借助定義先行，合理構建與定義相關的關系式，為進一步的分析與應用奠定基礎．回歸數(shù)學問題的定義，追溯數(shù)學問題的本源，讓概念走下“神壇”，這是我們學習數(shù)學的重要節(jié)點．巧妙靈活利用數(shù)學中的相關定義，直達問題本質，往往可以優(yōu)化解題過程，提升解題效益，從而化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的良好效果，全面提升數(shù)學能力與數(shù)學核心素養(yǎng)．