基于“直觀想象”的教學(xué)思考

卓世晨

【摘? 要】? 函數(shù)零點(diǎn)問題歷來是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、有解無解、恒成立等問題更是讓學(xué)生感到困惑，這類問題的嚴(yán)謹(jǐn)推理過程往往變量較多、運(yùn)算量較大、推理較復(fù)雜，但如果運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法來進(jìn)行探究，思路往往比用代數(shù)計(jì)算簡單得多.本文以兩道例題對數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行一些思考.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；函數(shù)的零點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合

1 基于高考試題的多角度解題策略分析

例1? （2017全國3卷11）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D）1.

1.1? 函數(shù)與方程

解法1? 對求導(dǎo)，

，，

，

當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以單調(diào)遞增，

又因?yàn)椋?/p>

所以在上，，在上，.

所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.

，

所以.

解法1是通過對原函數(shù)的求導(dǎo)探究原函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)來解決給定零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.這種解法思路上較為直接，但是求導(dǎo)過程的難易因題目所給函數(shù)的不同會產(chǎn)生較大的差異性.我們不妨開拓思路，嘗試從圖象的角度出發(fā)探索更為簡單直接的解題方法.

1.2? 函數(shù)的性質(zhì)

解法2? 觀察，

發(fā)現(xiàn)，

即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，

又因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，

所以其對稱軸處即為零點(diǎn)，

即，.

解法2相較解法一在計(jì)算量上有了很大程度的減少，其關(guān)鍵點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生在面對一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候，不急于求導(dǎo)，而是要能夠通過觀察解析式得到函數(shù)的性質(zhì)，再通過函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

1.3? 數(shù)形結(jié)合

解法3? 依題意得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，

即方程有唯一解有唯一解.

令，

，

即與有一個(gè)交點(diǎn)，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，.

②當(dāng)時(shí)，，，兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)前僅當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí).

解法3是將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問題再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.由于轉(zhuǎn)化出的兩個(gè)函數(shù)均是學(xué)生非常熟悉的初等函數(shù)，學(xué)生能夠很好地把握住函數(shù)圖象的特點(diǎn)，也就能大大地減少運(yùn)算量，提升解題的速度.

2? 零點(diǎn)問題教學(xué)中對培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的思考

例2? （2019新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊156頁，第13題改編）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解題思路? 引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)解析式，從中分離出常見函數(shù)，利用函數(shù)圖象的變化規(guī)律解決問題.

（1）識別函數(shù)：當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù).

（2）識別函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在零點(diǎn)；

（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置均含參數(shù)，無法確定.

思考解題策略? （1）直接從二次函數(shù)的角度來解答，則需要討論的有二次函數(shù)的開口方向；對稱軸的位置；零點(diǎn)的類型.由此引發(fā)的討論情況較多，且容易由于討論不完全而導(dǎo)致遺漏可能結(jié)果的情況.（2）將函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)解.再進(jìn)一步將其分離為兩個(gè)初等函數(shù) ，即，，繪制出兩個(gè)函數(shù)圖象，使其在存在一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

解題策略的選擇? 將在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)的問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初等函數(shù)的在內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，避開了復(fù)雜的分類討論，利用初等函數(shù)的圖象，更加直觀地解決了問題.

3? 結(jié)語

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)有兩大模塊，即數(shù)與形，眾所周知，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.所以在教學(xué)過程中我們要培養(yǎng)學(xué)生“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”的能力，體會數(shù)形相生，相輔相成.而要能夠熟練地將數(shù)與形結(jié)合在一起，就必須培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)，能夠應(yīng)用幾何直觀和空間的想象來感受物體的變化，根據(jù)圖形的變化分析數(shù)學(xué)問題，以此促使學(xué)生建立數(shù)和形的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)思維能力.

參考文獻(xiàn)

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