關于導數(shù)中零點唯一性問題的方法探究

劉海濤

【摘? 要】? 對于導數(shù)中零點唯一性問題，主要有數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、分區(qū)間研究法三種解題方法.在具體求解時要關注問題中函數(shù)的特征，合理根據(jù)求導后的函數(shù)形式選擇方法研究.本文根據(jù)一道典型例題開展探究，剖析此類問題的解題方法和解題思路，以供教學參考.

【關鍵詞】? 高中數(shù)學；導數(shù)；解題技巧

導數(shù)零點唯一性問題是高中數(shù)學的重要考點，涉及函數(shù)、導數(shù)、零點討論等知識點，思維難度大，考查形式靈活.在教學中，可以圍繞如下解題思路展開探究：首先證明函數(shù)零點的存在性，然后再證明零點的唯一性.本文將在此思路的基礎上總結(jié)歸納，將思路轉(zhuǎn)化為實際的解題方法和解題策略.

1? 例題呈現(xiàn)

已知函數(shù)，求證：函數(shù)有唯一零點.

2? 方法探究

2.1? 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學思想之一，顧名思義就是將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，充分利用兩者的優(yōu)點.代數(shù)在證明和計算上更具有嚴謹性，而幾何卻更直觀，便于理解.兩者有機結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，就可以將復雜問題簡單化.再輔以適當?shù)拇鷶?shù)解釋，就可以使解題過程更加完整有序.

解? 證明函數(shù)有唯一零點，

即證明方程有唯一解.

設函數(shù)，，

利用數(shù)形結(jié)合思想，即證明函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有唯一交點.

因為，

所以.

因為，

所以.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當趨于時，可以發(fā)現(xiàn)也趨于，

同理當趨向于正無窮時，也趨向于正無窮.

因為，

所以.

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增.

所以.

當趨于時，可以發(fā)現(xiàn)趨向于正無窮，

當趨向于正無窮時，趨向于.

綜合上述計算結(jié)果，可以畫出兩函數(shù)的簡圖，如圖1可知，兩函數(shù)圖象有唯一交點，即方程有唯一解，從而證明函數(shù)有唯一零點.

評析? 數(shù)形結(jié)合法要求學生有很好的作圖能力，有利于學生加深對于函數(shù)圖象的理解.要畫出圖象，就需要解得函數(shù)的幾何特性，如單調(diào)性、漸近線、與坐標軸交點等等，在合理的范圍內(nèi)畫出函數(shù)圖象即可直接看出交點個數(shù).

2.2? 構(gòu)造輔助函數(shù)法

函數(shù)問題需要通過研究函數(shù)來解決，但是題干中的函數(shù)往往并不會很好研究，這時候就需要根據(jù)題意，合理得構(gòu)造出另一個能達到題目目的的函數(shù).借助對于新函數(shù)的研究，既可以簡化解題，又可以得到答案.此方法有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，讓學生在面對不同的函數(shù)問題時，能根據(jù)自己的想法構(gòu)造出想要的函數(shù)去解決問題，提高數(shù)學素養(yǎng).

解? 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為.

因為函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)有唯一零點等價為函數(shù)具有唯一零點.

所以.

因為，

所以.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

因為，

所以，

所以時，函數(shù)有唯一零點，

所以函數(shù)有唯一零點.

評析? 構(gòu)造輔助函數(shù)法的關鍵在于構(gòu)造，需要對原函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行合理變形，取某一項來進行研究.大致的思路是將乘除變?yōu)榧訙p，超越函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)等等，總的來說都是為了簡化函數(shù).在平時的教學中，要引導學生多去構(gòu)造函數(shù)，鍛煉構(gòu)造函數(shù)的能力，能夠根據(jù)求導后的函數(shù)式寫出原函數(shù)，就可以在面對其他題目時思路更加開闊.

2.3? 分區(qū)間研究法

分區(qū)間研究法是將函數(shù)的定義域分為幾個區(qū)間進行研究，在整體上，對于函數(shù)的研究難度較大，無法得到特殊的值.而將定義域分為不同的區(qū)間后，在不同的范圍內(nèi)，邊界值可以因為人為構(gòu)造而變得特殊，便與討論，最后再將所有的區(qū)間整合辨析，就可以得到最終零點的個數(shù).

解? 因為，

所以.

當時，，

，

所以，所以在上單調(diào)遞增.

因為，

所以，

則時，函數(shù)存在唯一零點.

當時，

，

所以，

故當，函數(shù)不存在零點.

綜上所述，函數(shù)有唯一零點.

評析? 分區(qū)間研究法要選好區(qū)間的邊界值，使得某些區(qū)間的討論是不必要的或簡單的，這樣就可以在定義域的整體上縮小討論范圍，從而達到簡化解題的目的.在平時的訓練中，要讓學生多注意觀察函數(shù)的特殊點，以特殊點所取得值為邊界，往往就可以到達很好的效果.同時也可以增強學生的題意識.

3? 結(jié)語

總的來說，上述呈現(xiàn)了導數(shù)中零點唯一性問題的三種解題思路，建立在“化歸轉(zhuǎn)化”，“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想基礎上，將復雜的零點問題轉(zhuǎn)化為簡單，直觀化的一般情形.在平時的教學中，需要結(jié)合不同的實例，讓學生自主選擇方法進行探索研究，既可以增加對于方法的理解，又可以提升數(shù)學素養(yǎng)，掌握如作圖、構(gòu)造函數(shù)、辨別特殊點的基本數(shù)學能力.