例談數(shù)列通項(xiàng)公式的多種解法

龍祁林

【摘? 要】? 數(shù)列是以正整數(shù)集或者它的有限子集為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)，而數(shù)列的通項(xiàng)公式是將數(shù)列的第n項(xiàng)用一個(gè)含有參數(shù)的具體式子表示出來(lái)，與函數(shù)解析式類似，只要代入具體的n值就能解得對(duì)應(yīng)的值.高中階段求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是一類重要的題型，主要考查學(xué)生的觀察能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力，可通過(guò)專項(xiàng)練習(xí)，熟練掌握解題方法，提高運(yùn)算能力和解題能力.本文介紹4種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，以期幫助學(xué)生更快掌握技巧.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；數(shù)列通項(xiàng)；解題技巧

1? 累加法

累加法作為遞推法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法之一，適用于相鄰兩項(xiàng)系數(shù)相同的情況.當(dāng)系數(shù)為常數(shù)時(shí)，可以直接使用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.若系數(shù)為關(guān)于n的變量，可以通過(guò)編寫(xiě)遞推關(guān)系式，然后逐項(xiàng)求和得到通項(xiàng)公式.解決此類問(wèn)題的思路主要包括：①觀察數(shù)列，判斷其是否符合適用累加法的形式；②根據(jù)已知條件和遞推公式，分別編寫(xiě)遞推關(guān)系式，并將它們相加，從而得出通項(xiàng)公式.

例1? 若在數(shù)列 中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解? 由，得.

找出關(guān)鍵一步，

……

將以上各式左右兩邊分別相加得

又因?yàn)?/p>

所以

得，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

2

求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型之一，即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式求通項(xiàng)公式，這類型問(wèn)題可以利用公式法求解，主要利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本公式求解，例如表示出.主要步驟為：①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，表示出或時(shí)數(shù)列對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和或；②直接利用計(jì)算求解，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2? 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析? 本題利用將已知等式的右邊表示為含的形式，再利用的取值范圍解以為未知量的一元二次方程，進(jìn)而確定該數(shù)列的首項(xiàng)，再結(jié)合公差，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解得.

解? 因?yàn)椋?/p>

所以，

兩式作差：，

所以，

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

解之得：，

所以是首項(xiàng)等于1，公差等于2的等差數(shù)列，

因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

3

待定系數(shù)法，是一種求未知數(shù)的方法，通過(guò)將多項(xiàng)式表示為另一種含有待定系數(shù)的新的形式，繼而得到一個(gè)恒等式，利用恒等式的性質(zhì)解得系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，然后解方程或方程組求解待定的系數(shù)的方法.同樣，形如（q，d為常數(shù)）式子求數(shù)列的通項(xiàng)公式也可利用待定系數(shù)法求解，利用待定系數(shù)法求解的主要步驟為：①假設(shè)未知數(shù)，并將其代入式中，表示出相應(yīng)的數(shù)列形式；②代入數(shù)列得到具體的數(shù)列公式；③通過(guò)列方程或方程組求出待定系數(shù)的值，最后代入數(shù)列解得的通項(xiàng)公式.

例3? 已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式.

分析? 本題利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解，假設(shè)，解得待定系數(shù)，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，繼而解得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解? 因?yàn)椋?/p>

所以，

令，

所以，

即，解得，

所以，

所以是首項(xiàng)等于，公比為-2的等比數(shù)列，

其通項(xiàng)公式，

因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4

形如時(shí)，可以利用取倒數(shù)法求解通項(xiàng)公式.取倒數(shù)法，一般是指取已知式子的導(dǎo)數(shù)，然后將等式右邊的分?jǐn)?shù)形式拆分成等差數(shù)列的形式，繼而求解.利用取倒數(shù)法求解的主要步驟為：①將的兩邊同時(shí)取倒數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)椋虎趯⒌仁接疫吜秧?xiàng)，假設(shè)，并求解通項(xiàng)公式；③借的通項(xiàng)公式解得的通項(xiàng)公式.

例4? 已知數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析? 很明顯本題取倒數(shù)求解更簡(jiǎn)單，將其轉(zhuǎn)變?yōu)椋⒓僭O(shè)，解得，繼而解得的通項(xiàng)公式.

解? 因?yàn)椋?/p>

所以將等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：，

假設(shè)，所以，

因?yàn)椋?/p>

因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以，

因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

5? 結(jié)語(yǔ)

數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考數(shù)學(xué)的必考題型，通常以解答題或者選擇題的形式出現(xiàn)，求解的這類型問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目已知條件靈活運(yùn)用基本公式求解，在熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本公式的前提下，還要多加練習(xí)并總結(jié)相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，做到有的放矢，這類型問(wèn)題便可迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

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[2]張新穎.關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式求法的探討[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（06）：62-64.