立體幾何中基于向量法的坐標(biāo)求解算法研究

陶治國

【摘? 要】? 向量法在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位，是一個不可缺少的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用空間向量解答立體幾何問題就必定涉及建系，涉及標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將原問題轉(zhuǎn)化為向量問題，利用向量的運(yùn)算知識求解，而如何標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)即是解答問題的突破口.一般來說標(biāo)點(diǎn)的思路主要分為三種，即直接標(biāo)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)和引參標(biāo)點(diǎn)，本文利用相關(guān)例題一一介紹如何運(yùn)用上述三種標(biāo)點(diǎn)方式解題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；向量法；坐標(biāo)設(shè)定

1? 直接標(biāo)點(diǎn)

直接標(biāo)點(diǎn)是標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)中最簡單最直接的手段，就是在建立空間直角坐標(biāo)系以后，將一些相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)出即可.因此，直接標(biāo)點(diǎn)的關(guān)鍵在如何建系，找一個能夠明確與所有相關(guān)點(diǎn)的距離的點(diǎn)作為原點(diǎn)，然后直接根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離關(guān)系表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).這一策略適用于較為簡單、明顯已知線段之間的距離的問題.

例1? 如圖1所示，四邊形是直角梯形，，平面，，，求與平面所成角的正弦值.

思路? 本題可采用直接標(biāo)點(diǎn)的方式，已知相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，且以點(diǎn)為原點(diǎn)時能夠快速找出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用相關(guān)公式求得正弦值.

解? 如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別沿著向量的單方向建立軸，

則，，，，

因?yàn)榍移矫娴姆ㄏ蛄繛椋?/p>

所以平面所成的角的正弦值：

.

2? 設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)，是指將某些不能直接表示出來的點(diǎn)的坐標(biāo)假設(shè)出來，然后利用題設(shè)條件求出相關(guān)坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)策略應(yīng)用的關(guān)鍵在于如何利用已知條件或關(guān)系求出假設(shè)的點(diǎn)坐標(biāo)，此策略的難度較直接標(biāo)點(diǎn)大，一般來說，是在建立空間直角坐標(biāo)系后對某些點(diǎn)假設(shè)其坐標(biāo)，繼而利用已知信息求出另一坐標(biāo).

例2? 如圖3所示，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，，證明：平面.

思路? 本題若以為原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不能表示出來，故假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)為等邊三角形得到向量的模長相等，故利用此關(guān)系建立等式進(jìn)而求解.

證明? 如圖4所示，以為原點(diǎn)，射線與的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)椋?/p>

所以，

，

，

因?yàn)椋?/p>

所以，

解得，

因?yàn)椋?/p>

所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以，

解得，，

所以，

則，

，

，

因?yàn)椋?/p>

所以，，

又，

所以平面.

3? 引參標(biāo)點(diǎn)

引參標(biāo)點(diǎn)與設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)類似，不同的是引參標(biāo)點(diǎn)是設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，引入?yún)?shù)求出參數(shù)表示出坐標(biāo)，而設(shè)點(diǎn)標(biāo)點(diǎn)是假設(shè)一個點(diǎn)的坐標(biāo)，求出另一點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，利用點(diǎn)在直線上引入?yún)?shù)作“橋梁”，將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示，求出參數(shù)進(jìn)而得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).

例3? 如圖5所示，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點(diǎn)在上，且，在上是否存在一點(diǎn)，使平面，證明你的結(jié)論.

思路? 本題根據(jù)題意確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建系以后分別用參數(shù)表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后借助幾何關(guān)系和向量計(jì)算得到參數(shù)的值，代入得到點(diǎn)的坐標(biāo).

解? 由題設(shè)可得：，，

所以，，故平面，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸和軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示，

則，，

，，

、，

所以，，

，，

，

設(shè)，，

則，

令，

所以

解得

故當(dāng)時，，

綜上所述，當(dāng)是的中點(diǎn)時，共面，

又因?yàn)槠矫妫?/p>

所以當(dāng)是的中點(diǎn)時，平面.

4? 結(jié)語

本文主要介紹了運(yùn)用空間向量求解立體幾何問題中如何標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的思路，其中直接標(biāo)點(diǎn)的方式運(yùn)用得最多，而引參標(biāo)點(diǎn)的題目最難，也出現(xiàn)得較少，這三種策略都是同學(xué)們必須掌握內(nèi)容，值得同學(xué)們深入思考.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳雪梅，李士锜，程海奎.用向量法處理立體幾何問題的教學(xué)效果研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008，17（3）：55-57.

[2]鄒鵬，劉少平.向量法解高考中的立體幾何問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高中版），2019（24）：3-6.