不等式恒成立問題解法的舉例探究

裴玉玲

【摘? 要】? 不等式恒成立問題的破解策略較多，常用的有分離參數、分類討論、數形結合三大方法.具體求解時，需要把握問題特點、根據問題類型來確定解法.本文具體探究三大解法，并結合實例分析.

【關鍵詞】? 高中數學；不等式；解題技巧

不等式恒成立問題在高考或?？贾惺殖Ｒ?，問題常見兩種類型：一是在全集R上恒成立；二是在給定區間上恒成立.問題解析有多種解法，可以采用分離參數、分類討論、數形結合等方法來簡化運算，降低思維難度.下面結合實例具體探究.

解法1? 分離參數

分離參數破解不等式恒成立，適用于解含有參數的不等式問題.解析時變形不等式，可先將參數分離，再構造函數，利用函數性質來求解，如函數的單調性、值域等，解析函數單調性可借助導函數.

例1? 已知函數，.當時，求使不等式恒成立的最大整數k的值.

思路分析? ?本題目為含參不等式恒成立問題，含有參數k，解析其取值時可以采用參數分離的方法，將不等式參變分離，后續構造函數，確定其單調性，求其值域，進而推導k的取值范圍.

解? 由恒成立，

可得，

所以.

由于時恒成立.

可設，

對應導函數為.

令，

則.

因為，則，在上單調遞增.

而，，

所以存在，使得，

即.

所以當時，，此時函數單調遞減；

當時，，

此時函數單調遞增.

所以在處有極小值（也是最小值），

則.

又有恒成立，即，所以k的最大整數值為3.

評析? 上述在求解不等式恒成立問題時，采用了分離參數的方法，即變形不等式，進行參變分離.過程中分為兩步：第一步，變形不等式，參變分離；第二步，構造函數，分析函數性質，確定其最小值，進而推導k的取值.

解法2? 分類討論

分類討論破解不等式恒成立，即設定標準，分別討論不等式成立的情形，將問題轉化為單一的不等式成立問題.如討論參數的取值，討論函數變量的定義域等.

例2? 已知函數.若對任意實數，都有恒成立，則實數a的取值范圍是? ? ? ?.

思路分析? 本題目為不等式恒成立求參數取值問題，可以采用分類討論的方法，討論參數a的取值，再逐一確定結論.

解? 對任意實數，均有，需要分類討論參數a的取值.

情形1? 當時，，

不滿足對任意實數， 恒成立；

情形2? 當時，，

令，

則 .

所以函數單調遞減，

由于，

.

所以存在唯一零點，

使得，.

故當時，，單調遞增；

當 時，，單調遞減.

所以

.

令，，

故，在定義域內是單調增函數，

由于，所以的解集為，

則，

即實數a的取值范圍是.

評析? 上述求解不等式恒成立問題時，采用了分類討論的方法.分別討論參數a的取值范圍，將問題轉化為單區間變化的不等式問題，后續借助構造函數，借助函數性質來推導參數取值.

解法3? 數形結合

數形結合破解不等式恒成立，即結合函數圖象來分析函數的單調性、值域，進而推導結論.數形結合求解時，需要解析問題，將不等式恒成立問題轉化為

例3? 設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是? ? ? .

思路分析? 本題目為不等式恒成立求取值問題，m為定義域的端點值，題干設定了函數的變換規律，即，可采用數形結合的方法，繪制函數的圖象，結合圖象分析取值，再確定m的取值范圍.

解? 因為，

則.分析可知，有如下結論：

當時，

有；

當時，，

；

當時，

，

.

根據上述結論，可繪制如圖1所示圖象，即函數在每個變化周期上，其值逐步減小.

則當時，由，

解得，，

若對任意，都有，

則，

即m的取值范圍是.

評析? 上述求解不等式恒成立問題時，采用了數形結合的方法，解析問題轉化為分析函數值域問題，確定其圖象變化規律，然后繪圖圖象，結合圖象構建方程，確定m的取值范圍.數形結合是直觀分析問題的一種方法，有助于降低思維難度.

結語

總之，上述結合實例具體探究了破解不等式恒成立問題的三大策略，參數分離、分類討論方法可有效用于含參不等式問題中，是處理參數、簡化過程的重要方法.而數形結合則可用于值域性不等式問題中，可借助圖象來輔助分析.探究學習時要注意總結方法，結合實例強化學習.