一類拐角問題賞析

許國偉

【摘? 要】? 以拐角為背景的數學實際應用性問題，解法雖異曲同工，卻頗有新意，本文結合兩則典例賞析，以拓寬學生思維路徑，培養學生的“求同存異”思維.

【關鍵詞】? 高中數學；拐角；解題技巧

拐角，日常生活中隨處可見，于是以拐角為背景的數學實際應用性問題應運而生，解法雖異曲同工，卻頗有新意，體現了數學思維的“求同存異”.本文介紹兩例，與大家共賞.

例1? ?東水西調水利工程，把東部的水資源調配到西部缺水地區，充分解決了西部地區的用水問題，同時，也加快了我國西部地區的工農業發展.在輸水管道的鋪設過程中，有一段直線形水管的鋪設必須要經過一段平行峽谷，勘探人員在峽內恰好發現一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角，用測量儀器得到此橫截圓面的圓心為，半徑且為米，而運輸人員利用運輸工具按照水平橫向來移動直線形水管，無法回避這一圓弧的拐角，必須從寬度是米的峽谷中拐入寬度是米的另一個峽谷.示意圖如圖1，而位于峽谷懸崖壁上的兩個點與的連線段剛好與該圓弧的拐角相切，且點為（點，，在同一水平面內），若要使得直線形輸水管能夠順利地通過圓弧拐角，其長度不能超過______米.

解析? 設，其中，

延長OM，交AB于D，過B做SB垂線，交DO于G，延長ON，交AB于E，

過A做SA垂線，交NO于F，如圖2所示.

在Rt中，，，

則，即，

在中，，，

則，即，

在中， ，，

所以，

又，

所以，

所以=，

因為，

其中，當且僅當時，等號成立，

所以

= ，

當且僅當，即時等號成立，所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角，其長度不能超過75米.故答案為75.

點評? 本題本質上是平面幾何背景下的三角函數最值問題，解題的關鍵是根據題意，得到AB長度的表達式，難點在于需利用湊“1”法，將表達式化簡成齊次式，結合基本不等式求解，考查計算化簡的能力，屬中檔題.在解答過程中反復進行三角變換并應用基本不等式，體現了數學解題的靈活性，值得我們好好回味！

例2? 圖3是某一“”型水渠的俯視圖，水渠南北走向與東西走向的軸截面都是矩形，已知南北走向的渠道的寬度是4米，東西走向的渠道寬度是米（從拐角處，就是圖中兩點處開始）．假如渠道內的水面始終一直保持無高度差的水平位置．

（1）在水平面內，一條直線過點A且與水渠的內壁相交于，兩點，若該直線與水渠的一邊的夾角是，請把線段的長度用自變量為的函數來表示；

（2）如果從南面順著水流漂來一根7m長筆直的竹竿，它始終漂在水平面上（粗細不計），試問：該竹竿可否從拐角處出發，不會被卡住，一直漂到東西走向的水渠中？請說明理由．

解析? （1），

，

所以，

即．

（2）設，，

由，

令，得，

且當，；

當，，

故在區間上遞減，在區間上遞增，

于是當時，函數取得極小值，該值也是最小值．

當時，，

，

所以，

故該竹竿能順利通過拐角處的最大長度是m．

因為，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠．

點評? 本例的重點依然是建立三角函數式，求解過程與例1相比，求三角函數最值方法是利用導數來解決，體現了導數在三角函數最值問題中獨特的作用.

結語

上述兩個例題屬于同一種類型，都是體現了三角函數的最值問題在實際生活中的應用，而最終解決問題的方法不同，例1采用的是三角函數性質和基本不等式，而例2則采用的導數法，從兩個例子的解析可以看出，拐角問題最終都可以歸結為三角函數最值問題，但如何求最值，必須具體問題具體分析.