逆向思維在初中數學解題教學中的應用探究

陳若冰

【摘要】初中數學教師在解題教學過程中開展逆向思維培養活動，引導學生運用逆向思維解答各類數學問題，不僅可以開拓其數學解題的思路，提升他們問題解答的效率，還能借此使學生掌握正向解題、逆向解題兩種方式，使其能夠快速簡化問題的解析難度，進而提高其自主解答數學問題的能力.對此，為了使逆向思維解題教學發揮出更好的效果，文章從思維培養視角出發，闡述教師通過開展逆向引導、逆向推論、逆向求解等解題活動，提高學生思維應用能力的具體策略.

【關鍵詞】初中數學；逆向思維；解題教學

引 言

在數學核心素養背景下，教師不僅要讓學生扎實掌握學科理論知識和數學解題技能，還要培養他們會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界的能力.基于此，在數學解題課程中，教師若想進一步提高學生的解題能力，需要拓展他們的解題思路，通過有效的教學手段啟發他們的逆向思維，引導他們運用逆向思維方式理解數學問題，獲得新的解題思路，找到有別于以往模式化解題方法的問題解決辦法，從而提升其問題解決的效率，提高學生的逆向思維能力.

一、逆向思維的概述

（一）逆向思維的概念

逆向思維是相對于正向思維而言的，是對正向思維進行反方向拓展，也被稱之為求異思維，具體指的是從反方向角度出發思考問題、研究問題和解決問題的一種逆向思維方式.學生在使用逆向思維時，能夠突破傳統思維的束縛，從與眾不同的角度出發，對問題進行反方向探究，從而總結出區別于以往模式化解決方法的全新方案.在數學課程中，逆向思維通常應用于解題教學之中，學生需要從數學求解問題反推回已知條件，通過反方向思考數學知識，使問題變得更加簡單化，從而快速得出數學問題的答案.

（二）逆向思維的特征

逆向思維具有普遍性、新穎性、批判性三個主要特征.普遍性指的是在數學解題過程中，學生需要對問題進行多角度、多方面、全方位的分析與審視，要從常規思維的反向視角出發，推導數學知識的理論和原理，從而簡化問題理解的難度，提高問題解決的效率.新穎性指的是學生運用逆向思維解答數學問題時，要摒棄傳統的循規蹈矩式問題分析方法，突破固化思維的束縛，可以采用更為靈活的反向思考方式，對相關知識進行多方面的深入研究，進而厘清問題解答的思路，找到更出人意料的數學解題方法.批判性指的是學生在運用逆向思維解題時，需要克服思維定式，打破以往的問題解析模式，摒棄傳統的常規化解題途徑，自覺找尋與眾不同的正確解題方法.

二、初中數學解題教學培養學生逆向思維的具體措施

（一）引導逆向思維應用，培養逆向思維解題意識

數學教師若想提高學生運用逆向思維解答數學問題的能力，就要先培養他們應用逆向思維解題的意識，使其掌握正確高效的逆向思維運用方法，體會到逆向思維應用的作用和意義，進而更加自覺地訓練他們靈活運用逆向思維的能力.

首先，數學教師需要結合教材知識，引導學生探究逆向思維的內涵，感悟逆向思維的應用意義.例如，在教授華師大版初中數學七年級上冊第二單元“絕對值”知識時，教師需要引導學生從正、反兩方面視角出發，對絕對值的概念、性質進行深入研究.比如，學生通過分析教材中的案例，能夠知道正數的絕對值是它本身，而負數的絕對值則是這個數的相反數，這里初步涉及逆向思維.對此，教師可以結合絕對值的定義設計逆向思考問題，如“已知|m|=-m，則m的取值范圍是什么？”在解答上述問題時，學生需要根據絕對值的定義，運用逆向思維思考-m與m之間的關系，通過反向推導，得到m的取值范圍.學生通過解答這一問題，能夠初步領悟逆向思維的內涵，了解逆向思維的應用場景.

其次，教師再借助案例習題教授學生逆向思維的正確運用方法，讓他們更加直觀地感受逆向思維解題的優勢，進而逐漸形成較強的逆向思維應用意識.以華師大版九年級上冊第二十一單元“二次根式”課程為例，教師可以圍繞此部分知識設計數學習題，引導學生運用逆向思維推理問題答案.比如“某一數學方程的根為-2和3，求這個方程.”針對這個問題，教師需要引導學生了解二次根式和一元二次方程相關的知識有哪些，同時，運用因式分解法探究此問題的解決方法.比如，學生可以先根據題目內容設一個方程，如a（x+2）（x-3）=0，然后，他們再對a進行取值代入（不含0），通過多次反向推理運算，得出最終答案.在此過程中，學生能夠對已知條件和未知結果進行互逆推導，用反方向探究的方式快速得出問題結果，同時，初步掌握逆向思維的運用方法，形成良好的逆向解題意識.

（二）開展逆向思維訓練，提高逆向思維解題能力

教師為了更加高效地提升學生逆向思維運用能力，提高他們數學解題的效率，需要開展有效的逆向思維訓練活動.教師可以圍繞各單元知識點開展數學專題訓練活動，為學生提供更多逆向思維應用的機會，引導他們從反向角度出發，探究數學問題的逆向解法，借此提升其將復雜問題簡化的水平，使其更加扎實地掌握逆向思維應用方法，從而提升其逆向解題的能力.

1.逆向判定數學理論

判定數學定理、判斷數學理論是最常出現，也是最為基本的一個數學問題類型，這對于加深學生對抽象數學概念和理論的理解具有重要意義，同時，這也是鍛煉他們逆向思維能力較為基礎的一類題型.基于此，教師需要培養學生的逆向思維，使其能夠從反向角度出發，以逆向推斷或判定的方式探究問題結論，使其更加快速地找到數學本質，從而提升解答判定類數學問題的效率.

以華師大版七年級數學上冊第五單元“平行線的判定”課程為例.在鞏固平行線的性質和判定知識時，教師可以設計如下習題：圖1中∠1=∠3，∠2=∠4，∠6=∠8，其中能夠判定直線a與直線b平行的條件有哪些？

此題的目的是考查學生是否掌握平行線的判定方法.對此，學生需要運用逆向思維，結合圖中信息，從多個角度出發判定直線a與直線b平行，同時推斷各角之間的關系，然后再從問題中選出符合要求的條件.在解題過程中，學生通過探究各項信息之間的內在關系，找到更為靈活、更為高效的問題解答途徑，通過反向推導，快速得出問題答案，從而提升數學解題的效率.

2.逆向解析數學題目

分析和理解數學題目是解答數學問題的第一個步驟，也是實現高效解題的關鍵環節，學生若能透徹理解題目的意思，了解出題者的意圖，同時知道題目所考查的相關知識，則可以更加快速地厘清解題思路，找到更為精準的解題路徑，從而提升問題解答的效率與質量.在這里需要注意的是，學生若是只依靠常規的正向解題思維研究數學問題，則很容易陷入出題者所設下的“陷阱”之中.因此，教師需要教授他們逆向檢測方法，使其能夠運用逆向思維檢查習題結果的準確性，以此來避開“隱秘的陷阱”，提高解答數學問題的準確率.

在數學問題逆向解析過程中，教師可以先引導學生逆向分析題目內容，探尋問題中的數學本質，然后再提煉其中的關鍵信息，同時根據已知條件，結合相關數學知識對其進行合理運算.之后，學生再運用逆向思維檢查習題結果，確保習題解答的正確性.以華師大版七年級數學下冊第六單元“解一元一次方程”課程為例.教師可以設計如下問題：李雷今年的年齡是8歲，他祖父的年齡是62歲，問多少年后，祖父的年齡是李雷年齡的4倍.在解題過程中，教師需要帶領學生先深入研究習題題目，探尋出題者的考核意圖.比如，此題考查的是一元一次方程知識，其關鍵點不僅是“多少年后”，還包括“4倍”，所以，學生不能簡單地計算李雷和祖父的年齡值，而是要圍繞4倍年齡差進行年限計算.對此，學生可以先把“多少年”設置為未知數x，然后再根據題目中的提示信息列出一元一次方程，即8+x和62+x，之后再結合4倍年齡差對方程式進行求解，最終得出“10年后”這一結果.之后，學生需要將10代入原題之中，再一次確認10年之后祖父的年齡為李雷年齡的4倍，用逆向思維檢查結論的準確性.學生通過深入解析數學題目，逆向驗證問題結果，既可以躲避問題“陷阱”，提高解題的準確率，又能形成良好的逆向驗證意識，提高逆向思維能力.

3.逆向證明數學定理

數學教師教授學生數學定理的逆向證明方法，是提高他們的逆向思維能力，使其更加透徹地理解數學概念性、理論性知識，提高學習質量的一種有效授課方法.逆向證明指的是從數學問題的結論出發，對其進行反方向推導，由果反向推理出問題的因，然后再根據因果關系，得出問題的最終答案.學生運用逆向證明法解答數學問題，能夠更加快速地解答一些難以用正向推導法解決的復雜性問題，進而提升解題的效率與能力.逆向思維證明法包括反證法、逆證法和分析法.比如，學生若想證明數學不等式，可以從習題結果出發，逆向求出問題的初始條件，從而找到新的解題途徑.

以華師大版八年級上冊第十三章“等腰三角形的判定”課程為例.學生通過學習此單元知識，能夠知道“等腰三角形的兩個底角不能是鈍角，也不能是直角，只能是銳角，而此圖形的頂角則可以是鈍角，也可以是直角”這一定理.在逆向思維訓練活動中，教師可以圍繞此定理設計證明習題.例如，針對圖2中的等腰三角形，證明此圖形的兩個底角必為銳角.

對此，在逆向證明過程中，學生需要先做出假設，即假設∠B和∠C同為直角或鈍角，然后計算三角形三個內角之和，而這兩種角的內角之和均大于180°，這與三角形的內角和為180°定理相悖，由此便可推斷出等腰三角形的兩個底角既不能是鈍角，也不能是直角.而根據這一結果進行反向推理，便可證明等腰三角形的兩個底角必為銳角.學生運用逆向證明方法證明數學定理的正確性，既可以突破定勢思維的束縛，提高逆向思維的運用能力，又能降低證明題的錯誤率，提高反向證明的質量.

4.逆向運用數學法則

初中數學教材中所包含的數學公式或運算法則，有一部分是具有雙向性特點的，相互之間可以進行合理逆轉.對此，教師可以利用這部分知識點的特征開展逆向思維的培養活動，引導學生運用數學公式相互逆轉的方法解答習題，以此來提高他們運用逆向思維解題的水平.比如，針對某個算式習題，教師可以引導學生運用公式的逆向使用方法，或者采用排除法對其進行運算和解答，從而快速得出算式結果.數學公式或法則的逆向運用不僅可以拓寬學生的運算思路，還能借此培養他們另辟蹊徑的解題意識，同時，提高其一題多解、逆向解題的能力.

此時再代入已知條件，便可得出5這個結果.傳統的解題方法是直接代入x字母數值，而逆向解題方法則是先對算式進行變換和簡化，再代入x的值，最后求出算式結果.學生通過解答此類習題，能夠進一步掌握公式互逆的解題方法，同時提高逆向解答數學算式的效率.

結 語

綜上所述，數學教師若想提高學生解答各種數學問題的效率與能力，可以開展逆向思維培養活動，幫助學生突破傳統思維的束縛，使其能夠從不同視角出發探尋多元解題途徑，通過反向思考、反向推導，快速得出問題結論，證明數學定理，同時提高運用逆向思維解題的水平.

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