一圖一課：對簡單問題做深度思考*

摘要：《二次函數的圖像和性質》復習課可以基于初學時“以形助數”的研究方法，圍繞二次函數的圖像，引導學生從“根據圖像回憶性質”這一簡單問題出發，發散關聯內容，拓展變化問題，從而在連續不斷地思考中，梳理二次函數的基本性質，形成性質運用的有關問題，并且體會數學思考的基本方法，感悟知識遷移的關鍵路徑。即以“一圖一課”的方式實現“簡單問題，深度思考”，體現數學的“思維之道”。

關鍵詞：初中數學；二次函數的圖像和性質；復習課；數學思維

一、 從數學的“思維之道”說起

著名數學教育家傅種孫先生說過：數學教師理解數學“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在知何由以知其所以然”，由此才能實現“啟發學者，示以思維之道”的教學。［1］那么，數學的“思維之道”是什么呢？人教版高中數學主編劉紹學先生說過：數學是自然的，數學是清楚的。也就是說，數學是合情理的、能夠想到的，講道理的、連續漸進的。［2］高考數學命題專家葛軍教授進一步說：簡單問題，深度思考。［3］即從簡單的問題入手，以“玩”（非功利）的心態，按照一定（不失靈活性）的邏輯（標準），不斷拓展變化，走向深廣。這是一個極好的概括。眾多數學家的思維過程都表現出這樣的特點，尤其體現在很多經典科普作品中，比如伽莫夫的《從一到無窮大》、華羅庚的《從楊輝三角談起》《從祖沖之的圓周率談起》《從孫子的“神奇妙算”談起》、張景中的《從2談起》……很多數學教師對數學思維過程（如何“想得到”）也有類似的體會：基于已有知識（認識），運用一般觀念（思想）。［4］這樣的思維過程不僅能展現數學的思維之道（體現數學的理性精神），而且能串聯起數學的知識結構（如公理化體系），同時，有助于提升數學學習的信心，獲得數學學習的積極信念。因此，我們在數學教學中，特別注意引導學生經歷這樣的思維過程。

二、 《二次函數的圖像和性質》復習教學如何實現“簡單問題，深度思考”

（一） 教前思考

蘇科版初中數學九年級下冊第5章《二次函數》的核心內容是“二次函數的圖像和性質”和“建立二次函數模型解決實際問題”。該章的第一節復習課可以重點復習“二次函數的圖像和性質”。

通常的復習課分為兩個部分：回憶有關知識，建立知識體系；解決綜合問題，鞏固知識體系。這樣的復習課常常是片段式的，缺少思維的連貫性：學生在教師的要求下完成一個個梳理知識、解決問題的任務，但不知道這些任務之間的聯系。

而《二次函數的圖像和性質》復習課可以基于初學時“以形助數”的研究方法，圍繞二次函數的圖像，引導學生從“根據圖像回憶性質”這一簡單問題出發，發散關聯內容，拓展變化問題，從而在連續不斷地思考中，梳理二次函數的基本性質（自然地得到拓展的性質），形成性質運用的有關問題（自然地得到解題的思路），并且體會數學思考的基本方法，感悟知識遷移的關鍵路徑。即以“一圖一課”的方式實現“簡單問題，深度思考”。

（二） 教學設計

本節課預設以下問題（解答），引導學生展開連續不斷的思考：

問題1：觀察圖1，你能發現什么？想到什么？

思路或回答：這是二次函數的圖像，可以設該二次函數的表示式為y=ax2+bx+c（a≠0）；圖像開口向上，對稱軸在y軸左側，頂點在x軸下方，所以a＞0，-b2a＜0，4ac-b24a＜0，可得b＞0，b2-4ac＞0，并且當x≤-b2a時y隨x的增大而減小，當x≥-b2a時y隨x的增大而增大，當x=-b2a時，y取最小值4ac-b24a；與y軸的交點在負半軸上，與x軸的兩個交點分別在正半軸和負半軸上，所以

c＜0，且當-b-b2-4ac2a＜x＜-b+b2-4ac2a

時y＜0，當x＜-b-b2-4ac2a或x＞-b+b2-4ac2a時y＞0，當x=-b±b2-4ac2a時y=0。

［設計意圖：濃縮初學時“以形助數”研究二次函數性質的過程，提出簡單的“看圖說話”問題，幫助學生激活記憶，引導學生發散關聯，梳理二次函數的性質。二次函數的性質比較多，引導學生梳理的基本脈絡是：從開口、頂點（包含對稱軸、最值信息）到與坐標軸的交點，從對稱性到增減性，從函數到方程與不等式。］

問題2：根據圖2，你能得到什么？

思路或回答：根據二次函數圖像與坐標軸的交點坐標A（-3，0）、B（2，0）、C（0，-6），利用待定系數法，設出一般式或兩根式，求得二次函數的解析式y=x2+x-6［即y=（x+3）（x-2）］；進而，得到頂點D的坐標-12，-254、對稱軸方程x=-12、最小值y=-254以及增減性、對應二次方程和不等式的解。

［設計意圖：從一般到特殊，引導學生具體給出圖像上一些特殊點的信息，繼續提出“看圖說話”的問題，從而復習用待定系數法確定二次函數的解析式；同時，從以形助數到以數定形，引導學生感受二次函數一般性質最簡單的應用，即代入特殊值計算。對此，教師要引導學生發現，解決二次函數性質的簡單應用問題，關鍵是確定特殊點（如頂點、與坐標軸的交點等），觀察圖形，得到相應的式子。這里，也可引導學生給出頂點的坐標，發現頂點的特別之處，即“一個頂倆”：只需要再給出一個點的坐標，就可以求出二次函數的解析式。由此可以引導學生復習二次函數的頂點式。］

問題3：（1） 已知二次函數y=x2+x-6，若-2≤x≤3，求y的取值范圍；

（2） 已知二次函數y=x2+x-6，若m≤x≤m+1，求y的取值范圍；

（3） 已知二次函數y=x2+x-6，若m≤x≤n，求y的取值范圍。

思路或回答：（1） 作出二次函數的圖像和直線x=-2、直線x=3，如圖3所示；圖像的對稱軸方程為x=-12，因為-2≤-12≤3，3到-12的距離比-2到-12的距離大（對應的y值也大），所以，當x=-12時y取最小值-254，當x=3時y取最大值6，當-2≤x≤3時-254≤y≤6。（2） 作出二次函數的圖像，整體移動圖像上的點M（m，y1）、N（m+1，y2），作出它們在對稱軸的左側、兩邊、右側這三種可能的情況，如圖4所示；第一種情況下，當x最小時y最大，當x最大時y最小；第三種情況，與第一種情況相反；第二種情況，當x=-12時y取最小值-254，當x取m、m+1中到-12的距離大的時y取最大值。（3） 作圖后類似（2）進行討論……

［設計意圖：函數是自變量與函數值之間關系的表達，其最基本的功能是由自變量的值求函數的值以及反過來由函數的值求自變量的值。從一般到特殊復習了二次函數的基本性質后，從“學”到“用”，針對具體二次函數（可以降低題目難度），引導學生基于函數的基本功能，跳過過于簡單（已經涉及）的求值問題，提出正向的求范圍問題（由自變量的范圍求函數值的范圍）。同時，為讓難度漸進，從特殊到一般，提出三個問題。這是研究二次函數已有思維的連續發展。對此，教師要幫助學生認識到：基于二次函數的對稱性和增減性（有兩個相反的增減性范圍），在觀察圖像的基礎上，確定圖像頂點的橫坐標與自變量可取的臨界值之間的大小關系，計算圖像頂點橫坐標處和自變量可取的臨界值處的函數值，是解決這一類問題的關鍵。這里，還要引導學生關注解題過程中蘊含的比較函數值大小的問題，發現有關的結論：開口向上時，自變量的取值離圖像頂點的橫坐標越遠，相應的函數值越大；開口向下時，反之。］

問題4：（1） 已知二次函數y=x2+x-6，若y≥m，求x的取值范圍；

（2） 已知二次函數y=x2+x-6，若m≤y≤n，求x的取值范圍；

（3） 已知二次函數y=x2+x-6，若當m≤x≤m+1時y的最小值為6，求m的值。

思路或回答：（1） 作出二次函數的圖像以及直線y=m在頂點的上方、經過頂點和在頂點的下方這三種可能的情況，如圖5所示；第一種情況，求出方程x2+x-6=m的兩根（用m表示），則x的取值范圍在兩根之外；第二、第三種情況，x的取值范圍為整個實數集。（2） 作出二次函數的圖像以及直線y=m、y=n都在頂點的上方、分別在頂點的上下方、都在頂點的下方這三種可能的情況，如圖6所示；第一種情況，分別求出方程x2+x-6=m和x2+x-6=n的兩根（分別用m、n表示），則x的取值范圍在前一個方程的兩根之外、后一個方程的兩根之內；第二種情況，求出方程x2+x-6=n的兩根（用n表示），則x的取值范圍在兩根之內；第三種情況，x的取值范圍不存在。（3） 利用問題3（2）的結果，令最大值為6，解方程得到m的值。

［設計意圖：由正到反，繼續針對具體二次函數，引導學生基于函數的基本功能，提出逆向的求范圍問題（由函數值的范圍求自變量的范圍）。同時，為了提高教學效率，略去最具特殊性的問題，提出兩個一般性漸進的問題；并且提出一個稍作變化的問題，即函數值的范圍由最值給出，自變量的范圍用參數約束，通過求出參數的值，得到自變量的取值范圍，由此凸顯正向問題與逆向問題之間的聯系。對此，教師要幫助學生認識到：這類問題實際上是解不等式的問題，與解方程的問題緊密聯系（方程是不等式的臨界情況），是代入求值問題的逆問題；解決這類問題的關鍵依然是借助圖像進行分析，要注意圖像頂點的縱坐標與函數值所在范圍的臨界值之間的大小關系。］

問題5：（1） 已知二次函數y1=x2+x-6，一次函數y2=-2x-2，若y1≤y2，求x的取值范圍；

（2） 已知二次函數y1=x2+x-6，一次函數y2=-2x-2，兩函數的圖像相交于A、B兩點，一次函數圖像下方的二次函數圖像上有一個動點P（不與A、B重合），求△PAB面積的最大值。

思路或回答：（1） 作出已知二次函數和一次函數的圖像，如圖7所示；求出方程x2+x-6=-2x-2的兩根（即圖像交點的橫坐標），則x的取值范圍在兩根之內。或者：由x2+x-6≤-2x-2得x2+3x-4≤0，從而將原問題轉化為“已知二次函數y=x2+3x-4，若y≤0，求x的取值范圍”，即由二次函數函數值的范圍求自變量的范圍的問題。（2） 在已知二次函數和一次函數圖像的基礎上作出△PAB，如圖8所示；因為AB是固定的，所以P到AB的距離最大時△PAB的面積最大；向下平移AB可以發現，平移到恰好在二次函數圖像下方，即與二次函數圖像只有一個交點時，該交點為到AB的距離最大的點P的位置；設AB平行線的函數表達式為y3=-2x+m，令y1=y3，即x2+x-6=-2x+m，由Δ=0求出m的值，易得此時點P的坐標，進而可以求出△PAB面積的最大值。或者：過點P作PQ⊥x軸，交AB于點Q，

可得S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=12PQ|xB-

xA|=52PQ；設P（m，m2+m-6）（-4≤m≤1），則Q（m，-2m-2），PQ=-m2-3m+4，S△PAB=52（-m2-3m+4），不難求出S△PAB的最大值。

［設計意圖：從單一到綜合，先在具體二次函數的基礎上引入具體一次函數，引導學生變一個函數值的范圍為兩個函數值的大小關系，繼續求自變量的范圍；再在固定的特殊點基礎上（也可設特殊點為二次函數圖

像與x軸的交點，以增設鋪墊性問題）引入

運動的非

特殊點，引導學生變變量的取值范圍（代數問題）為動點的運動軌跡（幾何問題），求三角形面積的最值。這里，學生的思維依然是連續發展的。對此，教師要幫助學生認識到：解決問題的關鍵還是借助圖像進行分析，只不過要關注兩個圖像，要注意圖像交點的坐標和圖像恰有一個交點這種特殊情況。］

參考文獻：

［1］ 徐章韜.中學數學教材核心內容分析——經驗型面向教學的數學知識［M］.北京：科學出版社，2021：序二Ⅴ.

［2］ 李祎，林晴嵐.數學教學要“講道理”——以“向量及其運算”為例［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（10）：36.

［3］ 丁菁，葛軍.“拓展創新學程”函數主題編寫特色及教學建議［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（1）：19.

［4］ 王玉宏.數學教學如何讓學生“想得到”［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（3）：5154.