檢測學情，化解錯誤

呂文書

摘? 要：教學《同底數冪的乘法》一課，重點關注法則的運用，設計指向辨析結構特征、排除干擾因素、推廣底數形式、統一底數形式、逆向運用法則等的習題，檢測學生的掌握情況，進而化解學生的解題錯誤。這樣的教學符合變式理論和因材施教理念。

關鍵詞：初中數學；同底數冪的乘法；法則運用

“同底數冪的乘法”是蘇科版初中數學七年下冊第8章《冪的運算》第1節的內容。從以往的教學經驗來看，學生很容易基于乘方的意義通過演繹推理得出同底數冪的乘法法則am·an=am+n（m、n是正整數），但是，因為這一法則是代數學的一個基本法則（從代數公理化的角度看，實際上是一個“運算律”），具有極強的一般性［1］，所以學生在運用這一法則時，面對千變萬化的具體情況，很容易出現混淆，產生錯誤。因此，筆者在教學中重點關注法則的運用，設計類型豐富的習題，檢測學生的掌握情況，進而化解學生的解題錯誤（為了提高了解和分析學情的效率，筆者將習題發布在網絡平臺上，要求學生限時完成，再利用平臺自帶的功能采集學生的答題情況，統計正確率）。

一、指向辨析結構特征的學情檢測與錯誤化解

筆者設計的第1道法則運用習題如下：

1.下列計算結果正確的是（? ）

A.a2·a3=a6

B.a2+a3=a5

C.a2+a3=a6

D.a2·a3=a5

本題意在通過四個選項的比較辨析，引導學生明晰同底數冪乘法法則的結構特征，是將冪的乘法變成指數的加法（D選項），而不是將冪的乘法變成指數的乘法（A選項）、將冪的加法變成指數的加法（B選項）或將冪的加法變成指數的乘法（C選項）。

學生答題后，平臺統計得到的正確率為95%，出錯的學生都選擇了A選項。這說明學生對法則的結構特征掌握得較好，特別是知道法則適用于冪相乘而不是相加的情況。所以，筆者簡單地強調：同底數冪的乘法法則是將冪的乘法變成指數的加法，A選項將其變成了指數的乘法，是不對的。

二、指向排除干擾因素的學情檢測與錯誤化解

筆者設計的第2、第3、第4道法則運用習題如下：

2.x·x11的計算結果是（? ）

A.x11

B.2x11

C.x12

D.2x12

3.-bn-1·bn+1的計算結果為（? ）

A.b2n

B.2b2n

C.-b2n

D.-2b2n

4.a2·a2·am的計算結果為（? ）

A.a4+m

B.2a2m

C.2a2+m

D.a4m

這三題都增加了干擾因素：第2題中，因式x的次數1是習慣性被省略的，學生很容易將其當作0進行指數相加；第3題中，式子前面的負號會對學生判斷底數是否相同形成干擾，導致學生對最終結果感到模棱兩可；第4題中，前兩個同底數冪的指數也相同，學生容易將其當作合并同類項處理。此外，從第2題到第3題，指數從數變為式，初步體現了同底數冪乘法法則的一般性；從第2、第3題到第4題，冪從2個變為3個，體現了同底數冪乘法法則在復雜運算中的多次運用。

學生答題后，平臺統計得到第2題的正確率為90%，出錯的學生都選擇了A選項。對此，筆者利用平臺找到選擇A選項的學生，問他們因式x的次數是多少，提醒他們首先確認各個冪的指數，然后按照同底數冪的乘法法則進行計算。

平臺統計得到第3題的正確率為85%，出錯的學生都選擇了A選項。個別交流得知，選擇A選項的學生認為指數相加后的結果2n為偶數，所以負號可以省略。其實，這正是沒有對底數充分辨析的結果。對此，筆者讓他們確認底數是什么，從而明白最前面的負號是對同底數冪運算的結果取相反數，而不是底數的一部分；然后以“-b4表示b的4次方的相反數，而不是－b的4次方”為例，提示他們在計算前確認運算對象和運算順序。

平臺統計得到第4題的正確率為80%，出錯的學生大部分選擇了B選項，小部分選擇了D選項。選擇B選項的學生混淆了同底數冪相乘與同類項相加，選擇D選項的學生執行的是指數相乘。對此，筆者引導他們回顧同底數冪乘法法則的結構特征，明確：這里是冪的乘法，而不是冪的加法；要進行指數相加，而不是相乘。

三、指向推廣底數形式的學情檢測與錯誤化解

筆者設計的第5道法則運用習題如下：

5.（x+y）3（x+y）4的計算結果為（? ）

A.7（x+y）（x+y）

B.（x+y）12

C.（x+y）7

D.12（x+y）

本題對同底數冪乘法法則的形式做了進一步推廣：底數由單個字母（單項式）變為字母運算形成的代數式（多項式），考查學生對同底數冪乘法法則一般性的深度理解。

學生答題后，平臺統計得到的正確率為70%，出錯的學生選擇A、B、D選項的都有。選擇A選項的學生仍然是混淆了同底數冪相乘與同類項相加，選擇B選項的學生仍然是執行了指數相乘，選擇D選項的學生則在運算類型與法則結構的認知上都存在問題。對此，筆者引導學生認清運算類型和法則結構，重點是認識到：同底數冪乘法法則中的底數a具有極強的一般性，可以表示三類情況：單純的數字、次數是1的單個字母（次數高于1的單個字母的情況是冪的乘方，多個字母相乘的情況是積的乘方，留作后兩節課的預設）、含有多個字母（可能包含數字）的多項式。進而明確：只要底數完全一樣，即可運用同底數冪的乘法法則。

四、指向統一底數形式的學情檢測與錯誤化解

筆者設計的第6道法則運用習題如下：

6.（-3）3×36等于（? ）

A.（-3）9

B.39

C.33

D.318

本題是底數互為相反數的冪的乘法，屬于底數需要統一（即化為同底數）的情況。根據以前的經驗，這類問題考查學生對法則的靈活運用，是學生容易出錯的。

學生答題后，平臺統計得到的正確率為55%，出錯的學生接近一半選擇了B選項，其他的選擇C、D選項的都有，還有沒有提交答案的。選擇A選項的學生沒有對是否為同底數進行辨析，選擇C或D選項的學生對法則結構的認知存在問題，沒有提交答案的學生可能完全不知道應該運用什么法則。對此，筆者首先引導學生發現底數不同，需要通過變換變得相同，接著引導學生思考互為相反數的兩個底數應該變換哪個、如何變換。學生發現：當冪的指數為偶數時，其底可以直接換為原底的相反數；當冪的指數為奇數時，其底變為原底的相反數后要在冪的前面加負號。從而明確：應該首先嘗試換掉指數是偶數的冪的底數，因為可以減少一次符號的判斷，提高解題的正確率。最后，筆者針對這個難點給出了幾道補償練習：

計算：

（1）24×（-2）7；

（2）（a-b）3×（b-a）2；

（3）33×81。

這三道補償練習逐層遞進：（1）底數是互為相反數的數，即上述習題的簡單變式；（2）底數是互為相反數的代數式，且是多項式；（3）不同的底數不互為相反數，而擁有乘方關系。

五、指向逆向運用法則的學情檢測與錯誤化解

筆者設計的第7、第8道法則運用習題如下：

7.填空：（1）a2·a（? ）=a8；（2）a4·??? ·a2=a10；（3）若a4·am=a10，則m=??? ；（4）若xm·xm=x16，則m=??? 。

8.已知am=5，an=3，求am+n的值。

這兩題都是同底數冪乘法法則的逆向運用：要把am+n還原為am·an，即把一個指數拆分為兩個指數的和，并注意兩個同底數冪的相乘關系。其中，第7題給出了冪的相乘關系和一個作為加數的指數，要求另一個作為加數的指數，比較簡單，能夠為同底數冪除法法則的學習做鋪墊；第8題給出了指數的相加關系和兩個冪的值，要求指數和的冪的值，有一定的難度，需要在逆用法則的基礎上注意冪的相乘關系以及進行整體代換。

學生答題后，平臺統計得到：第7題的正確率為95%，個別學生第（4）小題出錯，給出的答案是4；第8題的正確率為65%，出錯的學生給出的答案是8，有一些學生沒有給出答案。出錯的學生是因為在逆向運用法則時混淆了法則的結構特征：把指數相加變成相乘或把冪相乘變成相加。沒有給出答案的學生則可能還缺乏整體代換的意識，看到這種不能求出每個字母的值卻要求出字母式子值的問題有些慌亂。對此，筆者引導他們再回顧同底數冪乘法法則的結構特征，注意底數相同以及冪相乘、指數相加，從而自主糾正錯誤；同時，強調法則運用的靈活性，即不僅可以正用、局部用，而且可以逆用、整體用。

總的來看，這樣的教學不僅符合變式理論（通過豐富的變式深刻地理解知識），而且符合因材施教理念（以學生為主體，教在需要教的地方）。

參考文獻：

［1］劉東升.代數解題教學：重視“代”和“變”，培養結構感——從常見誤區說起［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（2）：64.