基于中小學銜接的小學數學模型教學研究

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調培養小學生的模型意識，培養初中生的模型觀念.教師應在小學數學教學中開展模型教學，以有效銜接小學與初中數學教學，有目的地培養小學生的模型意識，促使學生能夠用數學的眼光觀察現實世界，提升學生學習數學的興趣.因此，在中小學銜接的背景下，開展中小學數學模型教學研究是必要的.文章分析了小學高年級數學教材中涉及的模型，探討了如何通過提取信息、提出問題、構建模型、驗證模型、運用模型、評價反思六個環節在小學數學教學中開展模型教學，為學生未來的初中學習做好充足的準備.

【關鍵詞】小學數學；中小學銜接；數學模型

引 言

中小學數學教學是數學教學體系中的重要環節，對學生的數學學習能力和數學素養的培養起著至關重要的作用.然而，由于中小學數學教學內容和教學方法的不同，學生在升入初中或高中后往往會面臨數學學習的困難和挑戰，導致學習興趣下降和學習成績下降的問題.為了解決中小學數學教學銜接的問題，教師需要建立一套有效的數學模型教學方法，培養學生的模型意識，幫助學生順利過渡并提高數學學習的效果.因此，開展基于中小學銜接的數學模型教學研究具有重要的理論和實踐意義.

一、應在小學數學教學中培養學生的模型意識

（一）模型意識在“數與代數”中的培養

在小學階段，學生首次接觸的抽象概念便是“數與代數”中的數的概念.數學模型建立在“用數字表示事物”的基礎上，將現實生活中的數量轉化為數字和算式，以培養學習者的運算意識和符號意識.在中小學銜接的背景下，對小學高年級數學教材進行梳理時，筆者發現，在“數與代數”中，模型意識主要體現在數的運算、式與方程兩方面.在數的運算方面有多個數學模型，如除法數學模型為：被除數÷除數=商……余數；加減法數學模型是學生理解相同的數位要對齊、進位、退位等知識點的關鍵.簡便計算的數學模型是運算律的數學表達式，學生在進行簡便運算時要先觀察算式的特征，再思考應用哪個運算律表達式進行計算.式與方程方面主要是用方程解決問題，其數學模型為ax±b=c，這與初中的一元一次方程非常相似.學生在小學中高年級時學習的方程知識較簡單，但為初中的方程學習奠定了基礎，能讓學生體會到用方程解題的便利，學會將實際問題轉化為數學問題來解決.這部分內容相對抽象，學生有時要借助圖形來建立方程模型，找到量與量之間的關系.在小學數學高年級數學教學中培養模型意識對學生的邏輯思維發展有一定促進作用.

（二）模型意識在“圖形與幾何”中的培養

在日常生活中，圖形與幾何是比較常見的，無論是面積公式的推導還是體積公式的推導，都涉及數學建模意識培養.小學高年級數學教學內容包括三角形、平行四邊形、梯形的面積計算等知識，同時，教材中的轉化思想貫穿整個義務教育階段的數學教學與學習，長方形、正方形等的表面積與體積計算公式的探究離不開這一數學思想的引導.而基于轉化思想建立數學模型是初中階段學生重點學習與探究的內容之一，因此，教師要探究在“圖形與幾何”教學中培養學生模型意識的方法.學生需要在認識基本圖形的基礎上學習數學模型，進行圖形的體積與面積計算，從而學會運用所學知識解決日常生活中的問題，如水池注水問題、土地面積規劃問題等.

（三）模型意識在“統計與概率”中的培養

在小學階段，統計與概率的內容雖然相對較少，但其重要性不容忽視，且其中蘊含了模型意識.五年級數學教材編排了可能性的相關知識點，這些內容涉及古典概率的數學模型（主要體現在隨機事件產生的可能性上）.此外，統計部分的教學包括收集、整理、分析數據的方法等，這些內容也涉及數學模型.然而，小學數學教材未直接呈現相關的數學模型.因此，教師有必要實施模型教學，培養學生的模型意識，為他們在初中階段進一步學習概率及統計的相關知識打好基礎.

（四）模型意識在“綜合與實踐”中的培養

“綜合與實踐”中的內容通常反映了生活中的實際問題，能夠有效激發學生的學習主動性.盡管“綜合與實踐”在教材中的占比較少，但涉及許多數學模型，如雞兔同籠模型、排列組合模型等.雞兔同籠模型為：兔數=（總腳數-總頭數×一只雞的腳數）÷（一只兔的腳數-一只雞的腳數）；雞數=總頭數-兔數.對于小棒規律排列，小棒數=2n×（三角形數）+1.對于點陣規律排列，點數呈等差數列增長，有點數=a+（a+2）+（a+4）+…；點數呈對稱增長，有點數=a+（a+1）+（a+2）+（a+1）+a；等等.在課堂教學中，教師要引導學生自主探究，主動分析問題、解決問題，同時開展模型教學，培養學生的模型意識，為他們在初中階段的深入學習奠定堅實的基礎.

二、基于中小學銜接的小學數學模型教學策略

在中小學銜接的背景下，教師應該重視培養小學生的數學模型意識.在課堂上，教師可以通過提取信息、提出問題、構建模型、驗證模型、運用模型、評價反思六個環節開展數學模型教學，培養學生的模型意識，幫助學生掌握模型的應用方法.這六個環節既是教師開展模型教學的具體流程，也是學生學習及運用數學模型的步驟.下面以問題解決教學為例，介紹提取信息、提出問題、構建模型、驗證模型、運用模型、評價反思六個環節的具體模型教學實施策略.

（一）提取信息

在問題解決教學中，教師要先讓學生學會讀題、學會審題，讓學生能夠利用審辨思維審題.所以在模型教學的開始前，教師要先教授學生如何提取信息，讓學生能夠高效地提取和甄別信息.同時，教師應該教授學生有條理地甄別信息、將多條信息聯系起來的方法，讓學生能夠從問題中提取與結論有關的信息，避免受到無關信息的干擾.小學生往往比較依賴教師，會直接接受教師講解的內容和總結的結論，可能不會主動探究問題、分析問題.因此，教師可以通過巧妙地設計問題，引導學生主動鑒別信息，再將提取出來的信息進行聯系.

（二）提出問題

在中小學銜接的數學課堂中，教師不能僅停留在解決現有問題的層面，還應該能夠根據題目中給出的信息提出問題.教師要注意培養學生主動提出問題的能力，讓他們能夠在甄別和聯系條件后發現問題，并用自己的語言表達出來.教師可以先引導學生提出問題，鼓勵學生提出各種問題，并結合本節課的教學目標和所授知識點幫助他們解決問題.

以解決相遇問題為例，假設少年文化宮在明明和晨晨家的中間，三個地點在一條直線上，明明和晨晨同時步行從家去少年文化宮.已知明明每分鐘走75米，晨晨每分鐘走60米，他們在出發后的5分鐘內在少年文化宮相遇，求明明家和晨晨家之間的距離.教師可以先提取信息：晨晨和明明是相向而行的；晨晨每分鐘走60米，明明每分鐘走75米；他們在出發后的5分鐘相遇.然后，教師可以提出問題：“你知道每分鐘走75米和60米是什么意思嗎？出發后走了5分鐘相遇，表示他們都走了多長時間呢？”通過這些問題，教師引導學生理解速度和時間的概念.根據求明明家和晨晨家之間距離的問題，學生可以明確題目要求的是兩人一共行走的路程和.接下來，教師可以提出問題：“根據題目給出的信息，你還能提出什么數學問題嗎？”學生可能會提出“明明比晨晨多走了多少米？”或“你能畫出這道題的圖嗎？”等問題.這樣的引導能提高學生的提問能力.教師還可以在明確本節課的課題后，引導學生提問.如在開展用字母表示數的教學時，教師可以讓學生針對課題提出問題.學生可能會提出為什么要用字母表示數、用字母能表示哪些數、怎樣用字母表示數等問題.而這些問題的解決方法正是學生本節課的學習目標.

（三）構建模型

在模型思維下，解決問題不再局限于解決一個具體的問題，而是解決一類問題.教師需要引導學生在解決問題的過程中融入模型思想，真正培養學生解決問題的能力.因此，教師可以采用構建模型的方法來開展教學，幫助學生高質量地解決問題，更好地把握數學的本質，開展深度學習.這一過程是建立在理解、批判和反思的基礎上的.

例如，在植樹問題的教學中，教師利用PPT出示問題：一條小路長20米，每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？教師可請學生以小組為單位，根據題意用小木棒在桌上擺一擺，在紙上畫一畫，得出結論.當學生小組完成討論后，教師可請學生小組分享自己的結論.第一組的結論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，一共要栽4棵樹，列式是20÷5=4（棵）.第二組的結論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，可以栽4棵樹，但在路的末尾處也要栽1棵樹，所以一共要栽5棵樹，列式是（20÷5）+1=5（棵）.第三組的結論是：在紙上畫出一條線段作為20米的小路，每隔5米栽一棵樹，根據圖可知樹與樹之間有4個間隔，開始和末尾處不栽，所以只栽3棵樹，列式是（20÷5）-1=3（棵）.三組學生得出三種不同的結論，教師可以這樣引導：第一種情況，只在一端栽樹；第二種情況，兩端都栽樹；第三種情況；兩端都不栽樹.然后，教師在黑板上畫出樹與間隔的三種情況圖示，請學生總結.學生能夠得出結論：第一種情況，棵樹=間隔數；第二種情況，棵樹=間隔數+1；第三種情況，棵樹=間隔數-1.在小學數學解決問題的教學中，不同的情況對應不同的問題模型，教師要向學生滲透模型思想，幫助學生掌握數學模型，并用數學模型解決問題.

（四）驗證模型

在建立模型之后，教師還應引導學生驗證模型，證明其適用性和廣泛性.在驗證模型的過程中，教師可以幫助學生根據問題的特殊情況推導出一般情況，深化學生對模型的理解，培養學生的推理能力，有效提高他們的思維能力.在課堂上，教師可以組織學生用合作探究的方式驗證模型.首先，教師通過提出問題引導學生探究模型是否合理，在什么情況下可以使用該模型.其次，教師引導學生通過小組合作、自主探究等方法進行深入思考，促使學生進行思維碰撞，然后通過推理進一步驗證模型.

例如，在探究三角形內角和的模型教學中，教師可以將學生分組，并讓他們通過小組交流來驗證模型.教師可以提出問題：“你能畫出一個有兩個直角的三角形嗎？”學生通過探究和小組交流，發現不可能畫出這樣的三角形.接著，教師可以請學生測量三角板各內角的度數.他們會測出三角板的內角分別為30°，60°，90°和45°，45°，90°.兩個三角板的內角和都是180°.然后，教師提問：“是不是所有的三角形內角和都是180°？請你們用自己的方法來證明這個猜想.”學生會得出結論：“所有的三角形內角和都是180°.”不同小組可以使用不同的方法來驗證.有的使用撕紙的方法，有的使用拼角的方法，有的使用量角的方法.最后，學生可以總結出模型：三角形的內角和是180°.

（五）運用模型

通過學習知識，學生掌握了“是什么”；通過解決問題，學生知道了“怎么做”.這表明知識的學習是為了運用.因此，在完成模型的驗證之后，學生要學習運用模型.教師應了解學生對模型的掌握情況，幫助學生從多個角度認識和運用模型，擴展學習的深度.因此，教師可以布置習題，培養學生的模型運用能力.學生不應局限于用模型解決某一類型的問題，還應嘗試用模型解決綜合問題或交叉領域問題.因此，教師需要適當擴展模型的應用范圍，幫助學生突破局限，融會貫通，舉一反三，完善自己的知識體系.

（六）評價反思

解決問題有兩個層面的含義：一是解決實際問題，二是提升學生的問題解決能力.在實際教學中，教師可以在問題解決后引導學生進行自我評價和反思，發現自己的不足之處，并加以彌補完善.教師也要對學生的學習進行全面、細致的評價，幫助學生重新審視問題，思考問題，查缺補漏.除了自我評價、教師評價，教師還可引導學生開展生生評價，讓學生在輕松的氛圍中客觀評價彼此，相互學習，共同進步.需要注意的是，教師要教給學生正確的評價他人的方法.

結 語

綜上所述，通過深入研究中小學數學教學的銜接問題，教師可以建立起一套行之有效的數學模型教學方法，從而幫助學生順利過渡小學學習階段，提高學生數學學習的連貫性和有效性.筆者希望以上對中小學銜接階段數學模型教學的研究能夠為教師提供有效的教學參考，進而提升自身的教學水平和教學質量，為學生提供更優質的數學教育服務.

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