基于“六何深度學習法”的高三習題課教學

摘" 要：筆者將通過“從何→是何→與何→如何→變何→有何”的深度學習方式，讓學生明白如何用好數學問題，怎樣結合課本解決數學問題，從而更好地指導高三習題課教學，進而達到高中數學新課程標準的要求，落實數學核心素養的培養.

關鍵詞：六何;教材;題根

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0046-03

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：彭瑛晶（1982.4—），女，江西省樂平人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：“指向數學核心素養的‘六何’深度學習法實踐研究”（省級編號：2022B213；市級編號：GYYB22176）.

數學題型千變萬化，我們怎樣用好數學題來有效組織高三習題課教學？一直是一線教師思考的問題.我們將結合“六何”認知鏈一起來回歸課本找尋“題根”，上好高三習題課，做到深度學習.

1" 問題從哪里來（從何）

以2023年全國新高考數學Ⅰ卷21題為例.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）．

2023年全國新高考數學Ⅰ卷21題結合“五育”背景中的體育有效銜接教材，要解決這道題需將數列an+1=pan+q（p，q為常數）遞推公式、等比數列求和及條件概率、全概率內容有機融合.

2" 上述高考題的題根來源于我們課本哪里（是何）

《普通高中教科書數學選擇性必修第三冊人教（2019）A版》

P91第10題：甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率［1］.

總結：我們可以發現課本上的這道題是概率和數列的綜合應用，并與2023年全國新高考數學Ⅰ卷21題涉及知識點基本相同——找到題根.

3" 回歸課本，夯實基礎（與何）

讓學生觀察分析2023年全國新高考數學Ⅰ卷21題及上述教材中的第

10題，回答兩個問題：（1）這兩個題目涉及哪些知識點？（2）這些知識點是哪本教材中的內容？并找出相應例題或習題加以應用.

涉及知識點：《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊人教（2019）A版》

第四章數列部分an+1=pan+q（p，q為常數）型遞推公式、等比數列求和；《普通高中教科書數學選擇性必修第三冊人教（2019）A版》第七章隨機變量及其分布部分的條件概率與全概率的內容.

3.1" an+1=pan+q（p，q為常數）型遞推公式、等比數列求和

課本P39例12" 某牧場今年初牛的存欄數為1 200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為c1，c2，c3，….

（1）寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關系；

（2）將（1）中的遞推公式表示成cn+1-k=r（cn-k）的形式，其中k，r為常數；

（3）求S10=c1+c2+c3+…+c10的值（精確到1）.

通過課本上的例題明確要解an+1=pan+q（p，q為常數）這類問題，

關鍵就要學會將an+1+λ=p（an+λ）化為：an+1=pan+pλ-λ，

令q=pλ-λλ=qp-1.

于是可以推導出：an+1+qp-1=p（an+qp-1），

所以

an+qp-1是以a1+qp-1為首項，p為公比的等比數列［2］.

3.2" 條件概率與全概率

一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P（A）＞0，我們稱

P（B｜A）=P（AB）P（A）為在事件A發生條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.

一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P（Ai）gt;0，i=1，2，…，n，則對任意的事件BΩ，有P（B）=∑ni-1P（Ai）P（B｜Ai）.

我們稱上面的公式為全概率公式.

課本P50例4" 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.

總結：通過讓學生自己去找題目中所涉及的知識點，即題的根源是什么？可以培養學生學會審題的能力.題目中有什么？求什么？是如何呈現的？所要解決的問題與我們所學過的哪些知識點“有何聯系？”

4" 回歸課本明確題根，再看高考題（如何）

再看2023年全國新高考數學Ⅰ卷21題.

解" （1）

記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，

所以，P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）設P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi，則

P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi），

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2，

所以pi+1-13=25（pi-13），

又p1=12，p1-13=16，

所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數列，

即pi-13=16×（25）i-1，pi=16×（25）i-1+13.

（3）記Xi為第i輪投籃中甲投籃的次數，則

P（Xi=1）=1- P（Xi=0）=Pi，i=1，2，…，n，由題意得，Y=∑ni=1Xi.

因為pi=16×（25）i-1+13，i=1，2，…，n，所以當n∈N*時，E（Y）=E（∑ni=1Xi）=∑ni=1pi=16×1-（25）n1-25+n3=518［1-（25）n］+n3，

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3．

總結：通過高考題找到課本中的題根，通過題根分析在課本中找到所涉及的知識點，并對概念進一步理解后，回顧高考題獨立完成解答，檢驗是否真正掌握.

5" 變化背景，學以致用（變何）

（2024秋·湖北武漢·高三統考）有編號為1，2，3，…，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記pi為從第i個箱子中取出黃球的概率.

（1）求p2，p3；

（2）求p20.

解" （1）從第二個箱子取出黃球的概率，

P2=23·35+13·25=815

從第三個箱子取出黃球的概率

P3=815·35+1-815·25=3875；

（2）由題意可知，

Pi+1=35Pi+25（1-Pi）=15Pi+25 ，

即Pi+1-12=15（Pi-12），又P1=23 ，

P1-12=16，∴Pi-12=16·（15

），

∴Pi=16·5i-1+12，∴P20=16·519+12.

總結：教師在習題課上要提煉方法，讓學生明白所做的練習是什么？考查了哪些知識點？這些知識點與哪些內容有關？可以解決哪些問題？當問題的條件或者結論發生變化時又該怎么辦？進而達到深度學習.

6" 學會總結，回顧結題過程（有何）

數學習題教學一定要培養學生學會總結，學會反思.①回顧題目涉及知識點，融會貫通；②反思解題思路，思考解題策略是否可取；③審視解題過程，思考解題方法是否最佳；④變換題目的條件和結論，探求問題的本質解法.

7" 結束語

我們是遵從什么規律組織習題課教學，引導學生深度學習？就是結合“六何”認知鏈，如圖1所示.

圖1“ 六何”認知鏈示意圖

從何：“選題從哪兒來？”結合課本及高考真題、模考題，從學生日常反饋的易錯點、易混點、難點，似是而非的地方尋找.

是何：教會學生審題：“題目求什么？有什么？”是如何呈現的.學生最大的問題就是閱讀理解能力亟待提高.

與何：思考所要解決的問題與我們所學過的哪些知識點“有何聯系？”

如何：數學學科中，如何的解決主要指一些實際問題去情境化后的解決及現有數學問題的解答.

變何：“若…變化，其…又怎樣？”指條件、情境變化，結論又怎樣變化.

有何：“有什么收獲？”指對解題過程中的行為、態度、方法等及解題結果的小結與反思［3］.

在習題教學中，教師應結合“六何”深度學習法及課本題設計改編題、引申題、變式題，以拓展學生的思維，達到“做一題、懂一類、通一片”的效果.

參考文獻：［1］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書數學選擇性必修第三冊（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2020：45-91.

［2］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2020：39-40.

［3］ 吳海鳳.基于“六何認知鏈”的高中數學教材的比較研究［D］.南寧：廣西師范大學，2015.

［責任編輯：李" 璟］