基于數學活動的高中數學教學策略研究

摘" 要：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》與新教材更加重視發展學生數學學科核心素養，并提出數學探究活動是數學內容的主線之一.為此，本文以“探究切面圓柱體的性質”教學為例，探討數學活動的教學策略，提出活動應具有可操作性與趣味性、設問應有線索指引、問題應有序設置并具有邏輯關聯.

關鍵詞：數學活動；橢圓；旦德林雙球模型；切面圓柱體

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0002-05

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：郭庭光（1991.10—），男，廣東省揭陽人，碩士，從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出高中數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學、會用數學，教師應結合教學內容落實“四基”，培養“四能”，將核心素養貫穿于數學教學的全過程.如果在數學教學中能有目的地開展數學活動，讓學生在看得見、摸得著的情況下學習數學，更能驅動學生在數學活動中積累隱性經驗.

1" 高中“數學活動”教學策略1.1" 根據教學目標，設計數學活動

教師應根據學生學情、教學內容及要達成的教學目的，設計具體可執行的活動流程.活動的關鍵在于必須尊重學生學情，探討內容和難度要著眼其最近發展區，且問題與問題之間的順序要有邏輯性，設置明確合理的線索以保證問題之間是緊密相連、層層遞進且環環相扣，才能逐層引導學生去發現問題并解決問題，并在規定時間內完成活動經驗的積累.

1.2" 教師引導學生，主導活動過程

雖然“數學活動”設計的初衷是鼓勵學生主動思考，但是教師對教學活動的主導作用卻是課堂效率的保證，因此教師應該在教學活動的設計時更加注意對學生的引導，在設問時要留下足夠的線索.當學生在探究討論的過程中遇到困難時，教師可以通過與學生交流，給予一定的引導和幫助［1］.

1.3" 借助幾何直觀，突破重點難點

幾何直觀是指借助所見的幾何圖形，對研究對象進行直接認知與整體把握的能力.高中生具有一定的空間想象能力，但對于大部分學生而言，平面幾何和立體幾何一直都是難以跨越的障礙.

例如，在設計“探究切面邊緣曲線的焦點位置”教學活動時，教師若只用語言說明和符號書寫的方式去講授，課堂必然是索然無味，因此如何把切面邊緣曲線展現出來就成為關鍵所在.“圓柱體被平面所截”在黑板上難以展現，但可以借助多媒體的力量，用軟件GeoGebra制作動畫展現截取過程.

1.4" 注重課后反思，總結活動經驗

數學活動的主體是學生.教師可以組織學生反思自己在活動中學到什么知識，運用了什么研究方法，同時也要回顧哪些知識點還有疑問，哪些結論還能進一步推導，其他同學的方法有什么值得借鑒的地方，這是對所學知識的進一步升華.

1.5" 重視評價反饋，打磨活動細節

數學活動是數學課堂的一種展現形式，但其本質仍然是一堂數學課，因此教學評價是教學活動不可或缺的重要環節.為提高學生的課堂學習效果，需要對學生知識概念掌握程度、課堂活動參與程度、動手探究的積極性、新知識的應用程度進行恰當且有效的評價.

2" 高中“數學活動”教學實踐下面以“探究切面圓柱體的性質”教學活動為例進行深入探究.

“探究切面圓柱體的性質”是一節數學活動課，課堂定位是學生學習完圓錐曲線后，根據教材閱讀資料提供的圓錐體旦德林雙球模型引申出對圓柱體的旦德林雙球模型的推廣與探討.近幾年高考出題更加注重對課本閱讀材料的理解，這節課就是通過活動的形式帶動學生去體會如何從材料里獲得新知識，并解決新問題.為了更好展示旦德林雙球形以及切面圓柱體，本節課借助軟件GeoGebra制作動態圖，同時也指導學生制作自制教具以作直觀感受.本節課的主要流程如下：引入圓柱體的旦德林雙球模型→探究活動；猜測切面的焦點→利用定義證明切面是橢圓→探究活動；切面圓柱體的性質→評價總結［2］.

2.1" 創設情境，提出問題

2.1.1" 設計思路

教師從教材的章節封面出發，帶學生回顧如何從圓錐體中截出橢圓、拋物線、雙曲線，然后啟發學生把圓錐體更換成圓柱體曲線會不會有所改變.

2.1.2" 課堂活動內容

師：我們一起回憶橢圓是怎么從圓錐體中截出來的？（如圖1所示）

生：斜著截圓錐體.

師：怎樣算是斜？

生：截面不與底面平行.

師：那拋物線呢？

生：與圓錐母線平行.

師：再看看雙曲線？

生：垂直底面截兩個倒放的圓錐體.

師：那這些曲線都是截圓錐得到的，如果把這個圓錐體換成圓柱體呢？又有什么區別？這是今天我們要探究的內容.

師：一個圓柱體被一個不平行底面的平面所截，底面與截面之間的部分叫作切面圓柱體，我們先猜測切面邊緣曲線是什么圖形？（如圖2所示）

生：（齊聲）橢圓！

師：那我們就先猜測它是一個橢圓，既然是猜測，下一步就需要干什么？

生：（齊聲）需要證明！

師：應該用什么方法去證明？

生：定義法！

師：那一起來回憶橢圓定義是什么？

生：橢圓上任意一點到兩個定點的距離之和是一個定值并大于兩個定點的距離，即

|PF1|+|PF2|=2agt;|F1F2|=2c.

師：在定義里面大家認為最關鍵找什么？

生：找焦點！

2.2" 探究活動——探究切面邊緣曲線的焦點位置2.2.1" 設計思路

在課前要求學生利用鋸紙筒的方法做好自制教具，并利用紙筒和球讓學生模仿制作一個簡易的圓柱體旦德林雙球模型.通過實體的教具，把截面邊緣上的橢圓用印泥印在紙面上，同時紙面上也會印出圓柱體內切球與切面間的切點，學生根據經驗，自然會聯想到切點就是切面橢圓的焦點，為接下來的證明做好了鋪墊，起到了承上啟下的作用.

2.2.2" 課堂活動內容

師：我們都知道焦點是關鍵，如果這個切面邊緣曲線是一個橢圓，它的焦點藏在哪里？

生：……（找不出來）

師：是不是很難找？即使尺子量也量不出來，那這時候我們不得不提到一個比利時數學家旦德林，他研究的是圓錐與圓的切線問題，他提出一個天才的想法，那就是旦德林雙球模型.大家來看一下這個動圖，大家發現了什么.（如圖3所示）

師：這里有幾個球？

生：兩個球.

師：兩個球與這個圓錐什么關系？

生：兩個球與圓錐在內部相切！

師：我們再看這個截面，它與兩個球有什么關系？

生：球與截面也是相切！

師：這個圖中兩個紅色的線段和兩個紫色的線段看起來都具有什么特點？

生：紅色和紅色相等，紫色和紫色相等.

師：那球與兩個面的兩個切點最有可能是什么？

生：橢圓的焦點！

師：現在不妨也猜測它們就是橢圓的焦點，并一起動手做一個圓柱體的旦德林雙球模型.

生：（動手嘗試后）可以把球放在切面圓柱體內，并倒放按在桌面上，使得乒乓球剛好與桌面相切.

師：同桌之間挑一個鋸面比較平整的切面圓柱體，然后印在印泥上，再把它蓋在紙上.

師：上面有幾個切點？

生：一個切點.

師：一個切點就是有一個焦點，但橢圓應該有幾個焦點？

生：兩個！

師：那怎么辦？

生：可以反著印.

2.2.3" 課堂分析

本次活動探究重點在于學生動手探究切面邊緣橢圓焦點的位置，在切面圓柱紙筒里塞進一個乒乓球，實際上是展示圓錐體旦德林雙球模型的剖面圖.動手把橢圓用印泥印出來，學生就能對切面形狀、焦點位置有更深刻的了解.

2.3" 利用定義證明切面是橢圓

2.3.1" 設計思路

為方便理解，在證明前提出一個引理，即球外一點引球面的兩條切線段長度相等，只要把性質列舉出來，學生根據線索是能摸索出證明方法.

2.3.2" 課堂活動內容

師：球外有一個點A，引球作兩條切線，B和C是球上的兩個切點，類比圓的切線段性質，能得到什么性質？（如圖5所示）

生：兩個切線段相等.

師：應該如何證明？

生：用勾股定理或者利用△ABO與△ACO全等.

師：根據勾股定理得到：|AB|=|OA|2-R2=|AC|，先記住這個性質.現在關注圓柱體的旦德林雙球模型，點M是上面的球與圓柱的切點，點F1是切面與球的切點，那現在能得到什么關系？（如圖6所示）

生：|PM|=|PF1|.

師：所以同理可得|PN|=|PF2|，現在有沒有同學能證明截面是一個橢圓？

生：把兩個式子加起來，|PF1|+|PF2|=|PM|+|PN|=|MN|是一個定值且大于|F1F2|，故點P運動的軌跡是個橢圓.

2.3.3" 課堂分析

證明切面邊緣曲線是橢圓是基于上一環節的焦點位置探究，以及球切線段相等的基礎上推導出來的.因此，把證明問題步驟細分，再引導學生逐層攻克，能達到有效的教學.

2.4" 探究活動——切面圓柱體的性質

2.4.1" 設計思路

本部分是課堂的第二次探究活動，探究的性質分為兩部分.第一部分的設計目標是幫助學生理解切面圓柱體上的橢圓的短軸長等于底面圓的直徑，第二部分的設計目標是幫助學生理解切面角度與橢圓離心率的關系.

2.4.2" 課堂活動內容

2.4.2.1" 切面圓柱體性質探究的第一部分

師：先回顧一個橢圓有哪些基本性質？

生：長軸長，短軸長，離心率，焦距.

師：這幾個是橢圓最基本的性質，我們先從這些性質開始，大家拿出尺子量一下自己印出來的橢圓，注意測量的是橢圓的內徑，然后完成表格，填在學案上.（如表1所示）

表1" 橢圓內徑測量數據

師：大家看一下同學們寫的數據有什么規律.先看長軸長，大家寫的一不一樣？

生：不一樣.

師：這說明同學們切紙筒時角度都不一樣，切出來的橢圓各不相同，但是我們發現除了第三組之外，其他的數據都是一樣的.第三組可能在測量中出現了誤差，但是大家有沒有發現這些數據有什么關系？

生：2b=2r！

師：是的，兩組數據測量都是4 cm，那為什么他們會相等呢？一起來看看動圖，當改變切面角度的時候，得到的橢圓是不一樣的，但是在變化當中有沒有什么是不改變的呢？（如圖7所示）

生：橢圓的短軸長和底面圓直徑.

師：當截面的角度發生改變的時候，圓柱體的截面橢圓形也在變，但橢圓短軸長保持不變，即短軸長等于直徑.

2.4.2.2" 切面圓柱體性質探究的第二部分

師：我們可以看到點A、B、C，他們和橢圓有什么關系？請完成表格.（如表2及圖8所示）

表2" 圓柱體截面與橢圓定義的聯系

師：請問AC是什么？

生：2a.

師：那AB呢？

生：2b.

師：這兩個都沒問題，關鍵是第三個是什么？

生：2c.

師：為什么是2c呢？

生：因為勾股定理和橢圓性質得出2c.

師：那我們有這個條件之后，我們能不能得出什么結論，我們假設橢圓與底面圓的夾角是α，離心率e=c/a，那e與α有聯系嗎？

生：e=c/a=sinα！

2.4.3" 課堂分析

這部分內容對學生而言是在操作中實踐，學生只要按部就班就可以完成表格.對教師而言的關鍵點是如何幫助同學們在操作時保持規范，減少不必要的失誤.

2.5" 評價總結

數學活動不能只停留在活動與探究，知識由形成到內化的過程需要實踐與復盤總結.因此，督促與幫助學生總結數學活動中所學會的知識、遇到的困難、解決困難的方法與思路，將有效地培養學生數學核心素養以及表達能力，同時也是對學生應用能力的強化.為了更好地幫助學生了解整個數學活動中思維的深入與思想的變化，以及對知識認知程度的加深與改變，教師可以設計數學活動評價表，鼓勵學生復盤所學知識.（如表3所示）

3" 高中“數學活動”在教學中的反思總結

3.1" 數學活動應是有趣的

數學活動是以活動為載體幫助學生學習與理解知識點.在活動過程中，學生會使用已習得的數學知識與數學思想去解決探究問題，并在活動中體會數學之美.但數學活動不是課題研究，數學活動不能過于強調數學知識的深度，而應是改變學生對數學課堂的體驗，幫助學生從被動接受知識轉變成主動參與活動探究.

3.2" 數學活動需要動手體驗

數學活動不是單純的解題做題，對教師而言應更強調數學教學的多樣性，進一步探究教學方式的可能性.教師根據具體學情，在設計數學活動中要注重活動的可操作性和指向性，活動與活動之間要注重先后順序，并設置線索把多個活動緊密地連接起來.因此，在活動設計中應該確立明確的完成目標，學生開展活動時才不會因為不知所措而無事可做.

3.3" 數學活動需要關注共性問題

學生進行數學活動的過程有一定隨機性的，教師是可以利用隨機性讓學生探究共性問題.如展示多組數據，讓學生去找不同的數據中是否蘊含不變的規律，引導學生對數據進行質疑與思考，鍛煉學生思考與判斷能力.

3.4" 數學活動需要善用多媒體突破難點

有趣的數學活動離不開多媒體軟件的應用，熟練使用多媒體軟件應成為教師教學的基本功之一.設計課堂時應該大膽使用軟件輔助，如GeoGebra等作圖工具，以達到事半功倍的效果.

4" 結束語

基于數學活動的高中數學教學更重視學生的學習體驗，鼓勵學生運用所學知識解決問題，利用學生完成探究后的成就感加深其對數學的熱忱.

參考文獻：［1］

沈學文.深耕數學活動，孕育核心素養［J］.數學教學通訊，2020（19）：77，79.

［2］ 張弟.“問題串”在數學概念教學中的應用：以“冪函數”為例［J］.數學學習與研究， 2019（10）：105.

［責任編輯：李" 璟］