構建數學模型，優化思維品質

摘 要：數學模型的構建與應用，是數學建模中一個重要方面，成為學生創新應用與創新意識培養的一個重要場景.結合數學模型的思維改進，合理突破常規，巧妙拓展思維，借助知識轉化，綜合創新應用等來優化思維品質，指導并提升數學知識與數學思維，培養數學核心素養．

關鍵詞：數學模型；思維；創新；應用

根據高考評價體系的整體框架，結合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的“發展學生的數學應用意識”作為基本理念［1］，充分體驗數學知識在解決實際問題中的作用，以及數學與日常生活及其他學科的聯系與應用，從而形成并發展應用意識與創新意識，提高實踐能力.因而，培養學生的應用意識，合理改進數學模型，優化思維品質，提升數學能力．

1 突破常規模型

在實際破解數學問題時，要敢于超越常規，使得原有數學知識和所研究的數學問題盡可能地聯系、發散、拓展，敢于突破固有的思維定式，善于從不同思維角度來思考、分析問題，從而達到思維的流暢性與創新性．

分析：常規方法是通過題目條件聯想到點到直線的距離公式的幾何意義并加以轉化與應用.而本題是根據題目條件“點在圓上”進行三角換元模型處理，結合絕對值關系式的恒等變換，以及對應的關系式的取值與x，y無關，進而確定相關的不等式a≥1－3cosθ+4sinθ需要恒成立，再通過三角函數的輔助角公式的轉化與應用確定其最大值，最終確定參數的取值范圍．

所以a≥6，即實數a的取值范圍是［6，+∞），故選擇答案D．

點評：與借助點到直線的距離公式的幾何意義來分析與處理的基本方法相比，以上解題過程突破常規，結合三角換元知識，分析與處理起來更加直接、快捷.突破常規模型，能更進一步拓展思維，提高學生對數學知識的緊密聯系．

2 拓展思維模型

在解題時，結合發展性思維的訓練與應用、相關知識的理解與遷移，掌握數學模型的基本方法，進而引導拓展思維，觸類旁通，舉一反三，使得數學思維盡可能地得以延伸和發散．

例2 已知橢圓C的焦點F1（－1，0），F2（1，0），過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點.若|AF2|=3|BF2|，|BF1|=5|BF2|，則橢圓C的標準方程為（ ）.

分析：利用橢圓的概念、方程與幾何性質等知識，合理數學模型，借助幾何中所構成的三角形的邊與角的關系，結合解三角形法以及三角形的特征加以過渡與轉化，從而得以破解問題，并在此基礎上進一步的提升與拓展．

解析：如圖1，由橢圓C的焦點F1（－1，0），F2（1，0）可知，c=1.

3 創新應用模型

在實際破解數學問題時，借助數學模型，充分把探究性思維與學習落到實處，給學生創設更多的探究學習機會，通過探究的切入點的尋找以及解題過程中的合理猜想與巧妙分析，使學生學會歸納與推理，鍛煉創新思維與創新應用．

例3 如圖2，方格蜘蛛網是由一簇正方形環繞而成的優美圖形，其中每個正方形的四個頂點都在其外接正方形的四條邊上，且分各邊長為3∶4.現用13米長的鐵絲材料制作一個這樣的方格蜘蛛網，若最外邊的正方形邊長為1米，由外到內順序制作，則完整的正方形的個數最多為（ ）.（可能用到的參考數據：lg75≈0.15）分析：根據題目條件，嚴格按照等比數列的定義建立數學模型，借助創新應用，利用等比數列的概念來判斷對應的模型為等比數列，再利用等比數列求和來建立相應的不等式，巧妙模型，合理轉化．

解析：依題意，設方格蜘蛛網的外層正方形的邊長為a，其對應的內接小正方形的邊長為b，則b=37a2+47a2=57a.

根據等比數列的定義知，方格蜘蛛網的正方形的周長由外到內組成一個以4為首項，以57為公比的等比數列.

設該等比數列為{an}，其前n項和為Sn，則有Sn=41-57n1-57≤13，化簡得57n≥114.所以n≤lg114lg57=lg14lg75=lg2+lg7lg75=1-lg5+lg7lg75=1+lg75lg75≈1+0.150.15≈7.67，即完整的正方形的個數最多為7，故選擇答案C．

點評：題目借助實際應用問題，設計新穎別致，簡潔明了，目標明確，立意深刻，通過創新應用的數學模型的構建，跳出歷年高考中數列小題以等差數列、等比數列或遞推數列為載體的固有命題模式，以平面幾何圖形為背景，使得命題條件獨具特色，增加思維難度，充分體現新課標高考“多考思維，少考計算”的命題理念，意在考查學生的觀察、歸納、猜想、邏輯推理以及數學運算能力．

數學模型能充分并積極地啟發學生的創造性思維，增強學生建構模型的能力，開啟學生的智力，培養學生的創新精神，且借助科學的方法使數學知識更加系統化、深入化，從而在提高學生的思維能力和思維品質方面展示獨特的效果.巧妙借助數學模型，能夠全面提高學生的思維品質，數學能力和數學核心素養．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.