工科“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)的兩點(diǎn)思考

◇內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 劉力華

復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，是大學(xué)微積分的擴(kuò)展.本文介紹了復(fù)變函數(shù)課程中隱含一條主線，這條主線貫穿課程，并連接了課程的許多主要知識點(diǎn)，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握這條主線，從總體上來把握課程內(nèi)容；在課程教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生善于尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，總結(jié)規(guī)律，以提升課程學(xué)習(xí)效果.

復(fù)變函數(shù)是工科院校為許多專業(yè)的學(xué)生開設(shè)的一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對訓(xùn)練學(xué)生的思維水平，包括邏輯思維和工程思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著不可替代的作用.復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是解決熱力學(xué)、流體力學(xué)和電磁學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域問題的有力工具.因此學(xué)好復(fù)變函數(shù)對工科院校的學(xué)生來說尤為重要[1].如何學(xué)習(xí)這門課程，如何更快更好的掌握這門課程是值得任課老師和學(xué)生共同思考的問題.

復(fù)變函數(shù)這門課程的特點(diǎn)是理論性很強(qiáng)，內(nèi)容抽象而且數(shù)學(xué)概念比較多，工科學(xué)生學(xué)習(xí)起來普遍感覺比較困難，這就需要任課老師和學(xué)生共同努力，去尋思路、找方法，使課程知識點(diǎn)能夠相對簡單易學(xué).由于復(fù)變函數(shù)知識是高等數(shù)學(xué)[2]實(shí)變函數(shù)相關(guān)知識的推廣和延續(xù)，兩門課程的知識點(diǎn)有許多相似之處，比如復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的極限，連續(xù)性及其導(dǎo)數(shù)等概念[3]，因此在學(xué)習(xí)過程中采用類比的方法[4]是值得推薦的，也是行之有效的方法，可以讓學(xué)生在復(fù)習(xí)已有知識的基礎(chǔ)上，輕松掌握新知識，體會溫故而知新的樂趣.除此之外，在學(xué)習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生抓住一條主線，從總體上把握課程知識點(diǎn)，尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，并積極思考，總結(jié)規(guī)律，就會收到良好的學(xué)習(xí)效果.

1 發(fā)現(xiàn)并掌握主線

在復(fù)變函數(shù)的知識體系中，始終有一條主線貫穿其中，那就是將需要解決的復(fù)變函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)變函數(shù)問題.在授課過程中，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生來發(fā)現(xiàn)這條主線，進(jìn)而掌握這條主線.學(xué)生通過已掌握的高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識來解決復(fù)變函數(shù)所遇到的新問題，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)新知識就會感覺輕松愉快.

比如解決復(fù)變函數(shù)求極限問題：我們有定理：

在教學(xué)過程中，通過老師的引導(dǎo)，學(xué)生能很快發(fā)現(xiàn)并掌握這條主線，而且在后續(xù)知識的學(xué)習(xí)中會主動尋找主線貫穿的知識點(diǎn)，如復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的判別，復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別等等.他們會發(fā)現(xiàn)，這條主線連接了本門課程的許多知識要點(diǎn)，就像一根糖葫蘆，抓住這條主線，相關(guān)知識點(diǎn)就很容易理解和掌握.這種方法，在實(shí)際教學(xué)中取得了良好的效果.

2 尋找和總結(jié)規(guī)律

講授復(fù)變函數(shù)這門課程，教師還要引導(dǎo)學(xué)生善于尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，總結(jié)規(guī)律.復(fù)變函數(shù)積分是本課程內(nèi)容的重中之重，類型多，定理多，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也很頭疼，經(jīng)常張冠李戴.其實(shí)復(fù)變函數(shù)的積分內(nèi)容除類似于實(shí)函數(shù)的不定積分和定積分外，主要研究的是復(fù)變函數(shù)沿曲線的積分，包括封閉曲線和非封閉曲線上的積分，考察封閉曲線上的積分，課程中給出了柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式以及留數(shù)定理，下面我們把四個定理列出來，通過對比尋找規(guī)律：

這就是說復(fù)變函數(shù)中的這四個重要定理，看似形式不同，實(shí)質(zhì)是統(tǒng)一的，都統(tǒng)一到留數(shù)定理，柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式都是留數(shù)定理的特例，而留數(shù)定理是它們的一般化，這樣就把課程中第三章積分的知識和第五章留數(shù)的知識聯(lián)系起來，便于掌握.通過任課教師的引導(dǎo)和學(xué)生的積極討論，課程中的四大定理可以通過一個定理輕松掌握，這既激發(fā)了學(xué)生的求知欲，又讓學(xué)生品嘗到了學(xué)習(xí)的樂趣，不再懼怕這門課，收效明顯.

在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)過程中，只要勤于思考，善于分析總結(jié)，知識就會融會貫通，學(xué)習(xí)這門課程也就會感覺輕松愉快.