改進灰狼優化最小二乘支持向量機的鋰電池剩余壽命預測

鄭青根 楊祥國 劉冬 李昕

摘要：針對鋰電池剩余壽命預測的直接健康因子難以測量以及預測精度不高等問題，提出一種改進灰狼優化最小二乘支持向量機（improved gray wolf optimization least-squares support vector machine， IGWO-LSSVM）的鋰電池剩余壽命間接預測方法。該方法從電池放電特性曲線中獲取3種表征電池性能退化的間接健康因子，通過引入tent混沌映射、收斂因子非線性遞減與萊維飛行策略對灰狼算法加以改進，并結合LS-SVM模型，形成了具有全局優化的改進灰狼優化最小二乘支持向量機的鋰電池壽命預測模型。最后利用NASA數據集對文中提出的方法進行了驗證，并將實驗結果與GWO-LSSVM、PSO-ELM和BP神經網絡算法進行了對比分析，試驗結果表明文中所提出的改進算法具有更好的預測性能。

關鍵詞：鋰電池；剩余壽命；灰狼優化；最小二乘支持向量機；萊維飛行

中圖分類號：TM912? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1000-582X（2023）11-078-12

Lithium battery remaining life prediction method based on improved grey wolf optimization least squares support vector machine

ZHENG Qinggen， YANG Xiangguo， LIU Dong， LI Xin

（School of Marine and Energy and Power Engineering， Wuhan University of Technology，

Wuhan 430070， P. R. China）

Abstract： To solve the problem of accurately predicting remaining life of lithium battery， this paper proposes an indirect prediction method based on improved grey wolf optimization least-squares support vector machine （IGWO-LSSVM）. Three indirect health factors characterizing battery performance degradation are derived from discharge characteristic curves. To enhance prediction accuracy， the study incorporates a tent chaotic map， a nonlinear decreasing convergence factor， and a Levi flight strategy into the grey wolf algorithm. Combined with the LSSVM model， the lithium battery life prediction model with global optimization is formed. The proposed method is verified using the NASA data set and compared with GWO-LSSVM， PSO-ELM and BP algorithms. Experimental results show that the improved algorithm proposed in this paper outperforms other methods in terms of prediction accuracy.

Keywords： lithium battery; remaining life; gray wolf optimization; least squares support vector machine; Levy flight

近些年，隨著國家對節能環保理念的推廣，電動汽車產業得到了快速的發展，其產量呈現逐年上升趨勢[1]，與此同時，作為電動汽車動力源的動力電池也隨之得到發展。相較于其他類型的電池，鋰離子電池以其優異的儲能性能而被選擇為電動汽車的動力源[2]。然而，在鋰離子電池長期使用的過程中，放電容量會逐漸非線性下降。主要原因包括電極材料腐蝕、電解質變化和分離器老化等，這種非線性容量衰減會導致設備故障甚至造成嚴重事故。因此，為了減少事故的發生，對電池早期進行準確的剩余壽命預測十分必要。

目前，鋰離子電池剩余壽命預測方法可以大致分為2種[3?5]：一是基于模型的方法，通過分析電池物理特性構建電池模型來預測其容量退化趨勢，并使用過濾技術來控制參數輸出的誤差。Thomas等[3]建立了經驗模型，通過加速老化實驗的數據來預測電池的壽命，描述了循環壽命和不確定性邊界。Wang等[4]在建立電池容量狀態空間模型的基礎上，引入了球形立方粒子濾波器求解，利用狀態空間模型外推到指定的故障閾值以確定剩余壽命。然而，這些基于模型的方法雖然具有較高的預測準確性和可信度，但存在參數眾多、成本高等問題，而且易受干擾。二是基于數據驅動的方法，該方法不依賴于電池物理模型的精度，它通常從退化數據中提取典型特征建立剩余壽命預測的回歸模型[6]。目前，基于數據驅動的方法主要有人工神經網絡（artificial neural network，ANN）、支持向量機（support vector machines， SVM）和高斯過程回歸（Gaussian process regression，GPR）等方法[7?8]，該類方法主要從數據和經驗中學習與改進，而無須構建復雜的電池等效模型，并且電池的特征數據可以實時獲得，因此可以用于在線預測電池剩余壽命值。如文獻[9?10]都直接利用電池容量作為特征，隨后分別采用蟻獅算法與灰狼算法優化支持向量機（support vector machine，SVR）參數，實現對剩余壽命RUL的預測，雖然該類方法能夠取得較好的預測效果，但在實際應用中存在電池容量通常難以直接在線獲取、基本的智能優化算法存在內部參數容易陷入局部最優以及早熟收斂等問題，并且傳統的SVM模型處理大量數據時，求解過程十分復雜，因此該類方法需要進行一定的改進。

針對上述問題，文中提出了一種改進灰狼優化最小二乘支持向量機算法的鋰離子電池剩余壽命在線間接預測方法。首先，該方法從鋰離子電池放電特性曲線中提取放電溫度峰值時間、平均放電電壓和等壓降時間3種間接健康因子，并與電池容量進行Pearson與Spearman相關性分析；然后，在基本的灰狼優化算法基礎上引入tent混沌映射、非線性遞減和萊維飛行策略，提出一種基于間接健康因子的IGWO-LSSVM算法，并利用該算法構建出鋰離子電池剩余壽命在線預測模型；最后，利用NASA數據集對文中提出的方法進行了驗證，并將實驗結果與GWO-LSSVM、PSO-ELM、BP神經網絡算法進行了對比分析，試驗結果表明文中所提出的改進算法具有更好的預測性能。

1 健康因子的選擇與相關性分析

1.1 鋰離子電池數據集

研究選擇美國宇航局PCoE 研究中心（National Aeronautics and Space Administration Prognostics Center of Excellence， NASA PCoE）公開的鋰離子電池老化試驗數據集[10]作為研究對象。該數據由4組額定容量為2 000 mA的18650型號電池（B5、B6、B7、B18）在24 ℃的室溫下進行反復充放電實驗獲得，具體實驗過程如下。

充電過程：首先對4組電池以1.5 A恒定電流進行持續性的充電，當4組電池的電壓達到4.2 V時，再將電池在4.2 V的恒壓模式下進行充電，直至電流逐漸下降到20 mA，則停止充電。

放電過程：將4組電池B5、B6、B7、B18分別在電流強度為2 A的恒流模式下進行放電，直至各自的電壓分別降至2.7 V、2.5 V和2.2 V時停止放電。

由于電池容量衰減需要一個長期的反復循環過程，因此將4組電池進行反復地充放電實驗，當電池的容量衰減到額定的72%（1.44 Ah）時，認為電池到達失效閾值，則終止實驗。電池容量衰減趨勢如圖1所示。

電池容量與內阻的變化通常作為衡量電池健康狀態的直接健康因子，然而這2個參數在實際應用中難以在線實時測量。因此，可以通過對鋰離子電池性能衰減過程加以分析，并從中提取間接健康因子。文中分析了鋰離子電池放電過程中電池的電壓、電流和溫度的變化情況，如圖2～4所示，選取了放電溫度峰值時間、平均放電電壓和等壓降時間作為3個影響電池性能退化的間接健康因子，分別記為H1、H2與H3。

1.2 Pearson與Spearman相關分析法

為了進一步驗證所提的3個間接健康因子與容量之間的相關性，采用Pearson與Spearman相關性分析法作為評價方法。該方法目前已廣泛地應用于衡量2個變量之間的線性相關強度[11]，當該系數值為在±0.8～±1之間時，則表示兩者之間具有極強的相關性，Pearson的數學原理為

式中：E為期望值；α與β分別為2個長度相同的序列。

Spearman的計算公式為

所提的間接健康因子與容量之間的Pearson與Spearman相關性分析結果見表1所示。

根據表1可知，所提取的放電溫度峰值時間H1、平均放電電壓H2和等壓降時間H3 3個間接健康因子與容量的相關系數均在0.9～1.0之間，因此驗證了所提的間接健康因子與容量之間存在較高的相關性，可以用來預測鋰離子電池的剩余壽命值。

2 IGWO-LSSVM預測模型的建立

2.1 最小二乘支持向量機

LS-SVM是Suykens和Vandewalle在傳統的SVM模型的基礎上提出的一種新型支持向量機算法[12?16]。LS-SVM主要原理是將SVM模型中的不等式約束改為等式約束，將誤差平方和損失函數作為訓練集的經驗損失，在保證計算精度的前提下，將解二次尋優問題轉化為求解線性方程組問題。假設在特征空間中，給定一個數據樣本為D={x_i，f（x_i）}，x_i是第i樣本的輸入量，f（x_i）是x_i對應的輸出，則LSSVM模型的回歸表達式為

式中：ω為權值向量；b為偏差值；?（x_i）為映射函數。基于結構風險最小化原則，確定了模型參數ω、b，并選取誤差e_i的二次函數作為損失函數，將LSSVM回歸問題轉化為式（4）的約束優化問題。

式中：e_i為模型的訓練誤差；C為正則化參數。引入拉格朗日方程將式（4）轉化為二次規劃問題

式中：α為拉格朗日乘子，通過庫恩-塔克條件（KKT），對式（5）進行求導，可得

將式（6）進行線性方程組求解，可得：

式中，K為核函數矩陣。通過實驗對比不同類型的核函數，選擇具有抗干擾能力強以及參數設置少等優點的徑向基RBF作為模型核函數，即：

結合Mercer條件，得到該LSSVM的模型為：

經過以上的推導，將LSSVM回歸模型由式（3）轉化成式（9），考慮到該模型的參數選擇對預測精度至關重要，采用灰狼優化算法對LSSVM中的正則化因子C和核參數σ進行優化，并且選擇輸出值與實際值的均方根誤差作為模型的自適應函數值。

2.2 灰狼優化算法

灰狼優化算法屬于一種元啟發式算法，其靈感源于灰狼的等級結構和社會狩獵行為，因其具有全局優化、易于編程、需要調整的參數少等優點而被廣泛應用[17?18]。其原理可簡述為：在一個待求解的D維問題上，狼群通過計算在不同位置的自適應值大小將狼群依次劃分為α狼、β狼、δ狼和ω狼，整個狼群的捕食決策由前三者做決定，其余狼群負責對獵物進行圍攻。捕食過程可以分為以下3個階段。

1）對獵物進行圍攻。

D（t）=|CX_p （t）-X（t）|， （10）

X（t+1）=X_p （t）-AD（t）， （11）

式中：t為當前迭代次數；D表示狼群與獵物間的距離；X_p為獵物的位置向量；X為灰狼的位置向量；A與C是系數向量，定義為

A=2ar_1-a， （12）

C=2r_2。 （13）

式中：a=a_0 （1-t/T_max），隨著迭代次數的增加，a從2減少到0；r_1和r_2的取值范圍為0～1；T_max為總迭代次數。

2）捕獵過程。

前3個等級的狼群尋找方向朝獵物逐漸靠近，該過程的數學表達式為

式中：X_a、X_β和X_δ分別為α、β和δ狼的最優位置；D_α、D_β和D_δ為前3只最優狼與種群的距離。然后，在α、β和δ狼的領導下，更新灰狼種群的位置

式中：A1、A2、A3為由式（12）計算得到的不同系數；X1、X2、X3分別為α、β、δ領導下的更新位置。

3）對獵物發起攻擊。

隨著對獵物的逼近α的值線性減小，對應的|L|也在[-α， α]內變化。當|L|<1時，算法收斂，獲得獵物位置。

2.3 灰狼優化算法的改進

采用基本的狼群優化算法對LS-SVM模型進行尋優的過程中存在目標值易陷入局部最優解和收斂速度慢等問題，為解決該問題，筆者在基本的狼群優化算法基礎上引入tent混沌映射、收斂因子非線性調整機制和萊維飛行等方法來構建新的灰狼優化算法，新構建的算法具有較快的收斂速度和良好的全局尋優能力。

2.3.1 Tent混沌映射

為了改善基本的灰狼優化算法在初始化狼群時物種總體的多樣性與適用性，并提供具有均勻分布的初始總體，以及避免困在局部最優值中，提高算法的求解效率，結合探索過程中的混沌隨機性和遍歷性特點，將tent混沌映射方法[19]融入到灰狼優化算法中，其數學表達式為

2.3.2 收斂因子非線性調整策略

收斂因子的大小對于算法的優化至關重要。當a>1時，可以使得算法保持較高的全局優化與搜索能力；當a≤1時，算法局部優化與搜索能力加強，收斂速度增加。然而，傳統的灰狼優化算法線性收斂因子隨著迭代次數的增長而線性減少，不能完全反映真實的優化過程，而且還存在收斂速度慢、不穩定和容易落入局部最優等問題。為了解決這些問題，并在全局和局部勘探能力之間做出適當的權衡，引進收斂因子非線性調整策略，其公式為

式中：a_ini與a_final分別為非線性因子初值與終值；u與λ為調節參數；T_max為最大迭代次數。

該非線性遞減策略通過結合正弦函數可以使得收斂因子在起始階段遞減較慢從而保持全局搜索與優化的能力（a>1），而在后期遞減較快，可以提高算法的收斂速度（a≤1）。

2.3.3 萊維飛行策略

為了提高灰狼優化算法尋優過程中整體的尋優能力，避免狼群陷入局部最優解，在灰狼算法的基礎上引入萊維飛行算法[20]。該算法具有小步長時間隨機行走搜索和大步長時間突然方向跳躍的特點。萊維飛行策略的具體表達式為：

式中：x_i^' （t+1）表示經過萊維飛行算法更新之后的位置；α為步長控制因子；λ為步長；⊕表示點積運算；L（λ）表示萊維分布的路徑，且滿足以下條件

L（λ）～u=t^（-λ），? ? ? ?1≤λ≤3。 （20）

考慮到萊維飛行分布復雜性的特點，現如今主要通過采用Mantegna算法對其進行模擬，具體表達形式為

式中，μ與v為正態分布，μ～N（0，σ_μ^2），v～N（0，σ_v^2），其中

其中，β為[0，2]的隨機數。

2.4 IGWO-LSSVM算法

通過引入tent混沌映射、收斂因子非線性調整機制和萊維飛行方法對基本的灰狼算法進行改進，使得LS-SVM模型參數能夠獲得更好的參數，具體流程如圖5所示。

主要步驟如下：

1）數據預處理。對原始數據進行預處理，按照不同的比例分為訓練集與測試集。

2）設置灰狼優化算法的基本參數。最大迭代次數M=50，狼群數量N=20，維度D=2，上界U=100，下界L=0.001。

3）設置自適應度函數。選擇鋰離子電池實際容量值與模型預測容量值之間的均方誤差作為本算法中的自適應度函數，表達式為

式中：y ?_i表示預測值；y_i表示實際值。

4）改進灰狼優化算法優化LS-SVM模型參數。利用tent混沌映射對種群進行初始化，根據自適應值的大小設置狼群等級，引入萊維飛行對種群位置進行更新，在反復的迭代過程中找到最優參數。

5）鋰電池剩余壽命預測。在Matlab平臺上使用測試集數據對IGWO-LSSVM模型進行驗證，完成鋰電池剩余壽命預測。

3 算法有效性與準確性驗證

為了驗證所提算法的有效性與準確性，筆者從NASA PCoE研究中心公開的鋰離子電池老化試驗數據集中提取4組電池的放電溫度峰值時間H1、平均放電電壓H2和等壓降時間H3作為模型的輸入，并以容量作為輸出，建立了基于IGWO-LSSVM鋰電池壽命預測模型。在本次實驗中，選擇B5、B6、B7的3組電池前85個循環以及B18電池前67個循環數據作為模型的訓練樣本，4組電池的其余樣本均作為測試樣本。在預測過程中，規定鋰離子電池容量衰減到額定容量的72%（1.44 Ah）時，則認為鋰離子電池達到壽命閾值。為了驗證文中所提算法的有效性，將該方法分別與GWO-LSSVM、PSO-ELM算法、BP神經網絡進行對比分析，不同方法的預測結果如圖6～9所示。

根據圖6～9可知，當選擇鋰離子電池的前85個（B5、B6、B7），67個（B18）周期作為訓練樣本時，相較于GWO-LSSVM、PSO-ELM算法和BPBP神經網絡算法，文中提出基于IGWO-LSSVM算法的預測效果更佳。為了更好地分析4種不同算法的預測效果，對4種算法的預測結果進行了數據分析，具體結果如表2所示（—表示無法預測）。其中鋰電池剩余壽命RRUL為預測起點到達壽命閾值所對應的循環周期，其表達式為

式中：PRUL為預測剩余壽命；RRUL為實際剩余壽命；Er為絕對誤差；Per為相對誤差。

根據表2的預測結果分析可知，在4組電池的預測結果中，文中所提的IGWO-LSSVM的整體預測性能相對最佳。以B5號電池為例，當以第86個循環周期為預測起點時，電池實際的RRUL值為25，GWO-LSSVM、PSO-ELM、BP神經網絡 3種算法的RRUL值分別為28、21、21，其Er值和Per值分別為3和12%、4和16%、4和16%，而IGWO-LSSVM算法所預測的RRUL值為27，Er值和Per值分別為2和8%，相對于其他3種算法，IGWO-LSSVM的Er值和Per值的相對誤差分別減小了33.3%和50%。然而，如果單獨從RRUL的預測精度來評估4種算法的預測精度，則由B6號電池的預測結果可以發現，雖然BP算法與IGWO-LSSVM算法的Er值和Per值相同，但是結合圖8實際的預測結果可知，IGWO-LSSVM算法所預測的容量值與真實值更為接近。因此，為了全方位對文中所提的方法進行有效驗證，本研究引入均方根誤差R_MSE與平均絕對誤差M_AE作為算法整體預測性能的評估標準，其數學式表達式為

由表3分析可知，在4種算法預測鋰離子電池壽命中，GWO-LSSVM、PSO-ELM、BP神經網絡 3種算法的MAE與RMSE值均比IGWO-LSSVM算法大。以RRUL值最小的B6為例，BP與PSO-ELM算法的MAE與RMSE值分別為0.047 3和0.073 0、0.026 9和0.034 4，均比IGWO-LSSVM的MAE值與RMSE值大；GWO-LSSVM算法的MAE值為0.022 4，而IGWO-LSSVM的MAE值為0.014 3，僅為GWO-LSSVM的2/3，與GWO-LSSVM算法相比，IGWO-LSSVM的RMSE值減少約30%。通過以上分析可知，文中所提的IGWO-LSSVM算法均比GWO-LSSVM、PSO-ELM、BP神經網絡算法具有更高的預估精度。為了進一步驗證IGWO-LSSVM算法的預測性能，則縮減4組電池的訓練樣本，從85（B5、B6、B7）與66（B18）個循環周期分別減少至66（B5、B6、B7）與53（B18）個周期，預測結果如圖10～13所示。由圖可知，當減少模型的訓練樣本之后，該模型仍具較好的預測性能，其詳細的性能指標見表4所示。

通過分析表4可知，當減少4組鋰離子電池的訓練樣本后，IGWO-LSSVM算法仍獲得較好的剩余壽命預測結果。最大的絕對誤差Er不超過3，最大相對誤差不超過10%，而GWO-LSSVM、PSO-ELM和BP神經網絡算法的總體預測精度出現較大的降低。以B7號電池為例，選取前67個循環周期為訓練樣本時，PSO-ELM與BP算法出現無法預測的情況，GWO-LSSVM算法的Er值和Per值高達14和17.70%；而所改進的GWO-LSSVM算法的Er值和Per值分別為3和3.79%。可見，IGWO-LSSVM算法的預測誤差明顯低于GWO- LSSVM、BP和PSO-ELM算法；再以B6號電池為例，結合表4可知，BP算法的Per值最小。但結合圖11容量整體的預測結果發現，BP算法在預測后期出現誤差劇增，而IGWO-LSSVM算法仍保持較好的剩余壽命預測性能，并且在預測后期始終可以精準地預估電池容量衰減情況。

因此，為了進一步論證縮減訓練樣本之后，文中所提算法仍具有較好的預測性能，則分別對4種不同算法的MAE與RMSE值進行分析，其具體分析結果見表5所示。

由表5可以發現，當選擇前66個循環周期數據作為訓練樣本時，文中所提出的IGWO-LSSVM算法的平均誤差MAE值與均方根誤差RMSE值最小。以B6號電池為例，GWO-LSSVM算法的MAE值和RMSE值分別為0.028 5和0.034 4，而IGWO-LSSVM算法的MAE值和RMSE值分別為0.016 2和0.022 9，相對百分比分別下降了43.2%和33.4%，比PSO-ELM算法分別下降了43.5%和34%。與BP算法比較，結合表4可知，雖然BP算法的預測Per值最小，但其MAE和RMSE值分別高達0.083 0和0.117 8，而IGWO-LSSVM算法的MAE值與RMSE值僅為其1/5。因此，單從Er值和Per值不能全方位對不同算法的預測精度進行有效評估，還需從平均誤差與均方根誤差進行整體評估。通過以上一系列的實驗結果分析可知，相比于GWO-LSSVM、PSO-ELM和BP神經網絡算法，文中所提的IGWO-LSSVM算法對于鋰離子電池剩余壽命預測具有更高的預測精度。

4 結 論

為了提高鋰離子電池剩余壽命的預測精度，降低意外事故發生的概率，在GWO-LSSVM算法的基礎上，提出了一種改進灰狼優化最小二乘支持向量機算法的鋰離子電池剩余壽命在線間接預測方法IGWO-LSSVM。IGWO-LSSVM方法通過提取放電平均電壓、放電溫度峰值時間和等壓降所需時間作為3個間接的健康因子，并采用Pearson與Spearman相關系數法對健康因子與容量之間的關系進行相關性分析，將間接健康因子作為輸入，容量作為輸出，對鋰離子電池剩余壽命進行預測。文中方法在基本的GWO基礎上引入tent混沌映射、非線性遞減和萊維飛行策略，解決了傳統的GWO算法存在初始化種群比較單一以及迭代后期容易陷入局部最優解問題，建立了IGWO-LSSVM算法模型。利用NASA提供的數據集對文中所提的方法進行了驗證性實驗，并將實驗結果與GWO-LSSVM、PSO-ELM和BP神經網絡算法進行了比較分析，驗證了文中所提IGWO-LSSVM算法預測精度更高。得出如下結論：

1）通過Pearson與Spearman相關系數分析法驗證了平均放電電壓、放電溫度峰值時間和等壓降時間3個間接健康因子與容量具有較強的相關性，可作為鋰離子電池剩余壽命在線預測的間接健康因子。

2）在GWO算法的基礎上引入tent混沌射、非線性遞減和萊維飛行策略，可以有效的解決GWO尋優過程容易陷入局部最優解問題，從而增強了算法全局搜索的能力。

3）基于IGWO-LSSVM算法的鋰離子電池剩余壽命在線間接預測方法，與其他算法相比，具有更高的預測精度。

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