人民幣利率互換定價：誤差有多大？

摘要：本文探討了經(jīng)典互換定價方法在人民幣利率互換市場的適用性。研究認(rèn)為，人民幣利率互換定價應(yīng)該用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，此時經(jīng)典定價方法中“參考利率和貼現(xiàn)率為同一無風(fēng)險利率”的假設(shè)未必成立，不能簡單套用經(jīng)典方法對參考利率與無風(fēng)險貼現(xiàn)率不一致情況下的互換進(jìn)行定價。對此，本文提出了相對精確的互換定價模型，并對誤用經(jīng)典定價方法產(chǎn)生的誤差展開實證分析。

關(guān)鍵詞：利率互換 貼現(xiàn)率 等價鞅方法 動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型

利率互換作為金融市場運(yùn)用最廣泛的利率衍生品之一，是企業(yè)和機(jī)構(gòu)投資者管理利率風(fēng)險的有效工具。我國的利率互換市場自2006年啟動以來規(guī)模穩(wěn)步增長，市場參與主體數(shù)量不斷增加。截至2022年末，人民幣利率互換交易量約為20.97萬億元，其中交易量較大的兩個互換產(chǎn)品為7天回購定盤利率 （FR007）互換（以下簡稱“FR007利率互換”）和3個月上海銀行間同業(yè)拆借利率（Shibor3M）互換 （以下簡稱“Shibor3M利率互換”），其名義本金占比分別為89.3%和9.7%1。

利率互換定價一直是國內(nèi)外固定收益研究中關(guān)注的問題。眾所周知，金融資產(chǎn)的價值等于未來現(xiàn)金流期望值的合理貼現(xiàn)。在人民幣利率互換市場上，F(xiàn)R007利率互換和Shibor3M利率互換通常采用遠(yuǎn)期利率計算未來現(xiàn)金流的期望值，并用各自的參考利率作為貼現(xiàn)率。這一做法是否合理？如果不合理，應(yīng)該如何定價？如果采用這一不合理做法，會產(chǎn)生多大的定價誤差？本文試圖就這些問題展開討論。

經(jīng)典定價方法：基于定價原理的探析

常見的利率互換是合約雙方約定在未來的一定期限內(nèi)，根據(jù)約定數(shù)量的名義本金彼此交換基于給定參考利率計算的浮動利息和固定利息的金融合約。實際上，利率互換既可以視為一個浮息債和固息債的組合，也可以視為一系列遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）的組合，相應(yīng)地，互換定價問題可以轉(zhuǎn)化為債券定價或FRA定價問題（陳蓉和鄭振龍，2021）。

從債券定價的角度看，需要假設(shè)互換合約中的參考利率與其合理貼現(xiàn)率一致，定價才易于實現(xiàn)。因為利率互換合約多頭的價值可以看作是浮息債與固息債價值之差，其中固息債的價值可以直接用未來固定現(xiàn)金流按合理貼現(xiàn)率貼現(xiàn)得到，但浮息債的價值只有在“參考利率與合理貼現(xiàn)率一致”的假設(shè)下，在每個互換周期期初才會等于面值，使得互換定價易于實現(xiàn)。

從FRA定價的角度看，則需要更為嚴(yán)格的假設(shè)：互換合f0db93aa1eeaf10bb16d47864d7f6470約中的參考利率與其合理貼現(xiàn)率不僅要一致，且均須為無風(fēng)險利率。因為互換合約中拆分出來的單個FRA定價看似簡單，其實質(zhì)卻是在一個特定的遠(yuǎn)期測度下定價。以t時刻名義本金為N、協(xié)議利率為K、遠(yuǎn)期期限為Ti-Ti-1的FRA合約為例，其合約價值為

其中，為參考利率在未來Ti-1到Ti時刻的即期利率，[·]為無風(fēng)險貼現(xiàn)因子的波動率為風(fēng)險價格的Ti遠(yuǎn)期測度 （為易于表述，以下簡稱無風(fēng)險Ti遠(yuǎn)期測度）下的期望算子。而根據(jù)鞅定價原理，只有在“參考利率與合理貼現(xiàn)率均為同一無風(fēng)險利率”的假設(shè)下，在無風(fēng)險Ti遠(yuǎn)期測度 下，未來即期利率的期望值才會等于對應(yīng)的遠(yuǎn)期利率，即

相應(yīng)地，F(xiàn)RA價值才可以表示為

如果參考利率不是無風(fēng)險利率，則（1）～（3）式不再成立，經(jīng)典定價方法不再適用。

在2007年美國次貸危機(jī)發(fā)生前，國際市場上利率互換合約的主流參考利率和貼現(xiàn)率都為倫敦銀行間同業(yè)拆借利率（LIBOR），并且市場默認(rèn)LIBOR為無風(fēng)險利率。在此情況下，為利率互換定價最快捷的方式是采用FRA定價法，直接求得對應(yīng)期限的LIBOR遠(yuǎn)期利率，并用對應(yīng)期限的LIBOR即期利率貼現(xiàn)即可。然而，在美國次貸危機(jī)爆發(fā)后，銀行間市場的流動性風(fēng)險和交易對手信用風(fēng)險驟增，表現(xiàn)為LIBOR與隔夜指數(shù)互換利率（OIS）的利差迅速擴(kuò)大，LIBOR不再能反映真實的市場無風(fēng)險借貸利率（陳珊和郭輝銘，2013）。對此，國際掉期與衍生工具協(xié)會（ISDA）鼓勵將LIBOR利率互換定價和估值的貼現(xiàn)參數(shù)由LIBOR曲線調(diào)整為OIS曲線，改變了經(jīng)典利率互換定價和估值的框架（甄梅等，2014）。

那么時至今日，經(jīng)典的定價思路在我國市場上是否適用？要回答這一問題，需要考慮互換合約中的參考利率與其合理貼現(xiàn)率是否一致，是否都為無風(fēng)險利率。

（一）合理貼現(xiàn)率

筆者認(rèn)為，一是要考慮人民幣利率互換合約的合理貼現(xiàn)率是否需要包含信用風(fēng)險溢價。盡管早期有一些研究探討了互換違約定價模型（Duffie and Singleton，1997），但在美國次貸危機(jī)發(fā)生后，國際金融自律和監(jiān)管機(jī)構(gòu)加強(qiáng)了場外衍生品市場的對手方風(fēng)險管理，包括建立衍生品集中交易與清算制度、推行合約標(biāo)準(zhǔn)化等。2013年6月，ISDA發(fā)布標(biāo)準(zhǔn)信用支持文件（Standard Credit Support Annex，簡稱SCSA），對利率互換擔(dān)保品的技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)機(jī)理進(jìn)行統(tǒng)一，并提出了一些新的凈額結(jié)算流程。以上措施基本消除了利率互換對手方的違約風(fēng)險（Johannes and Sundaresan，2007；Feldhütter and Lando，2008）。

與國際市場類似，我國于2009年正式推出《中國銀行間市場金融衍生產(chǎn)品交易主協(xié)議（2009年版）》（NAFMII主協(xié)議）以及配套的履約保障品文件，引入了諸如單一協(xié)議、終止凈額、履約保障等重要機(jī)制和概念，有效降低了交易雙方的信用風(fēng)險（劉全雷等，2021）。參與國內(nèi)銀行間互換交易的雙方均應(yīng)簽署上述文件，故可以認(rèn)為銀行間利率互換產(chǎn)品幾乎不存在對手違約風(fēng)險。

二是要考慮參考利率中隱含的信用風(fēng)險和流動性風(fēng)險是否要成為互換雙方的資金借貸成本反映到貼現(xiàn)率中。對此，有學(xué)者指出，參考利率的信用風(fēng)險和流動性風(fēng)險是由生成參考利率的銀行間市場信用和流動性決定的。由于利率互換交易者并不與生成參考利率報價的銀行間市場成員直接交易，因此參考利率的信用風(fēng)險和流動性風(fēng)險不會直接影響利率互換交易雙方本身的信用風(fēng)險，不應(yīng)該反映在貼現(xiàn)率上（Collin-Dufresne and Solnik，2001）。

基于上述兩點考慮，在人民幣利率互換市場上，合理的貼現(xiàn)率應(yīng)為無風(fēng)險利率。

（二）參考利率

由于我國利率互換市場上存在多種參考利率，如果其中之一被認(rèn)為是無風(fēng)險利率，則其他利率就不可能是無風(fēng)險利率。例如，在主流的FR007利率互換和Shibor3M利率互換中，必然只有一種參考利率是無風(fēng)險利率。假設(shè)同一家無違約風(fēng)險的金融機(jī)構(gòu)同時發(fā)行掛鉤FR007和Shibor3M的浮息債，從理論上說，兩只浮息債不可能都以面值發(fā)行，因為二者的貼現(xiàn)率相同，而未來的現(xiàn)金流不同。

筆者假設(shè)FR007更接近無風(fēng)險利率，那么FR007利率互換采用經(jīng)典定價方法就沒有問題，Shibor3M利率互換不宜再采用經(jīng)典定價方法。但目前常見的做法是：在為FR007利率互換定價時，假設(shè)FR007是無風(fēng)險利率；在為Shibor3M利率互換定價時，又假設(shè)Shibor利率是無風(fēng)險利率，繼續(xù)簡單套用經(jīng)典定價方法。那么，這顯然會產(chǎn)生誤差：從債券定價的角度看，由于參考利率和無風(fēng)險利率實際上并非同一種利率，在重訂利率時點時，并不能保證Shibor3M利率互換中浮息債的部分等于面值；從FRA定價的角度看，不能繼續(xù)用Shibor遠(yuǎn)期利率代替無風(fēng)險Ti遠(yuǎn)期測度下未來Shibor即期利率的期望值。

相對精確的互換定價模型：測度轉(zhuǎn)換方法

那么，當(dāng)參考利率不是無風(fēng)險利率時，該如何為利率互換定價？此時，只能回到定價式（1）

關(guān)鍵是需要估計無風(fēng)險Ti遠(yuǎn)期測度 下未來即期利率的期望值。

首先，設(shè)定的隨機(jī)過程。筆者利用遠(yuǎn)期利率的鞅性質(zhì)，

即遠(yuǎn)期利率在以Ti到期的貼現(xiàn)因子波動率作為風(fēng)險價格的測度（為易于表述，以下簡稱“參考利率Ti測度”）下是一個鞅，等于參考利率Ti測度下未來即期利率的期望值。由此， 假設(shè)服從幾何布朗運(yùn)動，則服從如下隨機(jī)過程

其中，σt表示的波動率，是一個隨時間確定性變化的函數(shù)，代表參考利率Ti測度下的布朗運(yùn)動。

其次，參考Bianchetti（2010），無風(fēng)險貼現(xiàn)因子（零息債）和參考利率貼現(xiàn)因子（零息債）之間的關(guān)系可以表示為

也就是說，份無風(fēng)險零息債的總價值等于xt份參考利率零息債的總價值，則稱和xt為轉(zhuǎn)換因子。由于兩種零息債價值是時變的，和xt顯然也是時變的。對式（6）簡單變形可得

也就是說，也可以視為以波動率作為風(fēng)險價格計價的可交易資產(chǎn)，這意味著是無風(fēng)險Ti遠(yuǎn)期測度 下的鞅過程。同樣假設(shè)在測度下服從幾何布朗運(yùn)動，則有

其中，的波動率σtX也是隨時間確定性變化的函數(shù)，是測度下的布朗運(yùn)動，滿足。

最后，根據(jù)Brigo and Mercurio（2006），筆者以為中介，通過測度轉(zhuǎn)換得到在Ti無風(fēng)險遠(yuǎn)期測度下的隨機(jī)過程。此時的漂移項μ等于

從而得到在測度下的隨機(jī)過程

即可求得

將式（10）代回式（1），可得FRA相對精確的定價公式為

相對精確的互換利率表達(dá)式則為

誤用經(jīng)典定價方法：誤差有多大？

筆者以Shibor3M利率互換為例，用市場互換利率的歷史數(shù)據(jù)來提取和估計互換隱含遠(yuǎn)期利率曲線，探索誤用經(jīng)典定價方法可能造成多大的誤差。

（一）誤用經(jīng)典定價方法

如果認(rèn)為Shibor利率為無風(fēng)險利率，將其作為合理貼現(xiàn)率和參考利率，用經(jīng)典定價方法來給Shibor3M利率互換定價，互換利率S與無風(fēng)險貼現(xiàn)因子的關(guān)系表達(dá)式為

其中n為到期前付息次數(shù)（季度付息），τi代表每一付息期之間的時間間隔。對式（14）略加整理可得

運(yùn)用式（15），可以用息票剝離法（bootstrapping）從市場Shibor3M利率互換利率S的曲線中剝離出不同期限的貼現(xiàn)因子。

再根據(jù)貼現(xiàn)因子和遠(yuǎn)期利率的關(guān)系，就可以得到互換隱含遠(yuǎn)期利率

上述計算的前提條件是參考利率和貼現(xiàn)率均為同一無風(fēng)險利率。如果Shibor不是無風(fēng)險利率，簡單地將Shibor3M利率互換利率和Shibor貼現(xiàn)因子代入公式（14）～（16），得到的就是錯誤的互換隱含遠(yuǎn)期利率曲線，筆者將之表示為，其中F表示“錯誤”。

（二）相對精確的方法

由前文介紹可見，如果參考利率不是無風(fēng)險利率，互換利率的公式應(yīng)為式（12）。對式（12）略微變形可得到相對精確的互換隱含遠(yuǎn)期利率公式應(yīng)為

顯然，對于給定期限，運(yùn)用相對精確的公式（17）得到的和誤用公式（14）～（16）得到的之差（）就是誤用經(jīng)典定價方法產(chǎn)生的誤差。

（三）實證結(jié)果

接下來，筆者利用真實市場數(shù)據(jù)進(jìn)行實證，測算可能的定價誤差。

1.實證數(shù)據(jù)

筆者基于2012年5月21日至2022年11月18日的Shibor3M利率互換曲線展開實證分析。采用國開債即期利率作為無風(fēng)險利率的代表2。為了計算Shibor貼現(xiàn)因子和遠(yuǎn)期利率，需要構(gòu)建Shibor曲線。對于1年期以下的Shibor曲線，使用市場現(xiàn)有的Shibor報價；對于1年期及以上的Shibor曲線，用AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率來近似度量。以上數(shù)據(jù)均來自萬得（Wind）。

Shibor反映了由國內(nèi)18家商業(yè)銀行和政策性銀行組成的報價銀行的信用風(fēng)險，理論上其風(fēng)險水平應(yīng)該與AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率相近。為了檢驗近似用AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率構(gòu)建Shibor曲線可能產(chǎn)生的誤差，筆者測算了3個月、6個月、9個月的Shibor與AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率之間的相關(guān)系數(shù)和平均絕對誤差（MAE），結(jié)果如表1所示。

由表1可知，Shibor與同期限AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率的平均絕對誤差在20BP左右，相關(guān)系數(shù)在93%以上。通過觀察3個月的Shibor與AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率走勢圖（見圖1）也可以發(fā)現(xiàn)，二者走勢高度一致。因此用AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率替代Shibor對后續(xù)實證結(jié)果產(chǎn)生的誤差總體較小。

此外，由于市場上Shibor3M利率互換的利率期限較少，筆者將6個月、9個月、1年、2年、3年、5年、7年和10年期的Shibor3M利率互換利率按每3個月線性插值3得到更為連續(xù)的互換曲線。對國開債即期利率曲線和AAA級商業(yè)銀行普通債即期利率也進(jìn)行類似處理。

2.計算定價誤差

為了計算誤用經(jīng)典定價方法產(chǎn)生的誤差，筆者計算錯誤的互換隱含遠(yuǎn)期曲線。將Shibor3M利率互換曲線數(shù)據(jù)代入公式（14）～（16）中，就可以得到不同期限的互換隱含遠(yuǎn)期利率。

之后，計算相對精確定價方法下的互換隱含遠(yuǎn)期利率曲線。先從國開債即期利率曲線中計算出無風(fēng)險貼現(xiàn)因子，再計算。為了方便，筆者假設(shè)中的σt、σtX、ρt在任意時刻都具有水平的期限結(jié)構(gòu)，從而將等式化簡為。的具體計算步驟如下：

第一步：計算Shibor遠(yuǎn)期利率的波動率σt。利用Shibor遠(yuǎn)期利率過去720天的歷史波動率來估計σt4。

第二步：計算轉(zhuǎn)換因子的波動率σtX。令式（7）中xt=1，利用Shibor貼現(xiàn)因子和無風(fēng)險貼現(xiàn)因子之比來估計轉(zhuǎn)換因子，并利用過去720天的歷史波動率來估計σtX。

第三步：計算Shibor遠(yuǎn)期利率和轉(zhuǎn)換因子的相關(guān)系數(shù)ρt。利用Shibor遠(yuǎn)期利率和轉(zhuǎn)換因子的對數(shù)差分序列的過去720天滾動相關(guān)系數(shù)來估計ρt。

在算出和無風(fēng)險貼現(xiàn)因子后，將其代入公式（17）就可以算出，進(jìn)而得到和之差。

3.分析結(jié)果

筆者根據(jù)上述過程計算出誤用經(jīng)典方法造成的誤差（見表2）。

由表2可知，整體為負(fù)值，這表明平均來看，誤用經(jīng)典方法將會高估遠(yuǎn)期利率，并且這種誤差隨著期限的增大而增大，尤其當(dāng)期限為10年時，誤用經(jīng)典方法帶來的最大誤差可以達(dá)到近76BP5。

為了進(jìn)一步分析定價誤差的時變特征，筆者以10年期定價誤差時間序列為例，并結(jié)合σt、σtX、ρt的走勢分析定價誤差變化的原因（見圖2）。

圖2表明，當(dāng)遠(yuǎn)期參考利率波動率σt較大時，轉(zhuǎn)換因子的波動率σtX通常也處于較高水平，一旦遠(yuǎn)期參考利率和轉(zhuǎn)換因子的相關(guān)系數(shù)ρt發(fā)生突變，使用經(jīng)典方法可能會造成較大的定價誤差。通過上述分析可以說明，如果誤用經(jīng)典方法對較長期限的利率互換定價，參考利率曲線和無風(fēng)險利率曲線之間的聯(lián)動性以及二者波動性的大幅變化將對定價誤差產(chǎn)生顯著影響。

總結(jié)與建議

目前，我國銀行間利率互換的主流定價方法仍然以參考利率和貼現(xiàn)率為同一無風(fēng)險利率為前提，在定價過程中使用遠(yuǎn)期利率代替未來現(xiàn)金流的期望。筆者認(rèn)為，目前這種經(jīng)典互換定價方法不再適合對人民幣利率互換定價。一方面，無風(fēng)險利率才真實反映了人民幣利率互換交易雙方的借貸成本，應(yīng)該使用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。另一方面，如果使用無風(fēng)險利率作為貼現(xiàn)率，在定價中就不能再用遠(yuǎn)期參考利率代替未來現(xiàn)金流的期望。

為了給人民幣利率互換準(zhǔn)確定價，筆者提出了參考利率和無風(fēng)險貼現(xiàn)率不一致情況下的互換定價模型。該模型使用測度轉(zhuǎn)換方法對參考利率測度和貼現(xiàn)率測度進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，由此得到相對精確的互換定價模型。筆者還基于Shibor3M利率互換數(shù)據(jù)證實誤用經(jīng)典定價模型會產(chǎn)生較大的誤差。這種誤差與參考利率曲線和無風(fēng)險利率曲線的波動性以及二者的聯(lián)動性正相關(guān)，并且隨互換期限的增長而迅速擴(kuò)大。

未來隨著我國利率市場的發(fā)展，以無風(fēng)險利率為貼現(xiàn)基準(zhǔn)的定價框架有望成為我國利率互換定價和估值的統(tǒng)一框架。對此，我國需要進(jìn)一步完善市場基準(zhǔn)利率體系，形成公認(rèn)的兼具完整期限結(jié)構(gòu)和市場化特征的無風(fēng)險利率曲線，從而使得利率互換能夠獲得公認(rèn)的理論價格。此外，我國需要進(jìn)一步豐富利率衍生品，活躍現(xiàn)有產(chǎn)品交易。發(fā)展利率期貨、遠(yuǎn)期利率協(xié)議、基差互換等利率衍生品，有利于利率互換市場構(gòu)建參考利率的完整期限結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)各參考利率之間的聯(lián)動，拓寬利率風(fēng)險對沖途徑。（本文獲“第二屆中債估值杯——固收量化專題”征文一等獎）

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