“問題串”串起數(shù)學概念教學的探索路徑

明蕾

摘要：立足單元整體教學設(shè)計理念，探討在概念教學中如何在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下以“問題串”引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，以發(fā)展學生的探索性思維并提升學生解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵能力；概念教學；單元教學設(shè)計；問題串；一般觀念

一、教學內(nèi)容解析

“三角函數(shù)的概念”（第2課時）選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“三角函數(shù)”.教材對于三角函數(shù)概念的引入路徑為：從單位圓出發(fā)，利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)，建立周期現(xiàn)象，然后再建立其與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系.這種引入方式有利于學生更自然地以單位圓為基石抽象出三角函數(shù)的定義，進而借助單位圓的性質(zhì)（特別是對稱性）獲得對三角函數(shù)研究內(nèi)容的啟發(fā).本節(jié)課的教學就是要不斷引導(dǎo)學生利用數(shù)形結(jié)合思想展開對三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號、誘導(dǎo)公式一的探究，同時為后續(xù)對同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式二～五的探究作鋪墊，從而發(fā)展學生的直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).

明確研究對象是開展后續(xù)一切學習活動的基礎(chǔ).三角函數(shù)的研究對象是周期現(xiàn)象，研究任務(wù)是建立一個函數(shù)來描述周期現(xiàn)象的變量關(guān)系，通過研究函數(shù)的性質(zhì)來發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律——性質(zhì).本節(jié)課先讓學生根據(jù)定義得出三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號規(guī)律，由于探究內(nèi)容相對簡單，可以由學生獨立完成.而對于誘導(dǎo)公式一，其本質(zhì)是函數(shù)值會重復(fù)出現(xiàn)，它是“單位圓上任意一點旋轉(zhuǎn)整數(shù)周就回到原來的位置”的代數(shù)表示，可以直接由三角函數(shù)的定義得到，不存在理解上的困難.關(guān)鍵是如何讓學生發(fā)現(xiàn)和提出問題，也就是要“讓學生想到哪里去”.因此，教學設(shè)計注重從研究方法的高度進行引導(dǎo)，通過一系列思考、問題和追問引導(dǎo)學生找到研究路徑.基于此，確定本節(jié)課的研究路徑為：明確研究對象—對應(yīng)關(guān)系的特點分析—定義—性質(zhì).

二、教學目標解析

1.目標

（1）借助單位圓，理解并掌握三角函數(shù)的定義域及其在各象限的符號規(guī)律，熟悉數(shù)學的研究路徑，發(fā)展探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學思維.

（2）結(jié)合單位圓的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一，了解三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)“數(shù)學的眼光”，提升推理論證能力，發(fā)展直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

（3）熟練運用誘導(dǎo)公式一解決實際問題，即任意角三角函數(shù)的求值問題.

2.目標解析

達到以上教學目標的標志如下.

（1）能根據(jù)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律，準確判斷任意角在各象限的符號.

（2）能根據(jù)三角函數(shù)的定義和單位圓的對稱性，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式一.

（3）能熟練運用誘導(dǎo)公式一和特殊角的三角函數(shù)值求出任意角的三角函數(shù)值.

三、教學問題診斷分析

在三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號規(guī)律教學中，注意提醒學生當角的終邊與y軸重合時，終邊上點的橫坐標為0.因此，正切函數(shù)的定義域要剔除終邊與y軸重合的角.而對于三角函數(shù)值的符號，只要根據(jù)定義及單位圓上點的位置，就可以作出判斷.

在本節(jié)課的教學中，我們需要利用三角函數(shù)的定義來研究三角函數(shù)的性質(zhì)，教學難點在于一些學生不習慣借助單位圓的性質(zhì)來研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從聯(lián)系的觀點看問題的經(jīng)驗不足，對“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”認識不充分.對此，教師可以先帶領(lǐng)學生閱讀教材，了解有關(guān)教學內(nèi)容，再通過問題引導(dǎo)學生展開探究.

四、教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1：課前回顧，引發(fā)思考.

【設(shè)計意圖】檢驗學生對三角函數(shù)定義的掌握和應(yīng)用情況.引發(fā)學生對題目中出現(xiàn)的三角函數(shù)值的正、負號判斷及借助單位圓的特征進行性質(zhì)分析等問題進行初步感知與思考，進而展開對三角函數(shù)性質(zhì)的探索.

環(huán)節(jié)2：問題導(dǎo)學，性質(zhì)探索.

引導(dǎo)語：我們前面學習了三角函數(shù)的定義，根據(jù)已有的函數(shù)學習經(jīng)驗，接下來應(yīng)該研究關(guān)于三角函數(shù)的哪些問題？

在一般觀念的引領(lǐng)下，學生容易想到定義域、圖象等研究內(nèi)容，但較難聯(lián)想到借助單位圓探究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).對此，教師結(jié)合以下問題進行適當引導(dǎo).

問題1：你能根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定正弦、余弦、正切三種函數(shù)在弧度制下的定義域嗎？填寫表1.

【設(shè)計意圖】學生熟悉一般觀念下的函數(shù)性質(zhì)的討論方向，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學生意識到三角函數(shù)與其他函數(shù)的不同之處，要借助單位圓來研究三角函數(shù)的性質(zhì)，明確要研究的問題和思考方向.

追問：在明確三角函數(shù)的定義域后，應(yīng)該繼續(xù)研究關(guān)于三角函數(shù)的哪些問題？

【設(shè)計意圖】由函數(shù)的學習經(jīng)驗，學生容易提出值域、取值等研究問題，為三角函數(shù)值的符號問題的提出作好準備.

問題2：由三角函數(shù)的定義及任意角的終邊與單位圓交點所在象限，你能發(fā)現(xiàn)正弦、余弦、正切三種函數(shù)的值在各象限的符號規(guī)律嗎？填寫圖1中的括號內(nèi)容，并用集合語言表示上述規(guī)律.

【設(shè)計意圖】讓學生了解三角函數(shù)值在各象限的符號，同時以單位圓為直觀工具，關(guān)注到三角函數(shù)的特殊性，為接下來的學習及誘導(dǎo)公式一的發(fā)現(xiàn)作準備.通過用集合語言表示三角函數(shù)的取值規(guī)律，復(fù)習了象限角、終邊相同的角的集合表示.

練習1：判斷正誤.

（1）已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.

（2）若sinα>0，則α是第一象限角或第二象限角.

（3）對于任意的角α，sinα，cosα，tanα都有意義.

【設(shè)計意圖】讓學生利用新知解決問題，強化對三角函數(shù)值的符號規(guī)律的認識，以及對角的終邊位于坐標軸上這一特殊情況下三角函數(shù)取值規(guī)律的記憶，加深學生對知識的全面理解.特別地，練習3結(jié)合常用邏輯用語中的充要條件，以不等式組呈現(xiàn)問題，在問題求證過程中能夠有效培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象概括能力.

基于問題的求解，師生共同總結(jié)有關(guān)三角函數(shù)值符號問題的解題策略，具體如下.

（1）若已知角α的終邊所在的象限，則可以畫出單位圓，或利用“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來解決角α的三角函數(shù)值的符號問題.

（2）若已知角α三個三角函數(shù)值中任意兩個的符號，則可以分別確定出角α終邊所在的可能位置，兩者的公共部分即為角α的終邊位置.

（3）對于多個三角函數(shù)值符號的判斷問題，需要進行分類討論.

【設(shè)計意圖】結(jié)合三角函數(shù)值的符號規(guī)律，確定具體三角函數(shù)的值.通過快問快答的形式，收獲學生的第一反應(yīng)，引導(dǎo)學生初步感受“周而復(fù)始”，為誘導(dǎo)公式一的探究搭建橋梁.

問題3：前面結(jié)合三角函數(shù)的定義和單位圓上點的坐標或坐標比值研究了三角函數(shù)值的符號規(guī)律，而單位圓具有對稱性和“周而復(fù)始”的特性，反映到三角函數(shù)的取值規(guī)律上，就會呈現(xiàn)出更豐富的性質(zhì).有哪些特殊情況值得研究？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生關(guān)注單位圓的圖形特征，探究三角函數(shù)的特性，自主發(fā)現(xiàn)并提出接下來要研究的取值相等或相反、三個函數(shù)之間的關(guān)系等問題.

問題4：聯(lián)系三角函數(shù)的定義及終邊相同的角的表示，你能明確三角函數(shù)取值相等的條件嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生從數(shù)與形兩個方面感受誘導(dǎo)公式一，基于圖形直觀感受“單位圓上任意一點旋轉(zhuǎn)整數(shù)周就回到原來的位置”，并總結(jié)出其“函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)”的代數(shù)表示，體會結(jié)合單位圓探索三角函數(shù)性質(zhì)的優(yōu)勢.

追問1：基于誘導(dǎo)公式一，你對三角函數(shù)的取值規(guī)律是否有進一步的發(fā)現(xiàn)？它反映了圓的什么特性？

追問2：誘導(dǎo)公式一有什么作用？

【設(shè)計意圖】通過兩個追問，啟發(fā)學生根據(jù)單位圓“周而復(fù)始”的特性，可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0 ～ 2π內(nèi)的角的三角函數(shù)值，為后續(xù)探索三角函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)提供縮小研究范圍的思路.

練習5：判斷正誤.

（1）若α=β+720°，則cosβ=cosα.

（2）若sinα=sinβ，則α=β.

【設(shè)計意圖】利用誘導(dǎo)公式一解決問題，第（2）小題借助單位圓的對稱性情況，引導(dǎo)學生聯(lián)想更多性質(zhì).

練習6：利用誘導(dǎo)公式一確定三角函數(shù)值的符號，然后用計算器驗證.

【設(shè)計意圖】練習5借助誘導(dǎo)公式一和單位圓的對稱性情況判斷兩角關(guān)系，促進學生對誘導(dǎo)公式一的理解；練習6引導(dǎo)學生體驗單位圓方法與誘導(dǎo)公式一的有機融合；練習7利用特殊角的三角函數(shù)，進一步加深學生對誘導(dǎo)公式一的運用與理解.

師生共同總結(jié)利用誘導(dǎo)公式一化簡、求解三角函數(shù)的步驟，如圖2所示.

環(huán)節(jié)3：拓展思考，總結(jié)聯(lián)想.

問題5：誘導(dǎo)公式一表明終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，那么具有對稱性的角的三角函數(shù)值之間又有什么聯(lián)系？正弦、余弦和正切的三角函數(shù)值都由角的終邊與單位圓的交點坐標唯一確定，它們之間又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？總結(jié)本節(jié)課的研究過程，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)的嗎？你認為還可以從哪些方面入手研究三角函數(shù)的性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】帶領(lǐng)學生鞏固本節(jié)課所學的知識，并加深對知識的理解與掌握.引導(dǎo)學生自然地發(fā)現(xiàn)并提出有關(guān)具有對稱性的角的三角函數(shù)值的關(guān)系及其他誘導(dǎo)公式的問題，引出下節(jié)課所要學習的內(nèi)容，培養(yǎng)學生探索與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學精神.

（1）角θ為第二象限角的充要條件是__________；

（2）角θ為第三象限角的充要條件是__________.

【設(shè)計意圖】檢測學生對三角函數(shù)符號規(guī)律的掌握情況；鞏固學生對誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用及特殊角的三角函數(shù)值的記憶.

課后作業(yè)：教材習題5.2第1題、第3題、第4題、第5題、第7題、第8題、第9題、第10題.

五、教學反思

1.基于導(dǎo)向性，承載知識內(nèi)核

本節(jié)課是學生探索三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的開始，需要深化學生對概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)其對三角函數(shù)性質(zhì)的探究能力，而非單純的理解接受能力.教師在教學中需要引導(dǎo)學生從三角函數(shù)的概念出發(fā)，逐步發(fā)現(xiàn)并提出三角函數(shù)的簡單性質(zhì).基于此，筆者通過層層遞進的“問題串”激發(fā)學生的探究興趣，帶領(lǐng)學生對問題進行逐步探究，同時注重基于一般觀念引導(dǎo)學生自主提出問題，以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

2.基于生成性，“四能”并重融合

對于“四能”的培養(yǎng)，要求教師在課堂教學中關(guān)注一般問題的分析與解決，同時引導(dǎo)學生生成三角函數(shù)的特性問題.本節(jié)課課前回顧中3道題目強調(diào)了單位圓在三角函數(shù)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過程中的重要性，在此基礎(chǔ)上設(shè)計“問題串”為學生在本節(jié)課中的具體研究指明方向.需要注意的是，在提出問題后，要留給學生探索與發(fā)現(xiàn)的空間.合理的問題設(shè)計、有效的問題解決是學生問題探究能力生成的基礎(chǔ)保障.

3.基于時代性，促進教師成長

課程改革對教師在具體教學過程中落實立德樹人根本任務(wù)提出了更高的要求，除了要傳授知識外，更要注重對學生適應(yīng)時代發(fā)展的思維品質(zhì)與能力的培養(yǎng).數(shù)學概念教學對教師專業(yè)能力的要求較高，不能單純根據(jù)知識點的多少來組織課堂.數(shù)學概念的抽象性、符號化、系統(tǒng)性決定了學習的難度，需要學生較高的能力來支撐.對此，教師需要不斷探索數(shù)學概念教學中蘊含的對學生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略.

思維品質(zhì)與能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，問題驅(qū)動教學要貫穿在日常教學過程中.采用“問題串”教學，由淺入深地給學生提供思維提升的階梯，可以為學生的自主探究指明方向，從研究方法的高度引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)并提出問題.好的“問題串”設(shè)計對教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了較高要求.因此，“問題串”教學能有效促進教學相長，尤其在數(shù)學概念課的教學中值得推廣.

參考文獻：

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