一道高考函數與導數壓軸題的探析與啟示

摘要：以2022年高考數學全國乙卷理科壓軸題為載體，通過“三分離”——不分離、半分離、全分離探析試題的命題立意，以及能力與素養導向，并給出解決函數與導數綜合問題的求解模型、解題教學模式、教學啟示及學習啟示.

關鍵詞：函數與導數；三分離；教學啟示；學習啟示

高考數學全國卷的命制以《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）為指導，以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）為依據，貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》（以下簡稱《方案》）的要求，服務“雙減”政策的實施，發揮“立德樹人、服務選材、引導教學”的核心功能，全面覆蓋了“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”的考查內容，實現了“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求，試題難度較大，減負但不降低選拔標準.試題突出數學本質，著重考查思維能力和通性通法.

對于函數與導數綜合問題，我們要明確一個思想——函數思想，關注一個特征——局部（點）定量研究，突出一個尺度——導數定性刻畫函數的性質，回歸一類問題——函數與導數問題的本質（函數的性質）.

一、試題分析與探秘

二、教學啟示

1.加強學習，依標施教

《體系》是新時代高考內容改革和命題工作的理論支撐和實踐指南，數學高考積極貫徹《方案》的要求，將《標準》確定的考試內容和考試要求作為重要參考.《標準》提出數學核心素養，并明確數學教學要以發展學生的數學核心素養為基本導向，并為高考命題提供了重要依據.高考數學試題的考查內容范圍和比例、要求層次與《標準》保持一致.因此，要深入學習、領會《體系》的精神和《方案》的要求，認真研讀教材，透徹理解《標準》，做到依標施教.

2.“雙減”減負擔，教學保質量

2022年高考數學中的函數與導數試題提高了對學科素養和關鍵能力的考查要求.因此，要提高課堂教學效率，對重點知識、重要思想方法、重要定理和公式要講到位、練到位、思考到位，加強引導，延伸理解.例如，對定理和公式的證明、推導、弱化、加強、特殊化、一般化、變形等；精心篩選作業題和練習題，實現減量提質.

高三復習課主要以解題教學為主.從全局的角度來看，一位優秀的高中數學教師，要能把解題教學模式內化于解題教學的全過程，進而在每一節課中對設置的問題突出核心思想與方法.教學過程中要促進學生思維能力的提高，在總結反思中發現問題的本質，最終發展學生的數學核心素養.例如，函數與導數教學中可以融入下列求解模型，如圖2所示.

3.創設問題模型，發展關鍵能力

在教學中，精心設計問題模型，啟發學生發現和提出問題，積極思考、分析和解決問題.知識是發展核心素養和提升關鍵能力的載體，對核心知識深入理解，即對概念或命題的內涵與外延有充分的把握，對知識之間的邏輯關系有清晰的認識，對知識所蘊含的思想與方法有深刻的領悟，提高學生的思維能力.給學生充分的思考時間和交流表達的機會，如組織學生開展解題測試與分享課，在交流與表達中相互借鑒、共同提高，提升運算能力和推理能力.

2022年高考數學全國乙卷理科的函數與導數壓軸題正是教學中需要重點關注的問題，但是從學生反饋的情況來看，很不理想.究其原因，主要是：教師在教學活動中忽視了對問題本質的理解、對思維過程的關注、對方法的總結反思，導致學生面對改頭換面的新問題只知其一不知其二，未能真正把握求解該類問題的核心思想與方法.因此，核心思想下的解題模式教學至關重要.下面筆者結合函數與導數綜合問題的教學經驗提出一套解題教學模式，以此培養學生的解題思維，提升他們的數學核心素養，如圖3所示.

將上面的解題教學模式應用于高考第二輪專題復習，形成解題教學框架，內化于每一個專題，每一節課，每一個知識點，真正突出每一類問題求解的核心思想與方法，進而真正將數學核心素養落到實處.

三、學習啟示

1.重視基礎知識和通性通法

學生要重視教材中的基礎知識與基本概念，要掌握與總結教材中所有的例題、習題——幾十年沉淀下來的精華蘊含著通性通法，也是我們用數學語言表述問題的模板.高考重點考查學生進一步學習的必備知識，重視基礎性.追求偏、難、怪題和特殊解題技巧已不符合當前的高考要求.

2.養成獨立思考的習慣，提升學習能力

學生要積極獨立思考、主動學習.做到：在教師講解之前，形成自己的解決方案或解題思路；在教師講解之中，重點關注教師的解法和自己的解法的差異，或重點關注思路受阻的原因和突破難點的方法；在教師講解之后，總結反思、加強理解、深入思考，真正轉化為自己的能力.高考考查的是知識所承載的關鍵能力及學科素養，考查的已不是“解題”能力，而是“解決問題”的能力.因此，停留在聽的層面，只靠刷題已遠遠不能滿足新高考的要求.

3.重點提升運算求解能力和推理論證能力

學生在考試中丟分很重要的一個原因是“馬虎”，“馬虎”的根本原因是思維不嚴密. 2022年全國卷的解答題都與運算的準確性和運算策略有關.因此，要養成獨立、深入思考的習慣，發展思維的全面性與深刻性.要能在思路受阻時進行靈活地調整與變通，要有意識地培養和提升意志品質與思維品質.

4.重視積累素材，形成科學合理的答題策略

建立糾錯本.積累自己的錯題與好題，避免以后再犯同樣的錯誤.另外，要珍惜每一次考試的機會，把每一次考試都當作高考一樣重視，緊張而嚴肅，并逐步修正和調整，盡快形成適合自己的、有效的答題策略.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]閆二路，何百惠.函數與導數問題的本質：以2021年全國新高考Ⅰ卷壓軸題為例[J].中學數學教學，2021（6）：68-71.