構建數學創生課堂 發展學生高階思維*

董榮森 何靜芳|江蘇省懷仁中學

當前，課堂教學中仍然存在諸多問題，如：教師以教“考”為中心，只重視知識傳授，而忽視對學生能力的培養，使數學學科核心素養難以落地生根；學生普遍缺失問題意識和批判質疑精神；學生課業負擔過重，“學生苦教師累”現象沒有得到根本性改善.

為準確把握國家“雙減”政策和“三新”背景下國家對創新型人才的需求，筆者積極探尋課堂提質增效的教學之道.在實踐中，筆者發現構建與實施基于問題解決的數學創生課堂，可有效破解課堂教學中存在的問題，全面落實數學學科核心素養的培育，發展學生高階思維能力，促進學生主動適應未來社會的發展.

一、概念界定

（一）創生

“創生”一詞出自魯迅《集外集拾遺》，意為創造產生、生而成長.筆者使用這個詞匯，主要指向這兩個字本身所隱含的三個逐層進階的含義.一是創設、生動，指教師通過創設真實的情境和生動的場景，調動學生利用已有知識與經驗去發現問題，充分激發學生啟動思維、積極思考，提出問題，從而生長新知識與經驗.二是創新、生成，指教師引導學生通過自主、合作、探究等多種學習方式分析問題，并關注知識的變式與生成，使學生在不斷的創新中生成新事物、新概念，構建生成有意義的概念與知識體系.三是創造、生長，指教師通過開展以問題為主線的數學教學，引導學生在創造性解決問題的活動過程中生長.如此，教師在課堂上“教中創”，學生在課堂里“創中學”，課堂教學培育出的就是富有活力的精彩生命.

（二）高階思維

高階思維，簡單地說就是高水平思維，是指發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，包括分析性思維、抽象性思維、創造性思維和批判性思維.

二、指向高階思維培養的數學創生課堂構建

創生課堂是指以“生”（即“生動、生成、生長”）為本源，以“創”（即“創設、創新、創造”）為內核的課堂.數學創生課堂的本質是聚焦問題與創生，促進學生高階思維發展.在創生課堂教學中，教師通過創設現實情境、數學情境、科學情境，為學生提供參與性強、創造性高、實踐性強的學習環境，有意識地引導學生進行真正有意義的學習，即不斷地發現提出問題、分析解決問題、反思生成問題，讓學生的情感、思維和智慧行走在問題解決的主線上，從而充分發揮學生的想象力和創造力，發展學生的高階思維能力、創新能力和實踐能力，有效落實數學學科核心素養的培育.

在指向高階思維培養的數學創生課堂構建過程中，筆者形成了基于問題解決的數學創生課堂教學范式.在實施中，筆者始終以“生”為本：立足學生的最近發展區創設情境，充分調動學生的思維，使其積極參與到學習中以發現提出問題；引導學生通過自主、合作、探究等多種學習方式分析解決問題，關注知識的生長點構建新知，實現教學方式與學習方式的有效轉變；通過創造性的課堂學習活動，教師在課堂上創造性地教，學生在課堂上創造性地學，并通過反思生成問題，有效地激發思維，從而提高課堂教學效率.指向高階思維培養的數學創生課堂教學框架如圖1 所示（注：圖及下文中出現的“高思”指“高階思維”）.

圖1 指向高階思維培養的數學創生課堂教學框架

（一）創設、生動

此部分分為兩個環節.一是創設情境啟高思，即教師創設情境，幫助學生啟動高階思維發現問題，要求是創設情境時須做到精準教學，體現方向性.二是問題驅動激高思，即學生依據情境、提出問題，激發高階思維，要求是夯實基礎，做到心中有數，體現生動性.

（二）創新、生成

此部分分為兩個環節.一是主體活動構高思，即學生自主探究、分析問題，構建高階思維，要求是自主探究，做到心中有術，體現豐富性.二是合作互動拓高思，即師生合作構建、理解問題，拓展高階思維，要求是應用數學，做到心中有方，體現生成性.

（三）創造、生長

此部分分為兩個環節.一是智慧靈動創高思，即知識遷移應用、解決問題，創新高階思維，要求是融會貫通，做到心中有策，體現創新性.二是觸動反思固高思，即師生反思交流、生成問題，鞏固高階思維，要求是殊途同歸，做到一見如故，體現持久性.

以上六個環節分別指向不同的教師活動、學生活動和師生互動：縱向方面，挖掘教師教學活動的深刻性，不僅能提高學生的認知水平，而且有利于啟發學生的高階思維；橫向方面，能豐富課堂形式，增加師生交流溝通，進一步提高學生的思維能力.

三、指向高階思維培養的數學創生課堂實施

下面，筆者以高三復習微專題“函數的公切線”教學為例，對指向高階思維培養的數學創生課堂教學環節展開闡述.

（一）創設情境啟高思

“創設情境”，指教師創設與構建一個真實而具體的學習場景，引導學生進入更高層次的思維模式，由此幫助學生發現問題，更深入地理解問題，進而尋找到更有效的問題解決方案.在這個過程中，學生需要運用抽象分析、邏輯推理、創造性思維等高階思維能力，以應對復雜的問題和挑戰.創設的情境要能激發學生的想象力和創造力，幫助他們更好地應對現實生活中的各種挑戰.

【環節1】回眸高考，追蹤熱點——創設情境，做到精準教學，體現方向性

［例1］（2022 年高考數學全國Ⅰ卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程：_______.

［例2］（2022年高考數學全國甲卷文科第20 題）已知函數f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范圍.

設計說明：直接引用高考真題創設問題情境，可確保問題情境與教學目標、高考評價相一致.例1 要求學生多角度思考問題，學生可以根據自己的能力水平想到不同的解題路徑和方法，能夠較好地發展數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養.例2涉及利用導數研究函數性質的方法、判斷函數單調性、求函數極值點、求切線方程等問題，從多角度考查學生對導數公式和導數運算法則的掌握情況，推理論證能力和運算求解能力，以及對分類討論思想方法的理解與運用.由這兩例引導學生精準把握新高考熱點、重點、難點等考查方向，可使其發現、理解并領會命題者對公切線考查的命題意圖.

（二）問題驅動激高思

“問題驅動”，就是教師把問題作為學生學習的動力源，讓學生產生學習的欲望，從而全身心地投入解決問題的活動.教師在依托情境提出問題時，要注意把握好問題設置的難度和梯度，一定要在學生的最近發展區內提出問題.問題的提出應遵循以下三個原則.一是低起點原則.以“夯實基礎”為基，問題起于知識原點、背景材料、學生的認知障礙、自然現象等.二是邏輯鏈原則.提出的問題應構成一條邏輯線索，根據知識層次或方法設置問題，即知識線和方法線，問題之間必須存在邏輯關系，是一個邏輯鏈，體現相關性.三是梯度小原則.可比喻為盤山公路式，起點低、坡度小、路程長、目標達成度高［1］.

【環節2】問題驅動，激活思維——夯實基礎，做到心中有數，體現相關性

［例3］已知直線l是曲線y=ex-1 與y=lnx+1的公共切線，則l的方程為____.

解析：設直線l與曲線y=ex-1 相切于點P(a,ea-1)，與曲線y=lnx+1 相切于點Q(b,lnb+1)，則整理得(a-1)(ea-1)=0，解得a=1 或a=0.當a=1時，l的方程為y=ex-1；當a=0 時，l的方程為y=x.

方法規律：求兩函數的公切線.

（1）兩函數的公切線：如圖2，設直線y=kx+m分別與函數y=f(x),y=g(x)的圖象相切于點A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)) ，則k=

圖2

（2）切點相同的公切線：特別地，A,B重合為一點P(x0,y0)時，則f(x0)=g(x0),f '(x0)=g'(x0).

（3）求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線：曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是y-f(x0)=f '(x0)·(x-x0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線上求解.

設計說明：例3 由例1演變而來，將“兩圓”變成“兩曲線”，引導學生理解兩函數公切線定義，掌握求兩函數公切線的方法，厘清曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線等混淆點，從而達到夯實基礎、激活思維、體現相關性等目的.

（三）主體活動構高思

“主體活動”，強調學習是學生自己的事，學生必須經歷學習活動的主要過程，才能構建自己的知識與方法體系，并從中學會體驗、獲得能力.在教學中，教師要放開手腳，給學生充分的時間和廣闊的空間，讓學生真正成為活動的主人，做到心中有術，而不是提供淺層次沒有意義的假活動［2］.教師在活動中應起到指導和幫助的作用.活動形式最好能多種多樣，如討論、板演、推算、理解記憶、實驗、表達等，以體現豐富性.

【環節3】主體活動、構建數學——自主探究，做到心中有術，體現豐富性

［變式1］已知與g(x)=2x-x3+c的圖象有一條公切線，則c=_______.

解析：由公切線的斜率為2，與f(x)，g(x)的圖象分別相切于點即

方法規律：與公切線有關的求值問題：利用導數的幾何意義解題，關鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上或斜率相等知識，得到含參數的方程，同時要注意基本不等式、非負數等知識的綜合應用.

［變式2］若則函數y=ax2與y=lnx的公切線有（）

A.0條 B.1條C.2條 D.無數條

解析：設切線與曲線y=lnx相切于點所以曲線y=lnx在點(t,lnt)處的切線方程為即

由題意可得a≠0 且可得

令g(t)=t2-t2lnt，其中t＞0，則g'(t)=2t-(2tlnt+t)=t(1-2lnt).

當0 ＜t＜時，g'(t)＞0，函數g(t)單調遞增；當t＞時，g'(t)＜0，函數g(t)單調遞減.

圖3

方法規律：判斷公切線條數的方法：由切線與曲線關系得到關于切點坐標的函數或方程，通過零點存在定理確定函數零點個數或者構造兩函數，作出兩函數圖象確定交點個數，從而判斷公切線條數.

［變式3］若曲線C1：y=x2與曲線C2：y=存在公切線，則實數a的取值范圍為______.

解析：設切線與曲線C1，C2的切點分別為切線斜率有解構造函數直線y=4x-4與曲線相切時，設切點為(s,t)，則且即切點為(2,4)，a=的取值范圍是

方法規律：與公切線有關的求參數取值范圍：利用導數的幾何意義，構造參數關于切點橫坐標或切線斜率k的函數，轉化成函數的零點問題或兩函數的交點問題，利用函數的性質或圖象求解.

設計說明：通過變式1、2，讓學生對與公切線有關求參數值（范圍）以及判斷公切線條數等問題有更深的認識與理解；變式3，通過改變問題的條件與結論，來增強問題所涉知識的豐富性，發展學生分析問題求解的能力.

（四）合作互動拓高思

“合作互動”，指學生在學習活動中，既應突出獨立性和自主性，也要關注合作互動，以相互啟發，互通有無，實現智力共同體資源共享.在學生自己獨立解決比較困難時，教師可以讓學生之間進行交流或合作，必要時教師也可以參與其中，給學生提供幫助.該環節主要圍繞點、線、面三個維度來展開，包括兩個方面的互動：一是形式上的互動，包括師生互動如師生對話、辯論、答疑，生生互動如同桌互問互答、互為師生、互演角色；二是方式上的互動，包括思維互動、歸納總結、小組討論、互相解疑等.

【環節4】合作互動，提升素養——應用數學，做到心中有方，體現關聯性

［例4］（2022年高考數學全國甲卷文科第20題） 已知函數f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范圍.

解析：第（1）問有兩種分析思路.

思路1：由題設得f '(x)=3x2-1,g'(x)=2x?曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程為y=2x+2?g'(x)=2x=2，得x=1?(1,g(1))在切線上?1+a=4，得a=3.

思路2：由題設得曲線y=f(x) 在點(-1,f(-1)) 處的切線方程為y=2x+2 ?由題設得Δ=(-2)2-4(a-2)=0，解得a=3.

第（2）問有三種分析思路.

思路1：由曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線與曲線y=g(x)相切于點得x2=由得構造函數運用導數知識求出h(x)的最小值為-1?a的取值范圍是[-1,+∞).

思路2：由題設可得曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線由題設知與曲線y=g(x)相切得1)，以下同思路1.

思路3：設曲線y=g(x) 上切點為(x2,g(x2))?切線和y=消去x2?a=以下同思路1.

設計說明：第（1）問，給定曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線，將學生熟悉的知識點作為考查對象，面向的是大部分學生.第（2）問，對學生的思維和知識的綜合性、關聯性都提出了一定要求.解決問題時，需要綜合利用函數的特征、函數的單調性以及題干中給出的切線相同的條件，啟發學生多角度思考問題，構建解決問題的不同思路.在設計上，通過分步設問，逐步推進，涉及內容由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，能充分展示不同學生在理性思維深度、知識掌握牢固程度、運算求解嫻熟程度等方面的差異，對發展學生的邏輯推理能力、創新思維能力及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力都具有積極作用.

（五）智慧靈動創高思

“智慧靈動”，即學生運用所學知識靈活機智地解決問題.在這一過程中，教師針對不同問題可以通過設置變式、拓展、延伸等方式，引導學生主動感悟體驗、應用遷移、創新生成，構建具有一定操作意義的數學模型，體現創新性.

【環節5】智慧靈動，拓展思維——融會貫通，做到心中有策，體現創新性

［例5］如圖4，已知點P為函數f(x)=lnx圖象上的任意一點，點Q為圓上任意一點，則線段PQ的長度的最小值為_______.

圖4

解析：對于雙動點問題，處理的方法往往是需要尋找到一個定點將“雙動點問題”化歸為“單動點問題”.注意到圓y2=1 的圓心是固定的，于是要求|PQ|的最小值，只需求|PC|的最小值即可.如何求|PC|的最小值呢？

思路1：（導數法）設P(x0,lnx0)，則|PC|2=構造函數運用導數求其最小值.

思路2：（公切線法）容易判斷曲線y=lnx與圓C沒有公共點，于是可以將圓C的半徑逐漸增大到與曲線y=lnx恰好相切于點P，切線為l，當PC⊥l時，|PC|最小.此時，曲線y=lnx在點P處的切線也是與圓C的切線.

設P(x0,lnx0)，則即求得x0=e，所以P(e,1).

［變式］（2023 年安徽等四省聯考第14題） 若P,Q分別是拋物線x2=y與圓(x-3)2+y2=1 上的點，則|PQ|的最小值為______.

設計說明：例5 屬于雙動點求最值問題，解決的方法有兩種.方法1 是通性通法，設點建立函數關系，再運用導數等知識求解，思路清晰但運算比較煩瑣、用時過多，以此來解填空題或選擇題有點得不償失.方法2用運動的觀點來看問題，利用兩曲線的公共切線知識來解決，非常簡單快捷.在解決過程中，根據學生思維與能力差異，合理引導學生融會貫通、應用遷移所學知識解決問題，體現創新性，可發展學生的批判性思維和模型思維.

（六）反思觸動固高思

“反思觸動”，包含兩個層面.一是對于學生來說，要通過反思總結出一般性的規律并評價生成.如果學生在反思的過程中能提出新問題（生成性問題），那是更高的境界，表明學生的批判性思維已經得到發展.二是對于教師來說，要對自己的課堂教學進行觸達心底的反思.如果課堂教學能夠給教師留下刻骨銘心的感受與體會，那么教師就會更有動力去改進教學.

【環節6】反思觸動，生成問題——殊途同歸，做到一見如故，體現持久性

［課堂小結］通過這節課的學習，談談你有哪些收獲，以及還存在哪些困惑.

設計說明：以課堂小結的形式引導學生根據個性、素養差異，對所學知識進行深入的歸納總結、反思交流、思維碰撞，使其在思想上、心靈深處產生觸動，可不斷生成新問題，體現持久性.

四、結語

指向高階思維培養的數學創生課堂是以“學”為本的課堂，并以問題解決為主線.在課堂教學過程中，教師既要充分關注學生知識的生長點，又要引導學生把已有知識儲備作為促進數學高階思維生成的橋梁.聚焦問題解決的課堂教學，其核心是調動全體學生主動參與真正有意義的學習全過程.那么，何謂真正有意義的學習？李鐵安在北京師范大學數學學院數學建模教育中心江蘇分中心成立儀式上說：“真正有意義的學習，都可以歸結為不斷發現提出問題、分析解決問題的過程，沒有讓學生情感和智慧行走在解決問題的主線上的學習過程不是真正有意義的學習.”科學始于問題，數學與“問題”有著天然的、密切不可分割的聯系.因此，數學課堂教學必須讓學生經歷有意義的學習過程，必須讓學生經歷不斷發現提出問題和分析解決問題的整個學習過程，促進學生的高階思維發展，從而落實數學學科核心素養的培育.