極點(diǎn)極線視域下圓錐曲線試題的應(yīng)用探索

福建省泉州市晉江市紫峰中學(xué)(362200)曾曉麗

定義1(極點(diǎn), 極線) 若圓錐曲線C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,已知點(diǎn)P(x0,y0)(非中心),直線,則稱點(diǎn)P(x0,y0)是直線l關(guān)于圓錐曲線C的極點(diǎn),直線l稱為P點(diǎn)關(guān)于曲線C的極線.

性質(zhì)1若P在圓錐曲線C上,則P關(guān)于C的極線即C為在P處的切線.

性質(zhì)2(配極原理)關(guān)于圓錐曲線C,若P在Q的極線上,則Q在P的極線上,并稱P,Q關(guān)于C調(diào)和共軛.

性質(zhì)3(極線即切點(diǎn)弦)過圓錐曲線C外的一點(diǎn)P作PA,PB切C于A,B兩點(diǎn),則AB為P關(guān)于C的極線.

定義2(調(diào)和點(diǎn)列)若直線l上四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D滿足,則A,B,C,D是一組調(diào)和點(diǎn)列.

定義3(調(diào)和線束)四條直線l1,l2,l3,l4相交于一點(diǎn),記直線li,lj的夾角為αij,若,則l1,l2,l3,l4是一簇調(diào)和線束.

性質(zhì)4(調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束的轉(zhuǎn)換) 若直線上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D, 直線外有一點(diǎn)P, 若A,C;B,D調(diào)和, 則PA,PC;PB,PD調(diào)和;反之也成立.

性質(zhì)5(極點(diǎn)極線與調(diào)和點(diǎn)列的轉(zhuǎn)換)圓錐曲線C上有A,B兩點(diǎn),若P,Q;A,B是調(diào)和點(diǎn)列,則P,Q關(guān)于C調(diào)和共軛.

即證P,Q關(guān)于C調(diào)和共軛.

引理若A1,A2;B1,B2在圓錐曲線C上,A1B1∩A2B2=P,A1B2∩A2B1=Q,則P,Q調(diào)和共軛.

證明在A1B1上取Q1P使得A1,B1;P,Q1調(diào)和,由性質(zhì)5 有Q1在P的極線上.設(shè)QQ1∩A2B2=Q2, 由QA1,QB1;QP,QQ1調(diào)和, 有B2,A2;P,Q2調(diào)和, 故Q2在P的極線上.于是Q1Q2為P的極線,而Q∈Q1Q2,故Q在P的極線上,即P,Q關(guān)于曲線C調(diào)和共軛.

性質(zhì)6(平行線被調(diào)和線束平分)l1,l3;l2,l4是調(diào)和線束,若l//l1交l2,l3,l4于A,B,C,則B為A,C中點(diǎn).

證明設(shè)線束交于P點(diǎn),則

故AB=BC.即證B為A,C中點(diǎn).

例1(2023 年高考乙卷理科第20 題) 已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A(-2,0)在C上.

(1)求C的方程;

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明: 線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

解(1)由題意b= 2,得知:,從而a=3,所以曲線C的方程為:.

(2) 證明: 令B(-2,3), 如圖1, 在線段PQ上取一點(diǎn)E使得, 即B,E;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列,又P,Q是橢圓C上的點(diǎn), 根據(jù)性質(zhì)5可知:B,E關(guān)于橢圓C調(diào)和共軛,所以點(diǎn)E在點(diǎn)B的極線上,點(diǎn)B的極線l為:.又因?yàn)锳(-2,0),所以點(diǎn)A也在極線l上,即直線AE就是極線l.因?yàn)锽,E;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列,所以AB,AE;AP,AQ為調(diào)和線束.由題可知: 直線AB:x= -2, 所以AB//y軸, 又因?yàn)橹本€AP,AE,AQ分別與y軸交于點(diǎn)M,D,N,由性質(zhì)6 可知:D為MN的中點(diǎn).由于直線AE為定直線,所以它與y軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),即D(0,3).

圖1

例2(2023 年高考新課標(biāo)II 卷第21 題)雙曲線C中心為原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,離心率為.

(1)求C的方程;

(2)記C的左,右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過點(diǎn)(-4,0)的直線C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明P在定直線上.

解(1)由題意,則a=2,b2=16,雙曲線為.

(2)證明令Q(-4,0),如圖2, 在MN上取P1?=Q使得M,N;Q,P1調(diào)和,由性質(zhì)5 有P1在Q的極線上,由題知點(diǎn)Q的極線l為:x= -1, 并且得到調(diào)和線束PM,PN;PQ,PP1, 設(shè)PP1∩A1A2=P2,則直線A1A2與PM,PN,PQ,PP1分別交于點(diǎn)A1,A2,Q,P2, 即A1,A2;Q,P2為調(diào)和點(diǎn)列, 又A1,A2在雙曲線C上,所以Q,P2關(guān)于雙曲線C調(diào)和共軛,即P2在Q的極線上, 所以, 直線P1P2就是極線l, 又因?yàn)镻∈P1P2,所以點(diǎn)P在極線l上,即x=-1 上.

圖2

圖3-1

圖3-2

圖4

例3(福建省2023 屆適應(yīng)性試卷第21 題) 已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過點(diǎn)A2(1,0)且與圓A1交于點(diǎn)B,C,BC中點(diǎn)為D,過A2C中點(diǎn)E且平行于A1D的直線交A1C于點(diǎn)P,記P的軌跡為Γ.

(1)求Γ 的方程;

(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于A1,A2的對(duì)稱點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)A1,A2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為C1,C2,過A1的直線l2與Γ 交于點(diǎn)M,N,直線B1M,B2N相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)從下列結(jié)論中,選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.

①?QB1C1的面積是定值; ②?QB1B2的面積是定值; ③?QC1C2的面積是定值.

解(1) 由題意得,A1(-1,0),A2(1,0).因?yàn)镈為BC中點(diǎn), 所以A1D⊥BC, 即A1D⊥A2C, 又PE//A1D, 所以PE⊥A2C,又E為A2C的中點(diǎn),所以|PA2| = |PC|,所以|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|,所以點(diǎn)P的軌跡Γ 是以A1,A2為焦點(diǎn)的橢圓(左、右頂點(diǎn)除外).設(shè),其中a>b>0,a2-b2=c2.則2a= 4,a= 2,c= 1,.故.

(2)結(jié)論③正確,下證?QC1C2面積為定值.

證明因?yàn)锽1,B2,M,N都在橢圓Γ 上, 由題易知B1B2∩MN=A1,B1M∩B2N=Q,則A1,Q關(guān)于橢圓Γ調(diào)和共軛,即Q在點(diǎn)A1的極線上,又因?yàn)闃O點(diǎn)A1的極線為x= -4,所以點(diǎn)Q在直線x= -4 上.所以點(diǎn)Q到C1C2的距離d=4,則

例4(2023 年5 月福州市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A,O為原點(diǎn),點(diǎn)P(1,1)在C的漸近線上,?PAO的面積為.

(1)求C的方程;

(2)過點(diǎn)P作直線l交C于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)N作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)G,H為NG的中點(diǎn), 證明: 直線AH的斜率為定值.

解(1) 因?yàn)镻(1,1) 在C的漸近線上, 所以a=b,因?yàn)锳(a,0),所以?PAO的面積為,解得a=1,所以b=1,所以C的方程為x2-y2=1.

(2) 在線段MN上取點(diǎn)Q使得,即M,N;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列, 又M,N是曲線C上的點(diǎn), 根據(jù)性質(zhì)5 可知:P,Q關(guān)于曲線C調(diào)和共軛, 設(shè)Q(xQ,yQ),P(xP,yP)則有xPxQ-yPyQ= 1,又P(1,1)代入有xQ-yQ= 1.因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)的極線l1:x-y= 1,所以點(diǎn)Q在極線l1上,又因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0),所以點(diǎn)A也在極線l1上,即直線AQ就是極線l1.因?yàn)镸,N;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列,則AM,AN;AP,AQ為調(diào)和線束.又因?yàn)镹H⊥x軸,由題易知直線AP為:x= 1, 所以NH//AP, 并且直線NH與直線AN,AQ,AM分別交于點(diǎn)N,H,G,則由性質(zhì)6 可知:H即為線段NG的中點(diǎn).即中點(diǎn)H在直線AQ上,所以直線AH即為極線l1:y=x-1,所以直線AH的斜率為1.

例5(2022 年高考全國(guó)乙卷理科第20 題) 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 對(duì)稱軸為x軸、y軸, 且過A(0,-2),兩點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn), 過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T, 點(diǎn)H滿足.證明: 直線HN過定點(diǎn).

解(1) 設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2= 1, 過A(0,-2),,則,解得,所以橢圓E的方程為:.

(2)定點(diǎn)為(0,-2),證明如下:

證明在線段MN上取點(diǎn)Q使得,即M,N;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列, 又M,N是橢圓E上的點(diǎn), 根據(jù)性質(zhì)5 可知:P,Q關(guān)于橢圓E調(diào)和共軛.設(shè)Q(xQ,yQ),P(xP,yP) 則有, 又P(1,-2)代入有,而直線,所以Q∈AB, 即Q為AB與MN的交點(diǎn).如圖5, 可知M,N;P,Q為調(diào)和點(diǎn)列,則AM,AN;AP,AQ為調(diào)和線束.

圖5

又根據(jù)題意過M作MT//x軸,且直線AP:y= -2,所以MT//AP, 直線MT分別與直線AM,AQ,AN交于點(diǎn)M,T,H1, 根據(jù)性質(zhì)6 可知T為MH1的中點(diǎn).又因?yàn)?所以T為MH的中點(diǎn),即H與H1重合,所以A,H,N三點(diǎn)共線,即直線HN必過定點(diǎn)A(0,-2).

極點(diǎn)極線的問題若只是以高中的角度來看并不是太復(fù)雜,在高中解析幾何中即可用來求切線、切點(diǎn)弦方程,易學(xué)易懂.還可用來確定割線交點(diǎn)的位置,在處理一些動(dòng)直線過定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)在定直線上時(shí)很容易找到答案,極點(diǎn)極線的應(yīng)用在高考中出現(xiàn)頻率較高,此處只是將極點(diǎn)極線的性質(zhì)直接拿來使用,更多的性質(zhì)以及性質(zhì)的證明在大學(xué)高等幾何中會(huì)學(xué)到,此處無需深究.