一道希望聯(lián)盟夏令營(yíng)試題的一般性結(jié)論的研究

陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075)呂二動(dòng)

題目1(2022 年中國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)盟夏令營(yíng)試題) 已知?ABC為銳角三角形,A,B,C為其三個(gè)內(nèi)角, 則2 cotA+3 cotB+4 cotC的最小值為_(kāi)___.

筆者是第二次看到此題,與第一次看到的題目有所不同,只是把原來(lái)設(shè)定的非直角三角形改為銳角三角形.其解法沒(méi)有本質(zhì)變化,若將此問(wèn)題的一般性結(jié)論的解法總結(jié)出來(lái),會(huì)對(duì)讀者有一定的幫助!

一、試題推廣

題目1 的一般性結(jié)論已知x,y,z> 0, 且2(xy+yz+zx) >x2+y2+z2,A,B,C為其三個(gè)內(nèi)角, 則xcotA+ycotB+zcotC的最小值為

二、類(lèi)似題目

引理對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,z, 在?ABC中, 有x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.

證明因?yàn)锳+B+C=π,所以

故x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC成立.

以下三個(gè)問(wèn)題都根據(jù)引理求解,限于篇幅,留給有興趣的讀者.

1.已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且ab+bc+ca=1,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,z有

2.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z, 且xyz> 0, 則在?ABC中有.

3.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z,且xyz>0,則在?ABC中有

本文給筆者的啟示是: 數(shù)學(xué)問(wèn)題要善于總結(jié)和思考,更需要數(shù)學(xué)愛(ài)好者靜下來(lái),沉下來(lái),動(dòng)起來(lái).成功從來(lái)不是一蹴而就的,需要我們?cè)诓粩嗟靥剿髋c實(shí)踐中,深耕前行.只有不斷探究,才能在數(shù)學(xué)研究這條道路上走的更長(zhǎng)遠(yuǎn).