從期望與方差的角度談高考英語的“七選五”題

廣東省佛山市樂從中學(528315)林國紅

一、研究的源由

高考英語中有一類叫“七選五”的試題,該題一般出現在試卷閱讀部分的第二節,是一篇缺少5 個句子的文章,提供7個選項(A,B,C,D,E,F,G),要求學生根據文章的結構、內容,從文后的7 個選項中選出5 個最佳選項填入文中相應空白處,使文章完整、連貫通順.即“七選五”試題共有5 道選擇題,給出7 個選項,其中有2 個多余選項(干擾選項),考生從中選擇5 項依次填入每道題中,每題只有一個正確選項,每選對一題得2.5 分.

若一位同學的英語水平不好,在做“七選五”題時,若通過蒙題的方式答題,能做對多少題? 平均得分又是多少?

注所謂的“蒙”題,是指這篇文章你完全看不懂(或者不看文章內容),5 個空白處隨便填入一個選項.

二、第一種蒙題方式的探究

“七選五”試題中,每題只有一個正確選項,若不考慮同一選項被多次選擇的情況(即選項不能重復),對5 道題全部隨機作答,記答對的題數為X0,求X0的分布列與數學期望.

文[1]對此問題進行深入的探究,得到X0的分布列.

0 1 2 3 4 5 P 1214 2520 905 2520 320 2520 70 2520 10 2520 1 2520

并求得X0的數學期望:

另外,可求得X0的方差:

三、第二種蒙題方式的探究

“七選五”試題中,每題只有一個正確選項,若同一選項可被多次選擇,即每個空的選項可以部分相同,也可以全部相同,此時對5 道題全部隨機作答,記答對的題數為X,求X的分布列,數學期望與方差.

下面的討論約定“七選五”試題的正確答案為ABCDE,記? = {A,B,C,D,E,F,G},?1= {A,B,C,D,E},?2={G,F}.

3.1 選項全部相同(即MMMMM 型,M ∈?)

記答對的題數為X1, 則X1∈{0,1}.顯然, 隨機變量X1服從兩點分布,其分布列為:

X1 0 1__P 2/7 5/7

所以X1的數學期望為.方差為.

3.2 選項部分相同

1.MMMMN型,M,N∈?

記答對的題數為X2, 則X2∈ {0,1,2}.因為是MMMMN型, 所以只需從7 個選項中選出2 項, 并按一定的順序填入5 個空中,共有種填法.

(1)當X2=0 時,有4 種情形:

①若M,N∈?2(如FFFFG型),有2 種選法,此時5個空中選4 個空填F,1 個空填G,則有種填法;

②若M∈?2,N∈?1(如FFFFA型),有2×5 種選法,此時只需第一個空填F,在剩余的4 個空選3 個填F,1個空填A,則有種填法;

③若M∈?1,N∈?2(如AAAAF型),有2×5 種選法, 此時只需第一個空填F, 在剩余的4 個空全填A, 則有種填法;

④若M,N∈?1(如AAAAB型), 有5 × 4 種選法,此時只需第一個空填B, 在剩余的4 個空全填A, 則有種填法.所以, 當X2= 0 時, 共有10+40+10+20=80 種填法.

(2)當X2=1 時,有3 種情形:

①若M∈?2,N∈?1(如FFFFA型),有2×5 種選法, 此時只需第一個空填A, 在剩余的4 個空全填F, 則有種填法;

②若M∈?1,N∈?2(如AAAAF型),有2×5 種選法,此時只需第一個空填A,在剩余的4 個空選3 個填A,1個空填F,則有種填法;

③若M,N∈?1(如AAAAB型),有5×4 種選法,此時第一個與第二個空只能填A,在剩余的3 個空選2 個填A,1 個空填B,則有種填法.所以,當X2= 1時,共有40+10+60=110 種填法.

(3) 當X2= 2 時, 只有1 種情形:M,N∈ ?1(如AAAAB型), 有5 × 4 種選法, 此時第一個需填A, 第二個空需填B,在剩余的3 個空全填A,則有種填法.從而可得X2的分布列為:

X2 0 1 2__P 80_________________210 110 210___20 210_

評注后述各種類型的解答與本類型的思路一致,限于篇幅,只給出最后的結果,不再分析詳細的求解過程.

2.MMMNN型,M,N∈?

記答對的題數為X3, 則X3∈{0,1,2}, 可得其分布列為:

X3 0 1 2__P 180_______420 180 420___60 420_

3.MMMNO型,M,N,O∈?

記答對的題數為X4,則X4∈{0,1,2,3},可得其分布列為:

X4 0 1 2 3 P 920 2100 890 2100 260 2100 30 2100

4.MMNNO型,M,N,O∈?

記答對的題數為X5,則X5∈{0,1,2,3},可得其分布列為:

X5 0 1 2 3 P 1440 3150 1230 3150 420 3150 60 3150

5.MMNOP型,M,N,O,P∈?

記答對的題數為X6,則X6∈{0,1,2,3,4},可得其分布列為:

X6 0 1 2 3 4 P 3940 8400 3160 8400 1080 8400 200 8400 20 8400

四、蒙題的期望與方差分析

4.1 期望分析

顯然E(X1) =E(X2) =E(X3) =E(X4) =E(X5) =E(X6) =E(X0),也就是說不管用哪一種方式蒙題,期望做對的個數都是一樣的! 這樣的結果是巧合嗎?

事實上, 這個結果并不是巧合, 原因如下: 記事件Ai(i= 1,2,3,4,5)表示第i個空答對,則.由全概率公式,得:

記答對的題數為X, 則X服從二項分布, 即, 于是, 所以采用蒙題方式答題, 期望做對的個數為,和有沒有重復選項沒有關系.

4.2 方差分析

五、蒙題方式答題的一些結論

通過兩種蒙題方式的分析,可以知道:

(2)高考英語“七選五”題型的設置是科學的,也是公平的,保證用蒙題方式答題的期望是相同的,能有效防止通過蒙題的方式得到高分;

(3)英語的“七選五”題采用蒙題的方式答題,其期望得分是非常低的,所以蒙題是非常不明智的舉措,如果你不想落入這種窘況,那就只有好好學習了!

(4)如果英語水平不好,考試時確實看不懂文章的意思,只能用蒙題方式答題.從方差的角度看: 如果想保底獲得一點分數,可以填寫5 個選項全部相同,這樣最保險;如果想博取更高的分數,則可以填寫5 個選項均不相同,在運氣好的情況下,有可能得滿分,但是“高回報意味著高風險”,因為在選項不能重復情形下,全蒙錯的概率為,即有接近一半的概率得0 分,這是各類蒙題方式中,全錯概率最高的.

六、進一步思考

在英語“七選五”題中,若考生能正確答對某題(或某幾題),剩余的題目完全不懂,采用蒙題方式進行答題,那么答對題數的期望與方差又如何計算?

這類情況可以仿照前述的方法進行分析,留給感興趣的讀者自行研究.