一道高考試題的背景簡介

■王洪民

2019年高考數學全國Ⅲ卷第21題第(1)小題如下：

已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B。證明：直線AB過定點。

這道怪怪的試題的背景涉及圓錐曲線的極點極線問題，同學們只有了解命題背景，才能對試題的認識更加透徹，下面對極點極線作簡單介紹。

一、極點極線的代數定義

對于圓錐曲線C：Ax2+Bxy+Cy2+D x+Ey+F=0，已知點P(x0，y0)(非曲線C的中心)及直線l：，我們稱點P為直線l關于曲線C的極點，直線l為點P關于曲線C的極線。

由此定義可知，圓錐曲線的焦點和相應的準線就是一對極點極線。如曲線C：y=，焦點和準線就是關于曲線C的一對極點極線。

二、極點極線的幾何性質

設點P和直線l是圓錐曲線C的一對極點和極線：

(1)若極點P在曲線C上，則曲線C在點P處的切線就是極線l;

(2)若過極點P可作曲線C的兩條切線，A，B為切點，則直線AB就是極線l;

(3)若過極點P的任意直線交曲線C于A，B兩點，則曲線C在A，B兩點處的切線的交點Q一定在極線l上;

(4)若過極線l上任意一點Q可作曲線C的兩條切線，切點為A，B，則直線AB過極點P。

證明：設點P(x0，y0)，直線l：Ax0x+F=0。

(1)因為P在C上，所以。對C：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，利用隱函數求導得，故在點P處的切線方程為x0)，整理得，所以曲線C在點P處的切線就是極線。

(2)設點A(x1，y1)，由性質(1)可知直線。因為直線P A過點P(x0，y0)，所以。設點B(x2，y2)，同理可得。故直線AB的方程為，這就是極線l。

(3)設點Q(m，n)。由性質(2)可知直線AB的方程為。因為直線AB過點P(x0，y0)，所以，可見點Q在極線l上。

(4)設點Q(m，n)。由性質(2)知直線AB的方程為。因為Q是極線l上任一點，所以，可見直線AB過極點P(x0，y0)。

對于2019年高考數學全國Ⅲ卷第21題第(1)小題，因為焦點與準線y=是曲線C的一對極點極線，點D在準線上，由性質(4)易知直線AB過定點。

極點極線的定義主要適用于圓錐曲線，但并不是只適用于圓錐曲線，對別的曲線(例如圓)也同樣適用。由極點極線的定義及幾何性質易證點P(x0，y0)關于圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2的極線l方程是(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。

例如，(2013年高考山東卷數學理第9題)過點(3，1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為( )。

A.2x+y-3=0

B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0

顯然直線AB的方程就是點(3，1)關于圓的極線方程(3-1)(x-1)+y=1，即2x+y-3=0。故選A。

極點極線有著豐富的性質和獨到的應用，教材中直線與圓錐曲線的問題幾乎都可以用極點極線解決。極點極線在高考試題中也屢見不鮮，是高考解析幾何試題的題源之一。