廣義偽連續(xù)下的多主從博弈弱Pareto-Nash 均衡的穩(wěn)定性研究

殷偉東

（重慶工商大學數學與統計學院,重慶 400067）

1 綜述

廣義Nash問題提供了一個非合作博弈的數學模型，在這種博弈中，每個參與者都沒有比對手更大的領導地位。當一個或多個參與者在游戲中扮演領導者的角色時，就會形成一個多主從博弈，其中最簡單的是由一個領導者和多個跟隨者組成的Stackelberg博弈。由于多主從博弈可以表述為Nash問題和Stackelberg博弈的推廣，它已經被許多學者深入研究[1-4]，并將其應用于電力市場、經濟學、工程等方面。例如Pang等[5]首先對多主從博弈進行了研究，研究了一類可退化為準變分不等式的多主從博弈。俞建[6-7]的研究已經確立了存在多主從博弈平衡點，并且也驗證了一主和二主多從博弈中存在Nash均衡點。另外，楊哲等[8]也對多主從博弈的均衡點是否存在進行了探討。鄧喜才等[9]證明了一類多主從博弈存在均衡點。Yu等[10]研究了具有單值目標函數的兩主多從博弈，并得到了局部凸拓撲空間中的一個均衡存在定理。Basar等[11]提供了兩人與多人主從博弈描述，并且展示了主從博弈均衡點的相關成果。Leyffer等[12]通過求解非線性優(yōu)化問題得到了多主多從博弈的均衡點。Outrata[13]通過將多主從博弈轉化為均衡問題，討論了一個策略向量成為均衡問題的非合作解的必要條件。Sherali[14]給出了具有特式結構的多主從博弈弱Pareto-Nash均衡存在性和唯一性的結果。Hu等[15]研究了一類可表述為變分不等式的多主從博弈，并得到了一些存在性的結果。Ding[16]引入并研究了一類更一般的多主從博弈模型，并在非緊FC-空間中建立了一些均衡存在定理。Morgan等[17]在他們的論文中，引入了偽連續(xù)性概念，并確證了在具體環(huán)境中，給定玩家的支付函數是偽連續(xù)性時，至少會存在一個Nash均衡點。蔡江華等[18]率先公開在偽連續(xù)性狀況下的主從博弈Nash均衡點存在性的定理，同時他們也運用非線性問題的本質連通區(qū)存在性來研究主從博弈的Nash均衡點的本質連通區(qū)。Jia等[19]的研究中，當玩家支付函數是連續(xù)的時候，對廣義多目標主從博弈的弱Pareto-Nash均衡存在性進行了闡述，并且深入研究了其穩(wěn)定性。

受到之前研究的啟發(fā)，在廣義多目標多主體多從體博弈問題存在一個弱Pareto-Nash均衡點的基礎上，本文降低了對于參與者支付函數的連續(xù)性需求，借鑒了Zeng[20]研究中關于廣義上偽連續(xù)的解釋，基于局中人的支付函數在廣義上呈現偽連續(xù)性和上偽連續(xù)性這一先決條件，構建了廣義多目標多主從博弈的弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，再根據本質解的定義，對廣義多主體-多從體博弈下弱Pareto-Nash均衡解的穩(wěn)定性進行分析。

2 廣義多目標多主體-多從體博弈

2.1 廣義多目標多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡的模型

多個領導者與跟隨者之間的主從博弈可以按照以下方法進行說明：

領導者和跟隨者先后采取策略，其決定過程為領導者制定決策并通告跟隨者。在跟隨者掌握領導者的決定x∈X后，跟隨者會再度執(zhí)行一輪參數廣義限制多目標博弈，通過含有領導者策略參數的廣義約束多目標博弈模型來構建追隨者的均衡解，設K:Xi×X-i→2Y代表追隨者的參數廣義約束多目標博弈的弱Pareto-Nash均衡解集，它表示對于任意的x=(xi,x-i)∈X，K(xi,x-i)代表跟隨者的參數廣義約束多目標博弈的弱Pareto-Nash均衡解集。對任意的y?∈K(xi,x-i)，都有，使得對于任意的j∈J，都存在，對于所有的，都滿足如下的性質：

2.2 廣義多目標多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡點的存在性和預備知識

定義2.1[20]設是定義了序關系的拓撲向量空間，其中int≠?，Ε是一個拓撲向量空間X的一個非空凸子集，f:E→Rl是一個向量值映射。

（2）如果(-f)在z0處上偽連續(xù)，則稱f在z0∈Rl處下偽連續(xù)。如果f在每一處z0∈Rl都是下偽連續(xù)，則稱f在Rl上下偽連續(xù)。

（3）如果f既是上偽連續(xù)又是下偽連續(xù)，則稱f是偽連續(xù)。

引理2.1[20]設f是定義在Rl上的一個擴展實值函數。那么，下面這些陳述是等價的。

（1）f在Rl上是上偽連續(xù)。

（2）L={(z,λ) ∈ Rl×f(Rl∣)f(z) ≥λ}在Rl×f(Rl)是閉的。

（3）對所有的λ∈f(Rl)，Uλ={z∈R∣lf(z) ≥λ}是閉的。

此外，上偽連續(xù)性保證了在緊集上存在最大點。

引理2.2[20]設X為一個Hausdorff空間，且X是局部凸的。E是X中的一個緊子集，且E是非空的和具有凸性。設 : 2E F E→ 具有上半連續(xù)性，且對任意的x∈E，F(x) 是非空的，同時F(x) 具有閉性和凸性。那么F在Ε中有一個不動點。

引理2.3[20]假設X和Y是兩個局部凸的Hausdorff空間和Y是緊的，則集值映射 : 2Y F X→ 有緊值且上半連續(xù)當且僅當它是一個閉映射。

3 廣義多目標多主從博弈的通有穩(wěn)定性

下面分情況討論：

第一種情況：

同理可以得到集值映射Γ上半連續(xù)。

注3.1：蔡江華等[18]的研究中得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，定理3.1得到了多主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，所以本文與蔡江華等[18]所考慮的模型不同。蔡江華等[18]考慮的是單目標單主多從博弈，本文廣義多目標多主從博弈考慮的是具有多個目標的博弈問題，這種廣義形式允許玩家追求多個不同的目標，而不僅限于單一的優(yōu)化目標。

注3.2：Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（1）中，局中人支付函數是連續(xù)的。本文定理3.2的條件（1）中，局中人支付函數是廣義上偽連續(xù)的，所以本文考慮的局中人支付函數連續(xù)的條件更弱。Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（2）中，考慮的是映射Φi似-擬凹，本文定理3.2的條件（2）中，考慮的是映射iΦ-廣義擬凸，所以本文考慮的映射iΦ的凸性條件更弱。所以本文推廣了Jia等[19]的研究中的相應結果。

定義3.1 設ζ∈?。（1）如果對任意ε>0，都存在δ>0，使得對任意ζ′∈，ρ(ζ,ζ′)<δ，存在‖x-x′‖<ε，使得x′∈W(ζ′)，那么x∈W(ζ)是本質的。（2）如果每一個x∈W(ζ)都是本質的，那么ζ是本質的。

引理3.2[19]假設Ζ是一個度量空間，X是一個具有完備性的度量空間和 : 2Z W X→ 是一個上半連續(xù)映射。那么在X中可以找到一個稠密且剩余的子集Q，確保W在Q上保持下半連續(xù)性。

注3.3：從上述定義可以知道，ζ∈?是本質的集值映射W在ζ∈?處是下半連續(xù)的。

定理3.3?中有一個稠密且剩余的子集Q，使得對于每一個ζ∈?都是本質的。

證明 通過引理3.1，引理3.2和注3.3，可以直接得到定理3.3。

4 結論

因為廣義多目標多主從博弈允許參與者不局限于單一的優(yōu)化目標，所以這種博弈被廣泛應用于經濟學、管理學等領域。在局中人支付函數偽連續(xù)的條件下，蔡江華等[18]已經得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性。因為在廣義多目標多主從博弈中，允許玩家追求多個不同的目標，所以本文利用局中人支付函數廣義偽連續(xù)的條件，將僅限于單一的優(yōu)化目標的單主多從博弈推廣至廣義多目標多主從博弈中，并得到了廣義多目標多主從博弈解映射的上半連續(xù)性。然后，在映射Φi似-擬凹和參與者支付函數具有連續(xù)性的條件下，Jia等[19]已經證實了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，本文的創(chuàng)新點在于，不僅優(yōu)化了參與者支付函數連續(xù)的條件，還降低了映射iΦ的凹性的約束條件，利用參與者支付函數更弱的廣義上偽連續(xù)性和映射iΦ-廣義擬凸的條件，得到了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，在一定程度上拓展了Jia等[19]的研究成果。最后，基于廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性以及本質解的定義，得到了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡的穩(wěn)定性。