古典時期藝術秩序中的比例關系①

王小檸（南京曉莊學院 美術學院，江蘇 南京 211171）

在古典哲學中，柏拉圖提出“宇宙進化論”，由此衍生出規則性“真理圖形”，進而引入比例理論。這些圖形蘊含了數字的奧秘，圖形本身只是影像，數學法則才是其背后的根本依據。藝術中的數學規律一直與視覺美相聯系，起初它并不被看成是一種視覺現象，而是更為深奧的外在符號，是與世界和諧一致的美的表現。數字關系帶來的審美愉悅，使藝術有了秩序的需要。以數學的方式探求自然已被接納，數學秩序是一種隱匿的和諧，不完美地顯現于物象中。我們需要秩序，因為它既是人類認識和把握世界的法則，也存在于自然規律之中，這種“秩序”是一種恒久不變的規則。已經論證的數比關系被認為最符合美的需求，這種數字演繹為藝術家的創作活動提供了一種秩序，使繪畫、雕塑、建筑具有科學依據并體現“和諧美”。

一、古典哲學中的比例關系

柏拉圖的宇宙進化論從世界依據的最初原理出發，對待世界的態度來自創造者或造物主自己的理想形式，為了使世界完美，上帝認為它必須具有理智。《蒂邁歐篇》在現代科學崛起之前就試圖為這個世界做出最為統一和最具想象力的解釋，其中數學觀念一直活躍。[1]220數不再籠罩于神秘之中，相反地，它被看作是理智世界的中心，已經成為找到一切真理和可理解性的線索。

柏拉圖引入比例理論，試圖將來自混沌世界的最初元素加以區分（首先是火與土），他把所有物質都想象成由五種規則體建構起來的圖形，即五種等邊、等面甚至等角的實體。②柏拉圖提出四元素（水、火、土、氣）是原始混沌中力量的存在，沒有任何明確的形式。每一個元素對應五種正多面體中的一個，正四面體、正八面體、正立方體、正十二面體、正二十面體，這些正多邊體被賦予了四大元素的意義：正立方體代表土，正四面體代表火，正八面體代表氣，正二十面體代表水，正十二面體作為封閉天穹的象征。四種元素的劃分，卻有五種規則形體，如何相互對應？柏拉圖對“整體” 未作過多說明，他提出了“以太” 作為第五種元素。色諾克拉底（Xenocrates）在柏拉圖傳記中提及此五種元素與五種形體。要把兩種事物令人滿意地結合起來，不能沒有第三種事物，必須要有某種媒介將它們連接。比例的作用就在于把事物結合起來，兩種事物（外項）被第三種（中項）統一。古代數學家尼科馬楚斯（Nicomachus）和帕普斯（Pappus）各提出十種中項，九種是相同的，總共為十一種。其中有四種需詳加思索：等比中項、等差中項、調和中項和反調和中項。柏拉圖認為最好的媒介物選擇是等比中項。從源自統一體的雙倍和三倍比例的正方形和立方體中發現了將其引向兩類幾何級數的數列：1、2、4、8 與1、3、9、27，它們包含了宏觀宇宙與微觀宇宙中的內在節奏。每一個的首項皆為1，一個通過乘以2 所得，一個通過乘以3 所得。柏拉圖認為7 個數對應7 種行星，且1+2+3+4+9+8=27，27 作為6 個數字之和使該數列圓滿。[2]219-260

依照畢達哥拉斯音樂和諧理論對這些數字進行調節，他在每兩項中間插入一個調和中項和一個等差中項。二倍數列與其接近的外項數列中是三分之四，在音樂中是一個四度音程；在三倍數列中是二分之三，在音樂中是一個五度音程。調和中項與等差中項之間，在二倍數列中是二分之三乘以四分之三，是一個全音程；三倍數列中是一分之二乘以三分之二。每一個五度音程可分為一個四度音程和一個全音程，以此類推。根據奧古斯?。ˋugustine）和波伊提烏（Boethius）的記載，可以猜測上述數列即是文藝復興時期比例理論的構建基礎。①這種猜測是阿爾貝蒂提出的，L. B. Alberti, On the Art of Building in ten books[M]. MIT Press, Cambridge, MA. 1991,p305.

柏拉圖在理智和感覺這一關聯中賦予數學絕對的優勢地位，而亞里士多德則將他所謂的物質，也即基本的實體，等同于個別的、可感知的事物，如動物、植物、天體以及人造之物。柏拉圖的哲學更具數學味，對建筑理論也產生了更為直接的影響。他是串聯古典時期比例關系的關鍵性人物，將畢達哥拉斯、阿爾貝蒂、帕拉蒂奧甚至勒·科布西耶連接了起來。在波普爾看來，柏拉圖選擇幾何學作為新的基礎，比例的幾何學方法作為新的方法。他設計了一個將數學幾何化的方案，這其中包括算術、天文學和宇宙論。他還成為世界幾何圖像的奠基人，因此也成為現代科學，如哥白尼、伽利略、開普勒以及牛頓科學的奠基人。

柏拉圖的宇宙論綜合了各種思想，包括早先的畢達哥拉斯數學，古希臘哲學家巴門尼德的有限和球形宇宙、愛菲斯學派創始人赫拉克利特的流變以及對立面的協調，恩培多克勒的四種元素、阿那克薩哥拉的原始混合物，留基波和德謨克里特的原子，以及后者在映像和物自體之間所做的區分。同樣也有繼承于他的老師蘇格拉底的思想，即對人的強調。柏拉圖綜合的基礎是映像概念，感知的世界是有永恒的理念或形式構成的真實世界，一個映像或畫像（eikon），一個摹本或表象。

在《蒂邁歐篇》的開篇中，柏拉圖在形式世界和它的映像之間做了明晰的區分：什么事物是永遠真實而不變化的，什么事物是永遠變化而絕不真實的？能夠借助理性思考而加以理解的事物是始終如一的永遠存在。然而，借非理性的感覺加以認知的物體則變化、消亡，實際上永遠也不存在。[1]22他直接指出，世界擁有這一切，形式是我們所見世界的表象和秩序。因此，對柏拉圖而言，終極的實在存在于普遍的形式中，即永恒的數學真理，可感知的世界僅僅是它變化著的影子、映像或表象。然而，宇宙并不僅僅局限于形式中，而是包括形式和映像二者。柏拉圖談論了制造各種表象的可能性，雖然它們只可能是摹本或模仿物，但是盡可能接近可知的形式世界。他將事物的明晰性與模糊性，與一條依照一定比例分割的線條的各部分加以對比，一部分代表可見世界，另一部分代表可知世界，然后將這兩部分按照相同的比例再次分割。

柏拉圖對自然的分析從表象的自然出發，盡可能探求各種表象背后的根本性數學原理。第一種方法是理智將那些在可見世界中有著自己影像的實物作為圖像；探究只能從假定出發，不是上升到一個原理，而是下降到一個結論。第二種方法是理智反向運動，從假定上升到非假設性的原理；它并不使用影像……僅僅使用形式，完全通過形式來探究。[2]219柏拉圖傾向于第二種方法，在這個認知過程中，感性思維被摒棄了，只有絕對真理被認可，對永恒不變的范本的描述才有可能是持久和不能反駁的。數學真理的悖論點在于柏拉圖本體論和經驗論的認識無法達成統一，既把它看作獨立的客觀事物，又要求研究對象提供直接的經驗依據。

柏拉圖的理論引發了對畢達哥拉斯立場的偏離。畢達哥拉斯認為可見世界由數字本身組成，即物質的粒子排列成棱錐、立方體及其他形狀。相反，柏拉圖則將它們視為可知的物體，為感覺所不可企及。畢達哥拉斯不可回避的數學難題，在柏拉圖的絕對真理和理念世界中升華。把數字抽象化、理想化，使之具有永恒、絕對的特性，并在運用中演繹證明，而非依據感性經驗。弗雷格在《算數基礎》中認為“數”的概念在哲學層面上是先驗的，在邏輯意義上是分析的。在他的三個基本原則中，心理的與邏輯的相區分，主觀的和客觀的相區分。

柏拉圖以可見圖形表達數學概念，但他真正思考的是各種原本，這些圖形只是其影像。比例關系就以兩種不同的方式進入柏拉圖的實在圖像中，各種形式與它們可感知的影像即達成一種比例關系，這種比例又反映在這些可感知的影像本身與它們的映像之中。柏拉圖以幾何圖形描述宇宙，僅僅是對造物的重新安排，以便將它從無序變為有序。因而數學不是觀察，而是通往真理之路。

在此，我們要把“比例”一詞加以澄清，不要混淆比例（proportion）與數比（ratio）的含義。數比是兩個數之間的關系，比例是指兩組數目的數比之間的相等性。數學或許不夠完美，但卻是發現自然本質最好的工具。研究數學的目的就是透過千變萬化的表象，找出內在規律。[3]一種隱匿的和諧存在于自然，它以一種簡單的數學規律的圖像投射到大腦。數學分析和觀察的結合之所以能夠對自然發生的事件做出預測，原因即在于此。

二、從數理關系到藝術秩序

比例理論帶來的形式法則或關系，時常會讓藝術家陷入思考。按數字制定的基本原則是否一定比其他關系更令人愉悅？如果答案是肯定的，那么嚴格按照一套數學法則創造的作品是否會導致藝術家靈感的缺失？比例美學論點的困難在于，它很快就陷入自相矛盾的泥潭。某些形狀或關系如果天生就比其他更和諧，那么如何解釋帕拉蒂奧和勒·柯布西耶所設計的建筑物雖然基于完全不同的數學原理之上，但都被認為具有比例美。無論如何，一件作品的美學影響力難道不是暫時的嗎？我們去正確評價基本的數學關系，需要的是耐心的研究、測量和計算。另外，規則所制定的基本原理是在設計的一開始就遵循，還是在結束時用作矯正？如果是前者，那么藝術家的品位和才能是否多余；如果是后者，那么調整形式以使作品適合于一套嚴格的數學公式，勢必會導致原創性靈感的弱化和消亡。

美國數學家喬治· D· 伯克霍夫（ George D.Birkhoff）把秩序和復雜性視為對立物，他的理論要旨表現在公式M=O/C 中，即（美學）標準等于秩序與復雜性之比。一件物體的美學價值與其秩序的程度成正比，與復雜性成反比。二維物體的秩序和復雜性是能夠加以精確計算的，可通過決定垂直或旋轉的對稱性程度及垂直程度計算。同樣，沒有秩序不是復雜，而是混亂。[4]秩序和復雜是同一種現象的兩個極端，非此即彼，比例理論的目的就是描述一種有秩序的復雜性。秩序需要復雜性彰顯自己，復雜性需要秩序以便理解。

人們堅定不移地相信“秩序”就存在于事物本身，雖然我們對這些事物本身及其本質一無所知?！笆挛锉旧砭褪前粗刃蚺帕械模敻泄侔堰@些排列呈現，我們就極其容易把它們想象出來，而且一旦想象出來就很容易記住。”[5]“秩序”主要是大腦組織活動的特征，是相互分離事物之間的一種關系，是用來表示任何主觀經驗的性質或感覺的字眼。

藝術中秩序的數字規律一直與視覺美連接在一起，而視覺美又與尺度、秩序相關聯，在“秩序”中以比例關系達到“得體”效果。從生理到心理的構成都基于一種秩序，身體的對稱，和諧的比例，被認為是美。如果對基本秩序與和諧的探尋根植于人類本性，我們可以稱之為一種像饑餓或干渴那樣的本能嗎？或者我們可以將之視為源自某種思想的沖動嗎？激發秩序感的機械論來源于生物學，為了在一個危險的環境中生存，有機體都具有一種潛在的對規律渴望的本能。它們在陌生的環境中尋找規律或秩序的模式，將之納入自身的活動。貢布里希認為“有機體必須探究環境，必須對它所接收到的信息加以分析，這是在對規律的基本期待下自覺發生的，這種期待內含于我們所謂的秩序感之中。”[6]按照貢布里希的理論，我們可以認為人類對秩序的渴望是生而有之的。藝術家的靈感常常依托數字間不可顛覆的真理關系，因為只有數字顯示了某種原初性的東西。①我們可以把藝術和數學之間的連接追溯到最古老的文明，如果說多數思想活動都是在于怎樣把我們周圍的混亂帶入秩序的話，走向秩序的兩種最為極端的過程肯定就是純粹科學（數學）過程以及藝術知覺過程。這就是人類心靈的特別構造之處，數學和藝術缺一不可。要發現基本法則沒有邏輯道路可循，唯有對表象背后秩序的某種直覺之路。這里的秩序，這種感知世界固有的東西就是一種原初性的和諧（pre-established harmony）。Rudolf. Wittkower, The changing concept of proportion[M]. in Architects’ Year Book V,1953,p109.

如果我們對數理關系中秩序的探尋津津樂道是出于一種本性訴求，把這種意識行為當作人性思想的沖動，似乎就可以把秩序認定為一種本能。藝術中的秩序和比例意味著賦予某種下意識的沖動和思想性的導向，藝術家在創作時會不自覺地使用某種視覺秩序，這種比例關系只要用工具測量一下就可得出。顯然藝術家本能的秩序傾向并非一定是數學等式般的秩序，換言之，并不存在一個讓所有人都滿意的唯一比例法則。古希臘的人體比例、古羅馬的“適應律”，抑或是文藝復興的“三分律”“黃金分割比”，它們都存在不一樣的數理基礎，把任何一種比例當作亙古不變的風格去對待，都是一種錯誤態度。某個數學公式和某個幾何圖形的應用也會相互沖突，這種理論并不是違反邏輯，每個歷史學家都在倡導不一樣的基本且普遍適應的真理。

古希臘建筑師彭尼索恩（Pennethorne）有關希臘建筑中和聲比例的發現[7]與漢比奇（Hambidge）②諾布斯稱漢比奇為晚近的“建筑占星師”，并從“感知機制更為晚近的知識” 出發研究比例。Perry E. Nobbs,Design. A Treatise on the Discovery of Form[M].Oxford University Press, 1937,p123.從√2、√3 到√5 的矩形中導出的“動態均衡”全然對立；[8]蔡辛（Zeising）認為他已經發現了黃金分割就是微觀和宏觀世界比例的中心原則；[9]奧迪里奧·沃爾夫（Odilio Wolff）在正六邊形的世界里找到了答案，倫德（Lund）③庫克對倫德、漢比奇和S.科爾曼的批判詳見于Theodore A. Cook, A New Disease in Architecture, The Nineteenth Century[M].London, 1922,pp521-531.在正五邊形里同樣如此；[10]莫塞爾（Moessel）也說在“圓的幾何”中找到了比例的意義；[11]勒—迪克（Viollet-le-Duc）的三角化被德耶奧修改過，其結果影響了一個時代；[12]海伊（Hay）在恢復了畢達哥拉斯數論的基礎上建立了一個綜合體系，后來的學者研究畢氏理論時，有些竟不了解海伊的成果；[13]后來畢氏的概念又在一本美國版為建筑師使用的《比例入門》中再度出現；克勞德·布拉格登（Claude Bragdon）從神學哲學的角度試圖將建筑構圖翻譯為樂普；蒂尓施（Thiersch）則認為和聲比例源自一個建筑本身用同一個幾何模式在各個組合上的重復使用，這一結論被藝術史家布克哈特（Burckhardt）、沃爾夫林（Wolfflin）和建筑史家喬萬諾尼（Giovannoni）等人接受了。[14]蒂尓施的發現對文藝復興時期的比例具有偉大的意義，然而他的結論卻是因果倒置。

以數學探求自然的方式已經被接納，藝術當然也不例外。我們很容易證明所有高級文明都基于數字關系之間的秩序，它們都曾在普遍的宇宙概念與人類生命之間尋找和建構一種幻想或是神秘的和諧，藝術正是體現了這種秩序與和諧?！爸刃蛘故驹谖覀兠媲暗淖匀皇且黄煦鐮顟B……但是賦予大自然生機勃勃的能力是秩序的力量?！盵15]

人不可能對隱而不顯的藝術技能做出判斷，因而需要依靠那些無把握的判斷來檢驗展示于我們眼前的各類科學知識。人是由自然創造的，依照自然法則而行動，而人類本身又是這些法則的制定者。面對秩序我們首先要調和以下兩種相悖的觀點：一種觀點認為，世界不管看起來如何復雜和變幻不居，實際上是完全可知的；另一種認為，現實永遠運動，永遠躲避人類理智的理解，它的秩序如果存在，也是一種隱匿的秩序。[16]自然以混沌之態顯現，“秩序”的存在又讓自然規律運轉，無非是表象中的幾何本質。天分隱沒在黑暗中，盡管藝術家們宣稱自己有良好的判斷力，若智性知識不富有，在其宣揚的技能方面也就不具有令人信服的話語權。

三、藝術秩序的數字演繹

演繹數學作為開創式解構方法，對西方數學發展有著深刻影響，它是我們認知宇宙的方式。畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物的運行及變化皆出于數，由于量度、秩序、比例和循環都可以用數來表示,因此數是萬物的基礎。[17]數的比例能夠產生美感，尋求數與美之間的精確關系，哲學家們認為是追求和諧美形象的合理途徑。

古典時期，人像和建筑被譽為神的旨意，必須包含并表達宇宙的秩序。畢達哥拉斯—柏拉圖學派已揭示這一秩序法則及宇宙運行的和諧比例，數學的性質、對象性都有了新的特征。在他們的數字觀中，3 是第一位真實的數字，是神圣的質數，9是3 的平方數，27 是9 的3 倍，柏拉圖或是亞里士多德在描述世界的時候始終未能超出27。[2]278實際上，不是數字含有任何意義，而是數字排列形成的比例具有魔力。

在拜占庭的比例理論中，我們就可以看到數字3在比例中的頻繁應用（當然也包括3 的倍數），身體的尺度在平面中用頭部，更準確地說是用臉部作為單位。通常身體的全長相當于9 個這樣的單位，1 個單位是臉，3 個是軀干……近3 個世紀左右，藝術理論家的比例理論都植根于拜占庭。①潘諾夫斯基在此處又提到了另一個與此相類似的理論，它將身長分為9 又1/3 個單位。但考慮到古代藝術文學從未提到這個理論，以及波利克里托斯和維特魯威的論述都基于完全不同的體系（通分數），這個理論只能追溯到阿拉伯地區。細微差別僅在于軀干的長度（3個臉長），額頭的高度并不是1/3 個單位，所以在包括額頭的情況下的全長只有8 又2/3 個單位。[18]拜占庭“9個臉長”的理論產生了深遠的影響，直至17、18 世紀一直發揮著重要作用，并且該理論不曾更改，僅僅是被波姆波尼俄斯·高里克斯、吉貝爾蒂以及菲拉萊迪稍微調整過。

比例約束著微觀世界并產生了美和卓越，自然受到數學的支配，藝術杰作與自然是一致的，它們體現了自然的規律并服務于自身。因此，藝術作品受到數學的支配，學者的堅定推理及完美的公式用于藝術作品。弗朗切斯科·喬治（Francesco George）為維尼亞圣弗朗切斯科教堂（S.Francesco della Vigna）撰寫的備忘錄表明了態度：“‘切記，你應該以它們的模式來建造，就像在山上所顯示的那樣’，根據所有解經家們的意見，他們的模式就是世界的結構。的確如此，這個特殊的場所必然要效仿上帝的宇宙，不是在尺度上，也不是在享樂上，而是比例?！盵19]形式和數中明顯表現出世界的和諧，數學之美這一概念體現了自然哲學的靈魂和所有詩意。這種觀點是對自然抱有一種神秘態度，柯布西耶則暗示一種指導性智力或意志控制著宇宙：我們假定宇宙中行為的統一性，并且承認其背后有一個單一的意志……如果我們認可并熱愛科學及其作用，這是因為二者迫使我們承認它們是由這種主要的意志所規定的。如果數學計算在我們看來是令人滿意與和諧的，是因為它源自這一核心。[20]數學定律不僅僅是對美的一種規定，當然也不局限于作為人類了解世界的手段之一，而是宇宙自身的核心和推導原理。

柏拉圖在《蒂邁歐篇》中說，宇宙的秩序與和諧都包含在一些特定的數字中。[1]33然而，畢達哥拉斯定理引出的“無共度比”理論，摧毀了柏拉圖的幾何學、數字論。如果萬事萬物以1、2、3、4 或點線面為基礎按比例復現，那么如何解釋？它不是任何已知數字之間的比例，類似的情況還有很多。柏拉圖在不可共度性中將該類數仍看作數本身，把精確測量過的線看成是無理數的近似值。若非如此，我們將必須接受不管是常識還是畢達哥拉斯學派自身都拒絕的荒謬理論：在幾何學中，計算是不可靠的，一切須以度量為基礎。[1]63在此，拋開純數學理論中的悖論，指向無理數與其形象的問題，因為把幾何學、數學及宇宙運行論相結合是宏觀與微觀世界運行的法則。一個不存在的對象如何具有數字上的衡量尺度？

魯道夫·威特科爾認為兩種不同的比例類型皆源自畢達哥拉斯—柏拉圖的理念世界，在歐洲藝術的漫長歷史中得到使用，中世紀偏愛畢達哥拉斯—柏拉圖的幾何學，而文藝復興以及古典主義時期則更喜歡算術。[21]造成這種偏差的原因是什么？就像在古希臘音樂音階的數比中所代表的那樣，算術比例包含著整數或是簡單分數。算數比例都是一些可通約的數比，相比之下，幾何比例都無法用整數或簡單分數表示，因此它們都不具有通約性。

數學思想的一些現代闡述者傾向于將早期畢達哥拉斯學派的思想視為一個以往時代的無知概念而加以摒棄，在那些日常工作中使用數學工具的個人看來，這些概念既未過時，也不是無知的。這些至關重要的數字要么來自計算，要么來自測量，因此它們不是整數就是有理分式。當然，他或許學會了比較熟練的使用符號和術語，這些也暗示了無理數的存在，但對他而言，這種用語僅僅是一種語言上的有益轉變。最終有理數作為唯一的量值出現，它能夠被應用于實踐中。

對文藝復興時期的藝術家們來說，無理數比例的識別難度較大。這一時期的藝術家以一種面向自然的有機數學方式決定一切，這種新方式包括了尺度的經驗性程序，它旨在證明世上一切都因數字彼此相連。因此，把尺度的通約性視為文藝復興的一個分界點并不夸張。可測量意味著維度的可靠性，以此就可以獲得一個身體上局部之間的關系，以及它們之于整體的關系。的確，可通約性就隱藏在文藝復興透視空間的可測量性背后，萊奧納多關于人體比例的記錄可以證實這一點。他測量并比較過人體局部之間的各種比例，并建立起整數之間的關系。相比之下，13 世紀維拉爾·德·奧內科爾（Villard de Honnecourt）速寫本中所畫的人物和動物比例，都是由諸如等邊三角形和五角星形這樣的畢達哥拉斯幾何體系所決定的。

對于有機和測量性的文藝復興世界觀來說，有理數化的尺度是一個必要條件，而對中世紀來說，尺度的測量問題從來都沒有這么重要過。雖然畢達哥拉斯—柏拉圖主義有關音階的數比概念被證實，卻從來也沒有被應用到藝術和建筑中去。相反，中世紀人對于表象背后終極真理的追問，完全可以被一種具有絕對基本性的幾何圖形所回答。也就是說，這些幾何圖形是不能被調和成人體和建筑的有機結構的。在維拉爾·德·奧內科爾和萊奧納多的人體比例研究之間的對比是非常典型的，中世紀藝術家傾向于將一種事先建立的幾何規范投射到他所畫的形象上去，而文藝復興藝術家則傾向于從環繞它周圍的自然現象中提煉出一種尺度規范。

在中世紀末期出現的“精確尺度”圖形中，即正方形，彼此相套，其中包含著一種不可通約的幾何圖形。在文藝復興時期，藝術家們開始注意到一個正方形的邊之間的簡單數比，在1：1 的比例中（音樂中同調），一個文藝復興的藝術家會發現其中的美與和諧。像正方形這樣的簡單幾何圖形，似乎是既可以被用在一種測量性和有理數的背景中，也可以被用在一種幾何性和無理數的背景中。作為一種比例手段，類似的圖形具有不同的功能，并可能引發不同的反應。

我們在先哲的沉思中遇見比例，某種程度上說它無關于藝術。如果比例與藝術相關聯，就一定會蛻化成一種包含實用性規則的理論，完全脫離“宇宙論”。文藝復興思潮對比例的推崇不像中世紀把它當作一種技術性支持，而視它為一種超自然的先決條件。隨著人文主義情懷的滌蕩，此二者合二為一，即比例理論既是藝術創作的標尺，又包含宇宙一體化理論的和諧，是神秘與理性的綜合,并因此有了全新的地位，因為它包含數學又具有思辨性，滿足了那個時代的精神需求。①古典時期以后最早提出這種說法的人是吉貝爾蒂，他吸取了阿爾哈贊的觀點，但是阿爾哈贊并沒有把比例作為美的構建原則，是吉貝爾蒂讓比例理論有了前所未有的高度。阿爾哈贊在《光學》中列舉了至少21 種美的原則或標準，吉貝爾蒂忽略了其它范疇，唯獨對“比例” 段落十分賞識。Ibn Chald?n (Khaldoun), Prolegomena French translation in Notices et Extraits de la Bibliothèque Impériale[M].Paris,1862,p413.在涉及扎實的知識與方法時，只有兩位藝術家真正把比例理論提高到中世紀之上的水準——阿爾貝蒂和萊奧納多，兩位都以經驗哲學的角度研究比例，前者是預言家，后者是開創人。兩位歷史性人物對“維特魯威比例”有失精準感到失望，但他們支持中世紀從自然觀察中總結經驗。比例理論不再是一種典型的理想原則，那些先驗哲學以及備受關注的數據不再是唯一的測量依據，比例理論不再局限于幾何圖解，他們按照人體有機原則深入三度空間確定尺寸。然而，他們也出現了分歧：阿爾貝蒂試圖通過完善方法的途徑達到普遍目標，萊奧納多則希冀以搜集和研究素材達成目的。[22]

阿爾貝蒂的比例理論被認為局限于一張“網格”，但他本人聲稱“網格”通過大量的實驗已經得到證實。阿爾貝蒂的繪畫工具，不僅使畫家更輕松地將小稿上的細節比例移至更大的畫面上，更重要的是還能訓練畫家以及隨后的觀者去“看見”自然潛在的幾何學。在《論繪畫》中談到素描與構圖時，萊奧納多說“將一片不過分透明的紙張放在浮雕和燭火之間”的繪畫技巧，這個“張有透明或不透明紙的框架”實際上就是“阿爾貝蒂格子窗”的延伸。盡管達·芬奇沒有使用“網格”“格子”“紗屏”等字眼，但從其論述及配圖中都可知曉與阿爾貝蒂繪畫工具的等同關系。不管是哪種方法，實際上都是“精確尺度”圖形中數字計算的方法性差異，阿爾貝蒂和萊奧納多使用的工具都是1：1 的正方形。

藝術家對自然的描繪通過這些“普適性”原則使物體更合理地呈現部分與部分、部分與整體的關系。我們通過測量感知世界，這不是運用數字表達空間的問題，而是將空間轉化為一個可度量的整體。測量性比例成為秩序的組織原則，顯現出數比間的和諧，不管是古典時期還是文藝復興，它從沒有從哲學、神學和美學思想中消失過。