與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題的求解策略

■王 健

三角函數(shù)中的最值問題一直是高考的常考點,這部分內(nèi)容的綜合性強,涉及的知識點較多,是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個難點。下面就此問題進(jìn)行舉例分析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、利用三角函數(shù)的有界性求最值

例1 函數(shù)f(x)=(1+sinx)(sin2x+cos2x-sinx)的最小值是____。

解:f(x)=(1+sinx)(1-sinx)=1-。因為-1≤cos2x≤1,所以f(x)的最小值是0。

評注:熟記正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的值域是解題的關(guān)鍵。

二、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值

評注:注意“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,b)”,二者是不相同的。

三、利用三角函數(shù)的對稱性求最值

例3 (1)將函數(shù)f(x)=cos2x的圖像向左平移φ(φ>0)個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖像,若函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點對稱,則φ的最小值為_____。

評注:函數(shù)y=sinx的圖像既關(guān)于原點成中心對稱,又關(guān)于直線,k∈Z對稱;函數(shù)y=cosx的圖像關(guān)于直線x=kπ,k∈Z對稱。