三角變換中的小結論的妙用

■何 敏

結論1:sin3θ=3sinθ-4sin3θ;cos3θ=4cos3θ-3cosθ。

證明:sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ=3sinθ-4sin3θ。

cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθsin2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2cosθ(1-cos2θ)=4cos3θ-3cosθ。

簡評:結論1也叫三倍角公式,它的變形需要熟練掌握,利用結論1 可以簡化解題步驟,提高解題速度。

結論2:tanα+tanβ+tan(α+β)tanα·tanβ=tan(α+β)。

證明:因為,所以tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β),即tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)。

例3 tan10°+tan35°+tan10°tan35°的值為____。

解:由tan10°+tan35°+tan10°tan35°=tan10°+tan35°+tan45°tan10°tan35°,結合 結 論2 可 得,原 式=tan(10°+35°)=tan45°=1。

解:由an20°tan40°=tan20°+tan40°+tan60°tan20°tan40°,結合結論2可得,原式=tan(20°+40°)=tan60°=。

簡評:結論2 實際是兩角和的正切公式的變形,巧妙利用結論2,可以簡化解題步驟,提高解題速度。

結論3:在非直角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

證明:在△ABC中,由A+B+C=π,可得A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即,所以tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

當A=30°時,B=90°,此時tanB無意義,所以A=60°,B=60°,所以此三角形為等邊三角形。應選D。

解:由20°+40°+120°=180°,結合結論3得tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°·tan120°,所 以

簡評:結論3 實際是三角形中兩角和的正切公式的變形,注意是非直角三角形,利用它可以簡化解題步驟,提高解題速度。

結論4:tanα-tanβ-tan(α-β)tanα·tanβ=tan(α-β)。

簡評:結論4 實際是兩角差的正切公式的變形,巧妙利用結論4可簡化解題步驟,提高解題速度。

例9 (1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan45°)的值為____。

解:結合結論5 求值。(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan45°)=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]·…·[(1+tan22°)(1+tan23°)]·(1+tan45°)=222(1+tan45°)=223。

例10 tan22°+tan23°+tan22°tan23°的值為____。

解:tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan22°+tan22°tan23°+tan23°=tan22°·(1+tan23°)+ (1+tan23°)-1= (1+tan22°)(1+tan23°)-1=2-1=1。

簡評:利用結論5可以簡化解題步驟,提高解題速度,但要注意僅是(1+tanα)(1+tanβ)=2成立的充分條件,而不是必要條件,切勿逆用。