巧思維切入，妙方法應用
——一道三角函數求值問題的探究

■陳 婷

三角函數的求值問題,融合了三角函數的基本概念、基本公式、三角函數的圖像與性質等,是三角函數的難點之一,成為高考命題中的一個重要考點。此類問題,知識交匯融合,思維視角多樣,方法技巧多變,是全面考查數學“四基”與數學能力、展示知識交匯與體現方法多樣性的一個重要場所,倍受大家的關注。

一、問題呈現

二、問題破解

解后反思:根據所給分式進行整式化處理,是解答這類問題比較常見的一種切入方式。解題時,利用三角函數的平方關系進行合理拆分、合并、化簡,構建更為簡捷的三角關系式,為進一步求值提供條件。

解后反思:根據所給分式的結構特征進行平方轉化,為三角換元奠定基礎。在三角函數問題中進行三角換元處理,是解決此類問題的一種“巧技妙法”。

解后反思:根據所給的高次冪關系式,通過巧妙代數換元處理,把三角函數問題轉化為代數式問題,通過代數式的化簡與運算達到巧妙解決三角函數問題的目的。

解后反思:根據所給的三角函數關系式,借助合理的等式配湊與轉化,通過基本不等式、柯西不等式加以巧妙放縮與變形,利用等號成立的條件的應用,求得三角函數的值。

解后反思:根據“小題小做”的思維方式,在解答一些選擇題或填空題時,可以借助特殊思維,利用特殊值法進行巧妙處理,這里分別從特殊角入手加以分析,從而實現特殊思維應用的目的。利用特殊值法處理問題,有其特殊性,但不具備普遍性。