三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的重點(diǎn)、難點(diǎn)突破

■胡 興

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是三角函數(shù)的主要內(nèi)容,要想學(xué)好三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),就要掌握其重點(diǎn)和難點(diǎn),下面就此實(shí)例剖析。

重點(diǎn):有關(guān)三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

1.三角函數(shù)的奇偶性與應(yīng)用

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

(2)已知a∈R,函數(shù)f(x)=sinx-|a|(x∈R)為奇函數(shù),則a等于( )。

A.0 B.1

C.-1 D.±1

(2)此函數(shù)的定義域?yàn)镽。因?yàn)閒(x)為奇 函 數(shù),所 以f（-x）= -f(x),即sin（ -x）-|a|=-sinx+|a|,所以|a|=0,所以a=0。應(yīng)選A。

函數(shù)。

判斷三角函數(shù)的奇偶性,應(yīng)先求出函數(shù)的定義域,在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下,再根據(jù)f（ -x）與f(x)及-f(x)的關(guān)系進(jìn)行判斷。判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握的兩個(gè)方面:一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;二看f(x)與f（ -x）的關(guān)系。對于三角函數(shù)奇偶性的判斷,有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡,再進(jìn)行判斷。

2.正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與應(yīng)用

(2)已知函數(shù)y=cosx在區(qū)間[-π,a]上為增函數(shù),求a的取值范圍。

(2)因?yàn)閥=cosx在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù),所以當(dāng)-π

求形 如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可借助正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過解不等式求得。具體求解時(shí),應(yīng)注意三點(diǎn):要把ωx+φ看作一個(gè)整體,當(dāng)ω<0時(shí),先用誘導(dǎo)公式將式子變形,將x的系數(shù)化為正數(shù);在A>0,ω>0 的情況下,將“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間;在A<0,ω>0的情況下,同樣方法可求得與正弦(或余弦)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間。

難點(diǎn):利用正弦(或余弦)函數(shù)的圖像解不等式

在同一直角坐標(biāo)系下,作出函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]及直線的圖像,如圖1所示。

圖1

圖2

利用三角函數(shù)的圖像解sinx>a(或cosx>a)的方法:作出直線y=a,y=sinx(或y=cosx)的圖像;確定sinx=a(或cosx=a)的x值;選取一個(gè)合適周期寫出sinx>a(或cosx>a)的解集,要盡量使解集為一個(gè)連續(xù)區(qū)間;寫出在x∈R 上的解集。