基于Logistic回歸的古代玻璃制品化學成分分析和研究

【摘" 要】 文章主要通過研究玻璃含有的不同化學成分，分析和鑒別古代的玻璃制品。首先分析了現有玻璃文物的數據，利用Spearman’s rank correlation coefficient和卡方檢驗表面分化、紋飾、顏色和玻璃類型之間的聯系，采用Logistic回歸鑒別未知文物，分析其所屬的類型，并分析了分類結果的靈敏度。通過分析可知，文章采用的分類方法，能較好地通過化學成分對玻璃進行分類。

【關鍵詞】 Spearman’s rank correlation coefficient；卡方檢驗；Logistic回歸

絲綢之路是古代亞歐互通有無的商貿大道。我國古代的玻璃雖然與西方的玻璃外觀類似，但其化學組成卻不盡相同，根據添加的不同助熔劑，人們將玻璃分為鉛鋇玻璃和鉀玻璃。我國古代的玻璃容易在溫度、濕度較高和不通風的環境下風化，文章就此對玻璃文物的成分進行了分析和分類。

一、問題分析

（一）模型假設

1. 本研究在分析時，使用的數據真實、可信；2. 玻璃未與外界發生化學反應，僅涉及風化、元素的交換；3. 玻璃成分在一定時間內不會發生改變；4. 獨立抽取采樣數據，具有統計學意義；5. 玻璃化學成分未有人為的故意改變；6. 假設各組成部分數據的讀取設備是同一臺。

（二）問題分析一

本文將玻璃文物的4個定類變量基本信息轉化為定量變量，使用MATLAB計算出4個指標之間的相關系數和每個相關系數的P值，然后進行假設檢驗。通過卡方檢驗，分析變量之間的差異性。

為了驗證不同類型的玻璃是否在風化條件下，本文對其化學成分進行了描述性統計；通過畫圖，直觀地展示了不同類型玻璃各個指標的平均值，分析玻璃的含量規律。

比較兩組數據化學成分的均值變化率，將各化學成分含量與變化率進行對比，預測出風化前的玻璃化學成分含量。

（三）問題分析二

基于表單數據，找出是否風化和各項化學成分含量之間的關系，確定玻璃種類后，再次建立Logistic回歸方程，結合亞分類細則對已知的種類玻璃進行亞分。

二、定類元素的相關性

（一）數據的預處理

數據主要以定性數據（紋飾、類型、顏色和表面是否風化）為主，為方便后續數據的處理，將各項指標進行編碼。如果部分顏色數據缺失，統一用數字0代入；如果數據未給出化學成分比例，空白區域為未檢測到該成分的區域，統一用0錄入。將各項成分累積的占比控制在85%—105%這一區間，視作本文分析解答的有效數據；而未在該區間的數據，已被刪去。

分析表面是否風化與已知的玻璃類型、紋飾和顏色間的關系，以及分析涉及的定類因素，使用Spearman’s rank correlation coefficient研究其關聯性，具有較好的準確性。

第一步，構建Mi為風化，Nij為類型、紋飾和顏色的兩組數據，其Spearman’s rank correlation coefficient等級為：

■

式中di為Mi和Nij兩組數據經過升序、排列后，賦予的位置之差。

第二步，將數據代入相關系數，進行統計、量化后，得到Spearman’s rank correlation coefficient，如表1所示。

第三步：利用MATLAB計算Spearman’s rank correlation coefficient對應的P值，如表2所示。

由表2可知，在99%的置信水平下，風化和類型的P值lt;0.01，顯著性明顯，即玻璃表面是否風化與類型存在較大的相關性；在90%的置信水平下，風化和顏色的P值lt;0.1，顯著性明顯，即風化與顏色存在一定的相關性。

（二）利用卡方檢驗法分析差異性

卡方檢驗主要用于衡量、分析兩個變量間的差異性，對此，可以比較兩個變量間的偏離程度X2，變量間的差異性與X2的大小呈現正相關，即X2越大，兩者的差異越明顯，如表3所示。

由表3可得，在90%的置信水平下，風化和紋飾的P值lt;0.1，顯著性明顯，風化與紋飾存在顯著的差異。這與前文Spearman's rank correlation coefficient（下稱SPSS）計算的對應的P值，得出的結論相符。

（三）化學成分的統計規律

通過描述性統計不同類型表單數據的風化情況，研究選取了部分具有特征性的數據，分析化學成分的統計規律。可以明顯地觀測出在含量占比上，二氧化硅在兩種類型的玻璃中，含量占比大，其余化學成分呈現遞減的趨勢。

對比后可知，在兩種類型的玻璃中，二氧化硅的含量與風化前后的含量呈相反的占比趨勢，高鉀玻璃的二氧化硅風化后含量高；鉛鋇玻璃的二氧化硅無風化的含量高。鉛鋇玻璃氧化鋇和氧化鉛的含量，無論是在風化前還是風化后，均明顯高于高鉀玻璃。

（四）預測風化前的含量

本研究根據風化前后兩組數據均值的變化率，比較化學成分均值的變化率，將各化學成分含量與變化率進行對比，預測出風化前的化學成分含量：

■

式中■和■分別為無風化和風化后的各項化學成分均值，■為第j種類型第i個化學成分的預測值。

由于數據中的部分采樣點為嚴重風化點，因此將變化率的平方代入預測方程中，以求得更加貼切真實數據的預測值。還有部分風化后玻璃的采樣點取自未風化處，因此數據即為風化前各成分的含量，無須再次進行計算，能容易得預測出風化前化學成分的含量。

三、玻璃類型的分類

（一）總分類

本文根據表單給出的是否風化和各項化學成分含量的數據，找出其中的關系，推測出未分類的各項玻璃的所屬種類，建立了一個Logistic回歸方程模型：

■

式中β為回歸系數，xj為對應的化學成分，使用SPSS對數據進行了多元回歸計算。

玻璃分類表如表4所示。表4表明：在49個鉛鋇樣本中，SPSS預測出49個鉛鋇，正確率為100%；在18個鉛鋇樣本中，SPSS預測出18個，正確率為100%，可見，此回歸模型的準確率高。

計算得到回歸系數，如表5所示。

在90%的置信水平下，風化、氧化鈉、氧化鉀、氧化鋁、氧化鉛和氧化鋇的P值lt;0.1，顯著性明顯，即，在回歸方程中，采用這6個指標進行擬合預測。

將所得的系數帶入式（3），得到完整的回歸方程：

■

（4）

代入數據后，通過計算分析，得到結果，如表6所示。

在表6中，根據前文數據的預處理，定義1為高鉀玻璃、0為鉛鋇玻璃，以0.5劃分兩者的種類。可以將A1、A6、A7和A8鑒別為高鉀玻璃，A2、A3、A4和A5鑒別為鉛鋇玻璃。

（二）亞分類

根據上文提到的處理方法，以高鉀玻璃為例，繼續對高鉀玻璃進行亞分類。通過SPSS計算，得到高鉀玻璃的亞分類系數，如表7所示。從而得到高鉀玻璃的亞分類回歸方程（3），代入的數據，如表8所示。

根據問題二的亞分類細則，4個高鉀玻璃又可以分為3類，即A1、A6和A7、A8。

（三）靈敏度分析

本研究通過隨機選取一個玻璃中的指標，在一定范圍內改變指標的大小，觀察其輸出值是否超過了分類的界限。

1. 玻璃大類分析

本文選擇了A3的氧化鉛指標，在0%～50%內改變了指標的大小，用MATLAB輸出了結果大小，可以看出，當指標減少量小于30%時，輸出的結果較穩定，保持在0左右；當指標減少量大于35%后，輸出的結果發生改變，并在減少到40%之后趨于穩定，成為另一種玻璃。可見，此Logistic回歸模型對分類結果具有較高的敏感性。

2. 亞類劃分分析

通過大類劃分相同的過程，本研究隨機選擇了A7的二氧化硅這一指標在±20%的范圍內的大小變化，同樣用MATLAB輸出結果。在+2%和-3.7%的范圍內，分類結果具有一定的穩定性，在超出這一范圍后，高價玻璃的亞分類種類將發生變化，可見，亞分類Logistic回歸具有一定的準確性。

（四）模型的評價、改進與推廣

1. 模型的優點

（1）Logistic回歸的結果便于理解和解釋。

（2）模型簡單，算法直觀，編程容易實現。

2. 模型的缺點

（1）受題中數據的約束，有小部分因素未能考慮。

（2）特征提取過多，有些變量互相有相關性。

3. 模型的改進

該模型是在對某些復雜問題簡單化的基礎上建立的，是一種理想狀態，對模型的進一步改進，可以從以下幾個方面考慮：

第一，在預測玻璃風化前的化學成分時，需要注意玻璃在不同環境中受濕度和溫度的影響；第二，在風化的過程中，發生的化學方程式是否特殊，能否刪除一些不重要的指標，直接利用影響因子較大的指標進行分析和成分判別。

參考文獻：

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