求數(shù)列通項(xiàng)公式的新視角

趙世瑜

摘要：對于求某些特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果能另辟蹊徑，通過構(gòu)造常數(shù)列來求其通項(xiàng)公式，就會發(fā)現(xiàn)這種方法不僅思路清晰，而且過程簡潔.文章對幾種常見數(shù)列的遞推數(shù)列進(jìn)行研究，總結(jié)用其來求通項(xiàng)公式的一般方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；常數(shù)列；構(gòu)造；應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0039-03

在等差數(shù)列、等比數(shù)列以外的一些特殊數(shù)列中，我們常用累加法、累積法和構(gòu)造法求其通項(xiàng)公式，這些方法都對應(yīng)某種特定的類型，運(yùn)用起來程序性強(qiáng)，學(xué)生很容易掌握.筆者經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)此類問題可以通過構(gòu)造常數(shù)列加以解決，現(xiàn)將自己的一些心得整理出來，希望能起到拋磚引玉的作用.

1 常數(shù)列的定義

如果數(shù)列an滿足an+1=an，則稱an為常數(shù)列，此時(shí)有an=a1.

2 構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式

2.1 an+1=an+f（n）型

例1已知數(shù)列an滿足a1=12，an+1=an+1n2+n，求an的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1=an+1n2+n=an+1n-1n+1，所以an+1+1n+1=an+1n，所以數(shù)列an+1n是一個(gè)常數(shù)列.又因?yàn)槭醉?xiàng)為a1+11=32，所以an=32-1n，n∈N*.

例2在數(shù)列an中，a1=1，an-an-1=2n-3，n≥2，n∈N*，求an的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n-an-1=2n-3，所以an-n-12=an-1-n-22，n≥2，n∈N*，所以數(shù)列an-n-12是一個(gè)常數(shù)列.

又因?yàn)槭醉?xiàng)為a1-1-12=1，所以an=n-12+1=n2-2n+2，n∈N*.

例3已知數(shù)列an滿足an+1-an=4n+1，且a1=1 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1-an=4n+1，所以an-an-1=4n-3，n≥2，n∈N*.

所以an-2n2-n-1=an-1-2n-12-n-1-1，n≥2，n∈N*，所以數(shù)列an-2n2-n-1是一個(gè)常數(shù)列.

又因?yàn)槭醉?xiàng)為a1-2×12-1-1=1，所以an=2n2-n，n∈N*.

評注我們可以感受到此方法在語言表達(dá)上比用累加法顯得更加簡潔，同時(shí)肯定有人看完例2，3會感慨：此法只應(yīng)天上有！其實(shí)不然，下面給出一般性的結(jié)論.

定理1如果an=an-1+fn，n≥2，n∈N*，gn=∑nk=2fk，則an-gn為常數(shù)列.

證明因?yàn)閍n=an-1+fn，gn=∑nk=2fk，所以an-gn=an-∑nk=2fk=an-1-∑nk=2fk+fn=an-1-∑n-1k=2fk=an-1-gn-1，所以an-gn為常數(shù)列.

也許有讀者會問：gn是怎樣構(gòu)造出來的呢？方法如下：

假設(shè)an-gn=an-1-gn-1，則gn-gn-1=fn，所以g2-g1=f2，g3-g2=f3，…，gn-gn-1=fn，n≥2，n∈N*.

把以上n-1個(gè)式子相加得

gn-g1=∑nk=2fk，n≥2，n∈N*.令g1=0得gn=∑nk=2fk.

2.2 an+1=anf（n）型

例4在數(shù)列an中，a1=1，an+1=2nan（n∈N*），求通項(xiàng)an.

解因?yàn)閍n+1=2nan，所以an+12nn+12=an2nn-12，所以數(shù)列an2nn-12是一個(gè)常數(shù)列.

又因?yàn)槭醉?xiàng)為a120=1，所以an2nn-12=1，即an=2nn-12，n∈N*.

類似地，我們可以得到以下結(jié)論.

定理2如果an=an-1fn，n≥2，n∈N*，gn=∏nk=2fk，則angn為常數(shù)列.

證明因?yàn)閍n=an-1fn，n≥2，n∈N*，gn=∏nk=2fk，

所以angn=an∏nk=2fk=an-1fn∏nk=2fk=an-1∏n-1k=2fk=an-1gn-1，所以angn為常數(shù)列.

gn的構(gòu)造方法如下：

假設(shè)angn=an-1gn-1，則gngn-1=fn，所以g2g1=f2，g3g2=f3，…，gngn-1=fn，n≥2，n∈N*.

把以上n-1個(gè)式子相乘得，gng1=∏nk=2fk，n≥2，n∈N*.

令g1=1得，gn=∏nk=2fk.

2.3 an+2=1-λan+1+λan型

例5已知數(shù)列an滿足：a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2ann∈N*，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+2=3an+1-2ann∈N*，所以an+2-2an+1=an+1-2ann∈N*，所以數(shù)列an+1-2an是以a2-2a1=-1為首項(xiàng)的常數(shù)列，即an+1-2an=-1，從而an+1-1=2an-1.

又因?yàn)閍1-1=1，所以an-1是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an-1=2n-1，即an=2n-1+1n∈N*.

我們可以把以上問題推廣到一般情景.

定理3數(shù)列an滿足：a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qann∈N*，p2+4q≥0，

（1）若方程x2=px+q有兩個(gè)不等實(shí)根α，β，則an=λαn+μβnn∈N*，其中λα+μβ=a，λα2+μβ2=b;

（2）若方程x2=px+q有兩個(gè)相等實(shí)根α，β，則an=λ+nμαnn∈N*，其中λ+μα=a，λ+2μα2=b.證明：假設(shè)an+2-xan+1=p-xan+1-xan（*），則-xp-x=q，

即x2=px+q，解得x=α或x=β，其中α+β=p，αβ=-q.

當(dāng)α≠β時(shí)，由（*）得，an+2-αan+1=βan+1-αan，①an+2-βan+1=αan+1-βan.②

由①得an+1-αan=b-αaβn-1，③

由②得an+1-βan=b-βaαn-1，④

由③-④得，β-αan=b-αaβn-1-b-βaαn-1.

若α≠β，則an=b-αaβn-1-b-βaαn-1β-α=λαn+μβn，其中λα+μβ=a，λα2+μβ2=b;若α=β，則an+2-αan+1=αan+1-αan，所以an+1-αan=b-αaαn-1，

（1）若α=1，則數(shù)列an為公差為b-a的等差數(shù)列，此時(shí)an=a+n-1b-a=2a-b+b-an=λ+nμ，其中λ+μ=a，λ+2μ=b.

（2）若α≠1，則an+1αn+1-anαn=b-αaα2，所以數(shù)列anαn是公差為b-αaα2的等差數(shù)列，

此時(shí)anαn=aα+n-1b-αaα2=2αa-bα2+b-αaα2n，即an=2αa-bα2+b-αaα2nαn=λ+nμαnn∈N*，其中λ+μα=a，λ+2μα2=b.

上式對于α=1也成立，

所以當(dāng)α=β時(shí)，an=2αa-bα2+b-αaα2nαn=λ+nμαnn∈N*，

其中λ+μα=a，λ+2μα2=b.

3 在高考中的應(yīng)用

例6（2012年大綱全國卷）[1]函數(shù)f（x）=x2-2x-3.定義數(shù)列xn如下：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）證明：2≤xn

（2）求數(shù)列xn的通向公式.

解（1）略.

（2）由（1）及題意得xn+1=3+4xn2+xn，變形有xn+1-3=xn-32+xn，取倒數(shù)得1xn+1-3=5xn-3+1.記an=1xn-3，則an+1=5an+1，an+15n+1=an5n+15n+1，可得an+15n+1+14×5n+1=an5n+14×5n，所以{an5n+14×5n}是常數(shù)列.所以an5n+14×5n=a15+14×5=-320，從而an=-3×5n-1+14，因此得xn=3-43×5n-1+1.

例7（2008年四川卷理科）設(shè)數(shù)列數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn.

（1）證明：當(dāng)b=2時(shí)，{an-n·2n-1}；

（2）數(shù)列an的通向公式.

解（1）略.（2）當(dāng)b=2時(shí)，由（1）知，an=（n+1）2n+1.當(dāng)b=0時(shí)，則an=2n-1；

現(xiàn)在討論b≠0，2的情況，由題意可得a1=2，an+1=ban+2n，變形有an+1bn+1=anbn+2nbn+1，設(shè)an+1bn+1+

x（2b）n+1=anbn+x（2b）n，由待定系數(shù)法，解得x=1b-2，因此

an+1bn+1+1b-2（2b）n+1=anbn+1b-2（2b）n，

所以{anbn+1b-2（2b）n}是常數(shù)列，所以anbn+1b-2（2b）n=2b+1b-2·2b=2（b-1）b（b-2），故an=1b-2［2（b-1）bn-1-2n］.

該法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中2012年大綱全國卷［1］等有運(yùn)用，我們的老師不僅要把解題技巧傳授給學(xué)生，更重要的是要教會學(xué)生思考問題、教會學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).因?yàn)樗季S是數(shù)學(xué)的靈魂，技巧是靈活的，但思想方法卻可以舉一反三. 我們可用常數(shù)控制變數(shù)，通過構(gòu)造常數(shù)列來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］?徐章韜，李鴻昌.在深度解讀教材中增長見識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（11）：11-13.

[2] 李鴻昌，徐章韜.深度挖掘教材：數(shù)列求和之構(gòu)造常數(shù)列[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（10）：53-55.

［責(zé)任編輯：李璟］