“雙新”背景下高中數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐
——以汽車剎車距離模型為例

李 萍 上海海事大學(xué)附屬北蔡高級中學(xué)

一、引言

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中強(qiáng)調(diào)，“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界、發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題（能力），積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神”。

近幾年來，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)、工程與經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入學(xué)校課堂已經(jīng)是大勢所趨。

二、數(shù)學(xué)建模的定義

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，指的是通過觀察現(xiàn)實(shí)生活中的問題之后將其進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)抽象，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，然后用數(shù)學(xué)思想方法建立模型來培養(yǎng)解決問題的素養(yǎng)。

在2020 年的“雙新”教改中，上教版新教材將數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容獨(dú)立出來，按必修和選擇性必修分別單獨(dú)成冊，這就要求一線教師需要認(rèn)真思考數(shù)學(xué)建模的意義，掌握數(shù)學(xué)要義，積極落實(shí)提高學(xué)生的核心素養(yǎng)這一教學(xué)目標(biāo)。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法：利用日常課進(jìn)行滲透

雖然“雙新”改革后，上教版教材已經(jīng)將數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)單獨(dú)成冊，但是教材上的內(nèi)容是以一個完整的數(shù)學(xué)建模活動的形式出現(xiàn)的，然而，對于高一的學(xué)生而言，由于在知識儲備上的欠缺導(dǎo)致數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)該依據(jù)學(xué)情來進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平來進(jìn)行簡化。

因而，筆者嘗試如下教學(xué)方法：充分挖掘日常上課的素材，利用這些素材為學(xué)生搭建好數(shù)學(xué)建模的腳手架，在日常課中將數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行有效滲透，繼而為之后讓學(xué)生能完成一個完整的數(shù)學(xué)建模活動做好鋪墊。

四、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例實(shí)踐

（一）素材的選擇

在上教版新教材必修一的第二章“一元二次不等式的求解”這一節(jié)中，引例改編自《數(shù)學(xué)建模》一書中的剎車距離案例：

在交通事故中，交通管理部門往往通過測量肇事汽車的剎車距離來推斷該車輛實(shí)施剎車前的行駛速度，并作為斷定司機(jī)在肇事前是否有超速違章行為的重要參考依據(jù)。假設(shè)在某次交通事故中，測得肇事汽車的剎車距離大于20 米，試推斷該汽車在剎車前的車速是否超過該水泥道路上機(jī)動車的限速規(guī)定30 km/h。在一般情況下，我們可以采用如下數(shù)學(xué)模型來描述該種型號的汽車在常規(guī)水泥路面上的剎車距離：d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關(guān)系：

d=0.208 5v+0.006 4v2

（二）將教材上的素材進(jìn)行改編

思考：汽車在常規(guī)水泥路面上的剎車距離d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關(guān)系式是怎么得到的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該引例使學(xué)生意識到生活中其實(shí)有很多問題，從而了解到數(shù)學(xué)建模的第一步是學(xué)會發(fā)現(xiàn)生活中的問題。

創(chuàng)設(shè)情境：由于慣性，汽車在剎車之后還要繼續(xù)前進(jìn)一段距離之后才會停下來，從司機(jī)踩下剎車到汽車完全停止的這段距離稱作為剎車距離。我們知道一般來說車速越快，剎車距離越長，由此，可以初步判斷剎車距離與車速有關(guān)，為了找到剎車距離與車速的關(guān)系，從而建立出這兩者之間的關(guān)系式，我們需要在不變的道路上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而且司機(jī)也得是同一個。通過實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 車速與剎車距離的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

問題1：該如何研究這些數(shù)據(jù)，才能正確建立剎車距離與車速的關(guān)系式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該問題使學(xué)生能了解到數(shù)學(xué)建模的第二步：學(xué)會提出問題。在學(xué)生的認(rèn)知中，建立關(guān)系式無非是等量關(guān)系或者是不等關(guān)系，而這些關(guān)系通常都是以函數(shù)關(guān)系的方式來得到，這就是學(xué)生非常熟悉的應(yīng)用題。以表格列出數(shù)據(jù)的方式來找函數(shù)關(guān)系對學(xué)生而言是既是新鮮的，也是充滿挑戰(zhàn)的。

問題2：經(jīng)過大家的思考，主要有以下兩種方法，那么選擇哪一種比較好呢？

方法一：直接猜測符合的函數(shù)模型，是一次函數(shù)還是二次函數(shù)？代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

方法二：作出散點(diǎn)圖，看曲線的形狀判斷函數(shù)關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】對于成對的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上通常可以選擇用作出散點(diǎn)圖的方式來呈現(xiàn)成對數(shù)據(jù)是否具備函數(shù)關(guān)系或者相關(guān)關(guān)系，因此，啟發(fā)學(xué)生用方法二對于研究現(xiàn)實(shí)問題更適合。

問題3：利用Excel作出散點(diǎn)圖（圖1）如下，顯然發(fā)現(xiàn)剎車距離與車速不成一次函數(shù)的關(guān)系（見圖2），那么這兩者究竟是怎樣的關(guān)系呢？為此，我們需要進(jìn)一步的研究。

圖1

圖2

問題4：通過查閱資料，我們發(fā)現(xiàn)剎車距離由反應(yīng)距離和制動距離兩部分組成。當(dāng)駕駛員意識到需要踩剎車到做出剎車動作的這段時間，稱為反應(yīng)時間。在反應(yīng)時間內(nèi)，汽車以原來的速度做勻速直線運(yùn)動之后所行駛的距離叫做反應(yīng)距離。那么請問反應(yīng)距離與什么有關(guān)？制動距離又與什么有關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該問題使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)建模的第三步：學(xué)會分析問題，既然由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)了剎車距離與車速不是簡單的線性關(guān)系，那就需要進(jìn)一步分析問題，找出該問題中另外一些關(guān)鍵的要素。

問題5：通過討論與查閱資料，我們可以總結(jié)出如下結(jié)論：反應(yīng)距離與司機(jī)的反應(yīng)時間和汽車的車速有直接關(guān)聯(lián)，其中司機(jī)的反應(yīng)時間又與個人的精神狀況和汽車的制動系統(tǒng)的靈敏性有關(guān)系；而制動距離與汽車的制動器的作用力以及汽車行駛的速度以及行駛的時候道路的狀況有關(guān)，那么這么多因素我們該如何進(jìn)行取舍？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對問題5 的深入思考，使學(xué)生們認(rèn)識到對于我們要探究的剎車距離與車速之間的關(guān)系式來說，有很多因素是次要的，如果全部都要研究就太煩瑣了，因此為了使問題變簡單，通常需要進(jìn)行一些合理的假設(shè)，這也是建立合適的數(shù)學(xué)模型之前一個重要的環(huán)節(jié)。

問題6：基于問題5中的分析，作出以下假設(shè)：

（1）汽車的剎車距離d可以看作是反應(yīng)距離d1與制動距離d2的和；

（2）司機(jī)的反應(yīng)距離d1與汽車的行駛速度v成正比，比例系數(shù)為司機(jī)的反應(yīng)時間；

（3）在剎車時需要使用的制動力記作F，而F做的功相當(dāng)于汽車動能發(fā)生的變化，且F與汽車的重量m成正比。

基于以上假設(shè)是否能建立剎車距離d與車速v之間的關(guān)系式？

【設(shè)計(jì)意圖】對于問題6 的解答其實(shí)就是在完成數(shù)學(xué)建模的第四步也是最關(guān)鍵的一步——建立模型。

由假設(shè)1，得到d=d1+d2；由假設(shè)2，d1=c1v（其中c1為常數(shù)）；由假設(shè)3，F(xiàn)與汽車的重量m成正比，基于牛頓第二定律，得到F=mk（其中k為剎車時的減速度為常數(shù)），另外，由于在F的作用下行駛的距離d2所做的功Fd2使汽車的車速從v變成了0，因此動能的變化為，于是得到如下關(guān)系式：

從而可以將d2記作d2=c2v2（其中c2為常數(shù)），因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為：d=c1v=c2v2.

思考與拓展：如何將系數(shù)c1以及c2計(jì)算出來？

說明：在這里可以給學(xué)有余力的學(xué)生拓展一下關(guān)于利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的知識。筆者利用Matlab軟件調(diào)用擬合函數(shù)進(jìn)行了系數(shù)的計(jì)算，相關(guān)操作步驟如下：

（1）編寫M文件linefit.m，下圖3為該文件代碼。

圖3

（2）在命令窗口執(zhí)行以下代碼（見圖4）。

圖4

在以上截圖中可以看到c1=0.181 2，c2=0.006 6，因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為：d=0.181 2v+0.006 6v2。若將表1 中的車速v代入該關(guān)系式得到的剎車距離列出一行（見如下表2 的第3 行，精確到小數(shù)點(diǎn)后一位），與下表中的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)該表達(dá)式擬合的還是很好的。

表2 車速與剎車距離的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)對比

（3）作出實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)的圖像，進(jìn)一步觀察擬合情況。

在圖5 中，圈圈代表的是實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線是擬合的二次函數(shù)圖像，從該圖中也可以進(jìn)一步了解到表達(dá)式d=0.181 2v+0.006 6v2比較準(zhǔn)確的表示了車速與剎車距離之間的關(guān)系。

圖5

（4）如果將車速的單位轉(zhuǎn)換為m/s，得到的c1=0.652 2，c2=0.085 3，相關(guān)代碼如下圖6。

圖6

由此可以看到系數(shù)c1即駕駛員的反應(yīng)時間的確符合查閱的資料：“在通常情況下，駕駛員的反應(yīng)時間與其注意力集中程度、駕駛經(jīng)驗(yàn)和體力狀態(tài)有關(guān)，平均約為0.5s～1.5s。”

【設(shè)計(jì)意圖】以上利用Matlab 軟件求解系數(shù)c1以及c2的過程，是在完成數(shù)學(xué)建模的第五步即求解模型之后又通過將實(shí)際的車速代入擬合函數(shù)的過程中，完成了數(shù)學(xué)建模的第六步——回到實(shí)際情境驗(yàn)證答案。如果答案不合理則加以改進(jìn)。由于本模型最后經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是比較接近的，所以可以認(rèn)為模型是比較合理的。

以上通過將思考1中的問題進(jìn)行創(chuàng)設(shè)情境之后分解為問題1至問題6，并通過這些問題的解答經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學(xué)建模的過程，教師可以在解決問題的過程中給學(xué)生強(qiáng)調(diào)每一個問題背后所揭示的數(shù)學(xué)建模的步驟以及意義，最后請學(xué)生們一起總結(jié)數(shù)學(xué)建模的步驟（見圖7）。

圖7

五、關(guān)于本教學(xué)案例的反思

本教學(xué)案例的設(shè)計(jì)思路是從教材上的素材出發(fā)，通過將素材延伸或者改編進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，目標(biāo)是將數(shù)學(xué)建模的思想以及方法步驟在課堂上進(jìn)行滲透，從而為之后學(xué)習(xí)必修四并完成一次完整的數(shù)學(xué)建模活動做好鋪墊。

在本課例中，通過將必修一第2 章中關(guān)于汽車剎車距離的引例進(jìn)行改編，采用問題串的方式啟發(fā)學(xué)生思考，從而使學(xué)生了解何為數(shù)學(xué)建模以及如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，在學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用課余時間查閱相關(guān)資料幫助解決問題。

本課例的教學(xué)目標(biāo)是通過具體實(shí)例使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模的含義，由于面對的是高一的學(xué)生，筆者認(rèn)為不宜太過拔高難度，因此在教學(xué)過程中采用的方法是先通過作出散點(diǎn)圖的方式來猜測可能的函數(shù)關(guān)系，這樣做符合學(xué)生在初中就熟知的描點(diǎn)法作圖得到函數(shù)圖像的方法，也是高中階段教材上探求未知函數(shù)圖像的一種重要方法，而由散點(diǎn)圖猜測函數(shù)關(guān)系式，我采用的并不是由二次函數(shù)直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)來得到解析式的方式，理由是這樣缺乏理論支撐，因此，引導(dǎo)學(xué)生利用建模的思想方法進(jìn)行思考，順利進(jìn)入分析問題的步驟。之后在求解模型的過程中的缺憾是系數(shù)的確定，因?yàn)樾枰玫阶钚《朔ǎ虼宋抑荒苤苯痈嬷獙W(xué)生答案，對于有興趣的學(xué)生可以利用課余時間進(jìn)行進(jìn)一步的了解。

另外，在本課例的教學(xué)過程中，筆者還利用駕駛員酒后的反應(yīng)時間至少會增加2～3 倍來告誡學(xué)生安全駕駛的重要性。實(shí)際上，不管是酒駕還是疲勞駕駛都會導(dǎo)致人反應(yīng)遲鈍，從而使司機(jī)的反應(yīng)時間變長，導(dǎo)致的后果是增加了反應(yīng)的距離，繼而增加了剎車距離，作為教師，可以趁此機(jī)會對學(xué)生進(jìn)行生命安全教育。

限于課時的安排，本課例只討論了正常道路情況下的剎車距離與車速的關(guān)系，在實(shí)際行駛過程中，可能還會碰到道路路面的不同情況，例如，結(jié)冰的路面、碎石路面等；上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎等不同的情形下剎車距離與車速的關(guān)系會有什么樣的變化，都是之后可以進(jìn)一步進(jìn)行研究的問題，因此，在課例最后需要強(qiáng)調(diào)在本節(jié)課中所建立的數(shù)學(xué)模型的局限性，還有很多值得思考和探討之處。