含冗余拉索的張拉整體拼接結構變形能力分析

2023-12-16 12:05:14羅阿妮曹紫鶯劉賀平馮亞銘陸金鑫

哈爾濱工業大學學報 2023年12期

羅阿妮,曹紫鶯,劉賀平,馮亞銘,陸金鑫

(哈爾濱工程大學機電工程學院,哈爾濱 150001)

富勒(R.B.Fuller)最早提出“張拉整體”的概念,因該類結構具有輕質、靈活、抗沖擊和可折展等優點[1-4],被廣泛應用于建筑[5]、機器人[6]、可展天線[7]等領域,是研究的熱點問題。法國的Motro給出了較為完善的張拉整體結構的定義:張拉整體結構是由一組離散受壓構件包含于連續的受拉構件中組成的穩定自平衡體系[8-9]。

棱柱式張拉整體結構是最常見的一類, Amendola等[10]對雙材料棱柱式張拉整體結構新的組裝方式和壓縮響應特性進行了研究;Zhang等[11]提出利用棱柱式基本單元構造一類由桿-桿連接組成的大尺度張拉整體結構的方法;Wang等[12]提出了一種利用4棱柱張拉整體結構變形來實現機器人可操縱滾動運動的設計方法;Zhang等[13]提出了一個由4棱柱張拉整體結構和兩個端板組成的變形模塊并實現其對稱/非對稱部署;張沛等[14]用動力松弛法與反分析思想相結合的方式研究了含冗余拉索的棱柱式張拉整體結構成形過程。結構中存在拉索失效時會造成一般張拉整體結構的整體失效,若結構含冗余拉索則會在一定程度上避免此種情況,因此,含冗余拉索的棱柱式張拉整體結構比一般張拉整體結構抗破壞能力強,含冗余拉索的棱柱式張拉整體結構在橋梁建筑、機械臂等領域具有廣泛的應用前景。

驅動結構變形的方式主要分為3種:桿驅動、索驅動和桿-索混合驅動,由于索驅動可保持桿長不變,保證繩索始終受拉力作用,索驅動具有可控性強的優點,是最常用的驅動方式[15]。Fraddosio等[16]研究了由主動索和被動索控制的V形膨脹器的軸向伸縮變化;Chen等[17]提出了節能索驅動策略,通過區分主、被動索的方式以V形膨脹器為例全面分析了結構的受拉、受壓、彎曲、扭轉和剪切變形。

本文選用索驅動的方式對含冗余拉索的棱柱式張拉整體結構的變形能力進行研究,選出能量耗散最少的驅動方式。因為改變結構形狀是打破原有平衡建立新的平衡,過程涉及結構的力學性能分析,現做出如下假設:1)構件受力方向僅沿軸向,不發生轉動,無轉動慣量;2)材料為線彈性材料,變形范圍內截面積保持不變;3)不考慮節點連接處的摩擦。

1 張拉整體結構的力學性能分析

張拉整體基本單元的拓撲示意圖如圖1所示,各構件與節點相連,所有節點均勻分布在上、下端面外接圓上,規則基本單元的上、下端面外接圓的半徑相等,用R表示,基本單元高度為h,端面上相鄰節點繞圓心的夾角稱為單元內轉角,用θ表示,當基本單元桿構件數為p時,單元內轉角θ=2π/p,斜索上端面節點在下端面的投影與斜索下端面節點繞圓心的夾角為扭轉角,用φ表示。

對于圖1結構,有3個索構件和1個桿構件連接于同一節點,在此基礎上,每個節點額外連接一條斜索,則形成了含冗余拉索的張拉整體結構,其拓撲關系如圖2所示。

圖2 含冗余拉索的棱柱式張拉整體結構拓撲示意Fig.2 Topological diagram of prismatic tensegrity structure with redundant cables

圖3 含冗余拉索的棱柱式張拉整體基本單元Fig.3 A prismatic tensegrity basic unit with redundant cables

通過節點坐標和構件與節點之間的連接關系,可得結構的平衡方程如下:

A1t=W

(1)

式中:A1∈R6p×ne為式(1)的平衡算子,ne為構件總數,t∈Rne×1為各構件內力,W∈R6p×1為作用于節點上的外載荷。

單個構件的內力計算公式為[18]

(2)

式中:E為構件的彈性模量,A為構件的截面積,li為第i個構件長度,li0為第i個構件原長,ki為第i個構件的剛度,Δli為第i個構件長度變化量。

張拉整體結構在初始外力w0作用下達到平衡狀態,表達式如下:

Kn0n0=w0

(3)

式中:n0為初始坐標節點矢量矩陣,Kn0為初始剛度矩陣。

當改變外載使之變化為dw或改變索長Δl,則會打破原有平衡狀態產生一個新的平衡,新平衡時滿足如下表達式:

KTn0(nf-n0)=dw

(4)

式中:KTn0為切線剛度矩陣,nf為結構變形后的節點坐標矢量矩陣。

節點坐標的變化量Δn由式(4)可得

(5)

新的節點坐標公式可表示為

nf=n0+Δn

(6)

2 索驅動張拉整體結構變形分析

研究含冗余拉索的棱柱式拼接結構的變形能力,基本單元與拼接結構的主要結構參數見表1。

表1 結構參數Tab.1 Parameters of tensegrity structure

根據表1所示參數,研究由2個含冗余拉索的4棱柱基本單元軸向拼接形成張拉整體結構的變形能力,拼接結構的上、下單元桿構件均為逆時針旋向,且上單元下端面節點與下單元上端面節點重合,將初始節點n1與x軸重合,各節點編號和索構件編號如圖4所示。

圖4 含冗余拉索的4棱柱軸向拼接結構Fig.4 Axial splice structure with redundant cables

圖4所示的雙層拼接結構中索構件與節點的連接關系見表2。

表2 索構件連接關系Tab.2 Connection relationship of cables

依據位置屬性對索構件進行分類,見表3。改變主動索索長,被動索會隨之發生變化,最終實現結構變形,根據主、被動索的不同對索組賦值不同的材料屬性,各構件材料屬性參照文獻[17],見表4。

表3 索構件分類Tab.3 Classification of cables

表4 構件材料屬性Tab.4 Material properties of elements

對棱柱式張拉整體軸向拼接結構進行變形分析,通過收縮被動索索長對結構施加初始預緊力,可以以此計算除主動索外結構初始耗散的彈性勢能U0為

(7)

結構預緊后收縮主動索使結構發生變形,獲得主動索額外做功Wa為

(8)

(9)

收縮索長,會打破結構原有平衡形成新的穩定構型,不同的驅動方式結構變形不同,限制下端面節點z軸方向的自由度,保證上端面4個節點共面的基礎上,研究結構軸向變形與扭轉角變形能力,現定義軸向變形性能參數ε和扭轉變形性能參數ω,參數ε為整體結構高度變化,參數ω為結構上端面與下端面繞z軸的轉角相對于整體結構高度的變化,ε、ω的計算公式分別為:

ε=Δh/H

(10)

ω=γ/H

(11)

式中:Δh為結構變形前、后上端面與下端面形心的高度差,H為拼接結構總高度,γ為上端面與下端面繞z軸的轉角變化。

結合彈性勢能U0、主動索做功Wa、軸向變形性能參數ε和扭轉變形性能參數ω,定義μS和μT的計算公式分別為:

(12)

(13)

μS、μT的表達式在包含能量的基礎上又考慮到結構變形,當μS(或μT)越小時,結構變形過程中能量耗散越小,結構更易發生變形,以此選出索驅動結構變形的最優驅動方式。

3 驅動方式對結構變形的影響分析

選出主、被動索,其余索構件均為普通索,賦值表4所示的材料屬性,收縮被動索索長對結構施加預緊力,后收縮主動索驅動結構發生變形,獲得最終的穩定構型,通過計算被動索能量耗散值U0、主動索能量耗散做功Wa以及變形性能參數ε、ω,得出能實現結構變形的最優驅動方式。

3.1 單一軸向變形

現有4種滿足結構單一軸向變形要求的驅動方式,收縮20%被動索索長對結構預緊,后收縮15%主動索索長實現結構變形,根據表1設置的基本單元高度(h=0.75 m)可以得出2個基本單元拼接結構的高度H=1.50 m,4種驅動方式下的變形結果見表5。

表5 單一軸向變形驅動方式與結果Tab.5 Driving methods and results of single axial deformation

由表5可得,4種驅動方式全部滿足Δh<0,也就是結構是沿軸向被壓縮的,并且,當斜索CD為主動索、CSH作為被動索時,結構的高度變化最大Δh=-0.393 3 m,軸向變形性能參數ε=-0.262 2,在相同變化高度下耗能最少μS=18.140 0,此種驅動方式對單一變形(收縮)效果最好。

為清楚表述結構的最低能耗驅動方式,將驅動方式3的索組構件可視化,如圖5所示。獲得的變形前、后的結構如圖6所示,圖中虛線為變形前結構,實線為變形后結構。

圖5 軸向收縮的最優驅動方式Fig.5 Optimal driving mode of axial shrinkage

圖6 變形前、后結構圖Fig.6 Structure before and after deformation

由圖6可以看出,結構變“矮胖”,結構的高度發生了明顯減小。進一步,可以得到結構預緊后,主動索作用過程中節點坐標變化趨勢和各類構件內力變化趨勢,分別如圖7、8所示。

圖7 預緊后節點(n9)坐標Fig.7 Nodal coordinate (n9) after prestress

由圖7可以看出,節點n9的x軸坐標和y軸坐標基本保持不變,z軸坐標隨著迭代步數的增加而逐漸減小。由圖8可得,結構預緊后構件已具備內力,隨著主動索索長減小,結構的單個構件內力大小逐漸增加,桿構件提供支持力,其內力大小始終為負值,索構件提供拉力,其內力大小始終為正值,并且,對于3組索構件而言,中間水平索的內力始終最大。

圖8 預緊后結構內力變化曲線Fig.8 Curve of structural internal force after prestress

3.2 軸向與扭轉的復合變形

棱柱式張拉整體結構最常見的復合變形是軸向變形與扭轉變形的組合,與單一軸向變形的操作方式相同,先收縮20%被動索索長對結構進行預緊,后收縮5%主動索索長實現結構變形,表6為軸向與扭轉復合變形的驅動方式和結果。

表6 軸向與扭轉復合變形的驅動方式與結果Tab.6 Driving methods and results of composite axial and torsional deformation

通過對表6分析可得:

1)驅動方式1的主動索為中間水平索CSH,驅動方式2的主動索為上、下端面水平索CBH,兩種驅動方式的被動索皆為斜索CD,雖然兩種驅動方式的主動索不同,但實現的變形效果基本相同,其高度變化為Δh=-0.060 6 m,相較于表中所列其他驅動方式,驅動方式2能夠實現結構的最大扭轉變形,最大扭轉角γ=35.219 0°。

2)驅動方式3、4的主動索分別為與桿構件旋向相同的下、上基本單元斜索,被動索為剩余斜索構件,兩種驅動方式實現的驅動效果一致,其中μS=112.827 2、μT=-0.685 0,從數值上看μS遠大于μT,說明主動索為旋向與桿構件旋向相同的斜索時結構更易發生扭轉變形。

3)驅動方式5將驅動方式3、4進行疊加,將主動索設置為旋向與桿構件旋向相同的斜索,被動索為結構中剩余斜索構件,但并未實現高度變化Δh和扭轉角變化γ加倍的情況,Δh和γ較驅動方式3、4減小,μS和μT較驅動方式3、4增大,能量耗散大,不利于結構變形。

4)復合變形的最優驅動方式為驅動方式6、7,主動索分別為與桿構件旋向相反的下、上基本單元斜索,被動索為剩余斜索,2種驅動方式實現的結構變形效果相同:高度變化為Δh=-0.081 7 m,扭轉角變化γ=21.727 9°。驅動方式8是驅動方式6、7的疊加,其高度差Δh和扭轉角變化γ數值上較驅動方式6、7減小近乎1/2,在能量耗散方面也較驅動方式6、7差。

最優復合變形驅動方式7如圖9所示,結構變形如圖10所示,虛線與實線分別表示變形前、后結構。