在高中幾何教學(xué)中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的實(shí)踐

【摘要】本文以高中數(shù)學(xué)習(xí)題課“立體幾何中的體積問(wèn)題”為例，論述在幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的途徑：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“轉(zhuǎn)面”和“轉(zhuǎn)點(diǎn)”兩種技巧，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象的圖形直觀化，在探究中找到通法，在變式中感悟問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 體積問(wèn)題 解題研究

變式教學(xué) 核心素養(yǎng) 立體幾何教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）29-0068-04

自2018年教育部提出學(xué)科核心素養(yǎng)以來(lái)，一線教學(xué)中如何有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)成了各學(xué)校、教研組和一線教師思考的問(wèn)題。全國(guó)各地的數(shù)學(xué)教研員和數(shù)學(xué)教師通過(guò)開展視導(dǎo)課、研討課、優(yōu)質(zhì)課賽課等形式多樣的教研活動(dòng)研究課堂教學(xué)和解讀數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。運(yùn)用等體積法求解體積問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，此內(nèi)容與空間中點(diǎn)、線、面的位置，以及公理定理等知識(shí)關(guān)聯(lián)緊密，對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)具有促進(jìn)作用。本文分享筆者參加“深耕課堂、品質(zhì)教研”核心素養(yǎng)下青年教師大賽，榮獲南寧市開發(fā)區(qū)一等獎(jiǎng)的研討課教學(xué)設(shè)計(jì)——“立體幾何中的體積問(wèn)題”。該課例引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)求解三棱錐的體積以及其他一般幾何體的體積，體會(huì)其中重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)

（一）基于對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的研讀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。“立體幾何中的體積問(wèn)題”一課，主要聚焦數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)抽象數(shù)量關(guān)系與空間形式，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)。因此本課擬呈現(xiàn)第一題組，重點(diǎn)闡述“轉(zhuǎn)面”的方法。“轉(zhuǎn)面”指的是找到有線面垂直關(guān)系的面作為幾何體底面。在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師首先呈現(xiàn)高考真題，再改編條件引導(dǎo)學(xué)生思考，通過(guò)解答題組與歸納，總結(jié)出能夠作為“垂面”的幾何面的一般特征，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“轉(zhuǎn)面”結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探討解決問(wèn)題的思路。因此，本課擬呈現(xiàn)第二題組，重點(diǎn)闡述“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的方法。“轉(zhuǎn)點(diǎn)”指的是通過(guò)平行關(guān)系等距轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，或通過(guò)相似，利用相似比轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)。立體幾何涉及三大距離：點(diǎn)面距離、線面距離以及面面距離，通過(guò)設(shè)置動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，在學(xué)習(xí)面面距離時(shí)設(shè)計(jì)動(dòng)畫讓學(xué)生能夠直觀觀察，總結(jié)出“平行轉(zhuǎn)化”和“比例轉(zhuǎn)化”兩種解決具體問(wèn)題的基本模型，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，進(jìn)而解決。

（二）基于引導(dǎo)學(xué)生思維自然發(fā)展的思考

數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含著思維的體操、知識(shí)的傳導(dǎo)、方法的掌握和思想的領(lǐng)悟等，這些都有助于學(xué)生思維的發(fā)展。筆者一直秉持以生為本的理念，致力于站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)符合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)流程，自然而有層次地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

筆者在《數(shù)列課堂教學(xué)中教師思維引導(dǎo)的理論與實(shí)踐研究》一文中曾嘗試根據(jù)教師在課堂教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展的情況，結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》中目標(biāo)動(dòng)詞層次劃分，進(jìn)一步對(duì)“自然度”進(jìn)行以下六個(gè)層次的描述。

自然度0：學(xué)生不知道基本的知識(shí)，如概念、原理等，無(wú)法參與教學(xué)活動(dòng)，不能理解教師所講解的知識(shí)及過(guò)程、結(jié)論。

自然度1：學(xué)生能了解教師的教學(xué)過(guò)程，通過(guò)模仿經(jīng)歷教學(xué)過(guò)程，對(duì)教師的觀點(diǎn)和教學(xué)過(guò)程持認(rèn)同的態(tài)度。

自然度2：學(xué)生理解教師所教知識(shí)內(nèi)容，并嘗試獨(dú)立完成，能在教師的指導(dǎo)下領(lǐng)悟教學(xué)內(nèi)容。

自然度3：學(xué)生能解釋知識(shí)內(nèi)容，能對(duì)內(nèi)容進(jìn)行整理，形成自己的認(rèn)知形式。

自然度4：學(xué)生能提取出其中的核心知識(shí)，對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行清晰的分析，并能樹立正確的價(jià)值觀。

自然度5：學(xué)生可以用聯(lián)系的方法來(lái)理解所學(xué)內(nèi)容，并能遷移運(yùn)用，能對(duì)教學(xué)過(guò)程做出正確的評(píng)價(jià)，發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。

因此，本節(jié)課擬從復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)入手，做好教學(xué)活動(dòng)鋪墊，在變式教學(xué)中搭建合適的教學(xué)階梯——等體積轉(zhuǎn)換求同一三棱錐體積，為使教學(xué)由自然度0不斷提升至自然度5鋪墊。第一題組為直接求體積、“轉(zhuǎn)面”，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)“比例轉(zhuǎn)換”，將所求圖形的高轉(zhuǎn)換為已知高，促使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)更易突破難點(diǎn)。第二題組無(wú)法直接“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，教師需提出問(wèn)題并搭建教學(xué)支架：線面平行則直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，從而實(shí)現(xiàn)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，接著再“轉(zhuǎn)面”，最后將問(wèn)題從三棱錐這一特殊空間幾何體遷移至四棱錐等更一般的幾何體中，促使學(xué)生對(duì)體積問(wèn)題有更深層次的認(rèn)識(shí)。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，注重變式和問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，使學(xué)生的思維得到有效發(fā)展，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)質(zhì)疑、思考，發(fā)展創(chuàng)造性思維，有機(jī)會(huì)思考和提出自己的見(jiàn)解。在最佳時(shí)機(jī)，教師提供恰當(dāng)?shù)乃季S引導(dǎo)，如強(qiáng)化運(yùn)算、模仿等，促進(jìn)學(xué)生深入地思考問(wèn)題內(nèi)在的邏輯。在思維引導(dǎo)過(guò)程中，教師要遵循思維循序漸進(jìn)發(fā)展的規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)到某個(gè)階段自然地想到解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生的思維自然地獲得發(fā)展。

在此教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者主要以一道高考真題為原型進(jìn)行改編，讓學(xué)生在變式中體會(huì)“轉(zhuǎn)面”“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的依據(jù)和原理，找出其中的一般規(guī)律，提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

（一）教材分析及學(xué)情分析

本節(jié)課內(nèi)容為高中數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)。解答體積問(wèn)題對(duì)學(xué)生空間立體感要求較高，要求學(xué)生能夠理解并靈活運(yùn)用公理和定理。學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)復(fù)習(xí)了通過(guò)直接法求幾何體體積，本節(jié)課著重分析從“轉(zhuǎn)面”和“轉(zhuǎn)點(diǎn)”兩個(gè)角度求錐體體積的“等體積法”。

（二）教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：一是掌握運(yùn)用等體積法中“轉(zhuǎn)面”的方法求三棱錐體積；二是掌握運(yùn)用“轉(zhuǎn)點(diǎn)”中的平行轉(zhuǎn)移和比例轉(zhuǎn)換求幾何體體積；三是體會(huì)在求解體積過(guò)程中的轉(zhuǎn)化思想。

本課重點(diǎn)共兩個(gè)：一是掌握利用“轉(zhuǎn)面”“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的方法求幾何體體積；二是體會(huì)求解過(guò)程中的轉(zhuǎn)化思想。本課難點(diǎn)也是兩個(gè)：一是利用等體積法求幾何體體積時(shí)如何“轉(zhuǎn)面”；二是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”過(guò)程中，理解平行轉(zhuǎn)換中的高的不變性、比例轉(zhuǎn)換中高成相似比。

（三）設(shè)計(jì)思路

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，將高考真題改編為例1，隨后變式為例2。例1介紹通過(guò)“轉(zhuǎn)面”實(shí)現(xiàn)等積轉(zhuǎn)換，例2主要通過(guò)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”實(shí)現(xiàn)等積轉(zhuǎn)換或者體積比例轉(zhuǎn)換。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）“轉(zhuǎn)面”

例1：如圖1，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，△PAD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐A-PBC的體積。

變式：如圖2，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，△PAD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，M為AP中點(diǎn)，求三棱錐A-MBC的體積。

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)幾何體所給面上找不到高或者不好求高時(shí)，分析題目條件，可以將有線面垂直關(guān)系的面作為底面。本題組重點(diǎn)介紹等體積法中利用“轉(zhuǎn)面”求幾何體體積的方法，在變式中用中點(diǎn)引出比例轉(zhuǎn)換（如上頁(yè)圖3所示），為后面比例轉(zhuǎn)換做鋪墊。

鞏固練習(xí)：1.如圖4，在三棱錐中，△ABC為等邊三角形，AB=2，PA=1，∠PAC=∠PAB=60°，求三棱錐P-ABC的體積。

2.（2019年全國(guó)I卷，理科，第18題）如圖5，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點(diǎn)。（1）證明MN∥平面C1DE。（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

【設(shè)計(jì)意圖】給出兩個(gè)不同類型的幾何體，師生合作分析如何“轉(zhuǎn)面”，找出有垂線的面，突破第一個(gè)難點(diǎn)。在“轉(zhuǎn)面”的過(guò)程中總結(jié)得出：將幾何體中的懸空面轉(zhuǎn)換到原幾何體的表面，則可以運(yùn)用原直棱柱線面垂直的條件求解，這是“轉(zhuǎn)面”常用的方法，同時(shí)為第二題組中先“轉(zhuǎn)面”，進(jìn)而再“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的綜合應(yīng)用做鋪墊。

（二）“轉(zhuǎn)點(diǎn)”

例2：如圖6，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且AP=1，AB=2，AD=[3]，M、N分別為PD、PB的中點(diǎn)。（1）證明PB//平面AMC；（2）求四面體AMNC的體積。

分析1：四面體的四個(gè)面為懸空面，找垂面為第一個(gè)難點(diǎn)。

分析2：解答第一問(wèn)時(shí)，連接BD與AC交于點(diǎn)Q，易證PB//MQ，于是PB//平面AMC，因此PB上的點(diǎn)到平面AMC的距離相等，從而可以將N點(diǎn)轉(zhuǎn)為B點(diǎn)或P點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)將懸空面轉(zhuǎn)換為幾何體表面。這里運(yùn)用了平行等距轉(zhuǎn)換。

【設(shè)計(jì)意圖】在例1的基礎(chǔ)上變式，幾何體中每個(gè)面都沒(méi)有垂直關(guān)系，介紹通過(guò)平行轉(zhuǎn)移的方法“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。在此過(guò)程中也介紹“轉(zhuǎn)點(diǎn)”過(guò)程中常用的第二種方法——比例轉(zhuǎn)換求體積。

鞏固練習(xí)：1.如圖7，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，求四面體BDPC1的體積。

2.如圖8，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是AC′的中點(diǎn)，點(diǎn)E是B′C′的中點(diǎn)。（1）求證：DE∥平面ABB′A′；（2）若△ABC的面積為[3]，三棱柱ABC-A′B′C的高為3，求三棱錐D-BCE的體積。

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固練習(xí)1考查平行轉(zhuǎn)換“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，鞏固練習(xí)2考查比例轉(zhuǎn)換“轉(zhuǎn)點(diǎn)”。師生合作分析如何“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，突破第二個(gè)難點(diǎn)。還可以運(yùn)用割補(bǔ)法作差求解鞏固練習(xí)2，幫助學(xué)生完善解答幾何體體積的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（三）布置課后作業(yè)，拓展提升

1.如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的是（? ）。

①直線AP//平面A1C1D；②三棱錐P-A1C1D的體積為定值；③若M為AP上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐M-A1C1D不是定值。

2.如圖10，四邊形ABCD中，AB//CD，BC=CD=DA=[12]，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，以DE為折痕將△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)。（1）求證：PD//平面CEF；（2）求三棱錐P-DEF的體積。

【設(shè)計(jì)意圖】課后作業(yè)共兩道題，學(xué)生需綜合運(yùn)用“轉(zhuǎn)面”“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的方法求體積，考查學(xué)生對(duì)本節(jié)課重難點(diǎn)的掌握程度，同時(shí)讓學(xué)生接觸高考題型中的不定項(xiàng)選擇題。

（四）課堂小結(jié)

教師運(yùn)用思維導(dǎo)圖，帶領(lǐng)學(xué)生梳理、總結(jié)與立體幾何中的體積問(wèn)題有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本題型和基本數(shù)學(xué)思想方法（如下頁(yè)圖11所示）。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課主要呈現(xiàn)兩個(gè)題組：題組一考查“轉(zhuǎn)面”等體積轉(zhuǎn)換，主要為在幾何體所給底面找不到高或高不好求的情況下，將有線面垂直關(guān)系的面轉(zhuǎn)化為底面，求出高，進(jìn)而等積求解；題組二考查“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，主要分析當(dāng)幾何體中沒(méi)有直接可以找到高的面時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“轉(zhuǎn)面”、求體積，主要介紹常用的平行轉(zhuǎn)換和比例轉(zhuǎn)換。

鞏固練習(xí)題組注重難度遞進(jìn)，選題注重幾何體的多樣性，符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的發(fā)展學(xué)生基本素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生空間想象能力的要求。題目涉及解三角形，這是求高、求面積的常用方法。采用這種方法既可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)函數(shù)知識(shí)，又可以強(qiáng)化學(xué)生解答立體幾何問(wèn)題的能力。

課后作業(yè)中的兩道拓展練習(xí)題，給學(xué)生課后思考指明方向，學(xué)生可以綜合運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的多種方法進(jìn)行解答。這些方法可以提升學(xué)生分析圖形和數(shù)學(xué)計(jì)算的能力，使其領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

作者簡(jiǎn)介：李婷（1989— ），湖南長(zhǎng)沙人，碩士，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)研究和德育研究。

（責(zé)編 劉小瑗）