從淺層整理走向深度復(fù)習(xí)

謝姣

單元復(fù)習(xí)往往涉及數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化，是學(xué)生形成與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效手段。如何讓單元復(fù)習(xí)從淺層整理走向深度復(fù)習(xí)呢？筆者以人教版數(shù)學(xué)五年級上冊《“多邊形的面積”整理和復(fù)習(xí)》教學(xué)為例，談一談單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略。

一、精準前測，理清復(fù)習(xí)目標

課前，筆者讓學(xué)生自主整理“多邊形的面積”相關(guān)知識，完成單元思維導(dǎo)圖，進而了解到學(xué)生對單元知識的掌握情況：95%的學(xué)生能正確寫出已學(xué)習(xí)的平面圖形面積公式；87%的學(xué)生能用圖示或文字表述面積公式的推導(dǎo)過程；50%的學(xué)生作品呈現(xiàn)了面積公式的變式，即已知面積求高或底的公式；45%的學(xué)生作品整理了相關(guān)結(jié)論或規(guī)律，如“等底等高的平行四邊形，面積一定相等，形狀不一定相同”“三角形的面積是等底等高的平行四邊形面積的一半”等。這說明平面圖形的面積公式及公式推導(dǎo)不是復(fù)習(xí)重點。

本單元的復(fù)習(xí)重點是什么？需要突破的難點又是什么呢？筆者設(shè)計以下前測題，要求全班45名學(xué)生在8分鐘內(nèi)完成。

如圖1，先圈出圖中你認為有用的信息，再計算各圖形的面積。（單位：dm）

分析前測題作答情況，筆者發(fā)現(xiàn)以下4種錯誤情況：①計算結(jié)果不寫面積單位的有6人；②算式正確，計算出錯的有2人；③三角形的面積公式寫錯即沒有“除以2”的有1人；④公式用對，但對應(yīng)的高或底選錯的人最多，有6人（8題）。可見，學(xué)生最大的知識漏洞是對平面圖形特征以及對應(yīng)的底與高的理解不深入。具體到每道題，學(xué)生因數(shù)據(jù)選擇失誤而導(dǎo)致錯誤的情況如下：3人次做錯第②題，1人次做錯第③題，2人次做錯第④題，2人次做錯第⑤題。由此，筆者認為本單元的復(fù)習(xí)目標不能停留在對面積公式的淺層回顧和重復(fù)練習(xí)上，而應(yīng)放在面積公式的應(yīng)用及平面圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系上，幫助學(xué)生構(gòu)建平面圖形面積的知識體系。

鑒于此，筆者確立以下復(fù)習(xí)目標：①通過復(fù)習(xí)多邊形面積公式，進一步掌握面積計算方法，提高解決實際問題的能力；②通過整理平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)過程，進一步理解多邊形面積公式之間的聯(lián)系，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；③通過進一步認識梯形面積公式，構(gòu)建平面圖形面積的知識體系，感知函數(shù)思想，發(fā)展空間觀念。其中，第3條是單元復(fù)習(xí)的難點。

二、以學(xué)定教，挖掘復(fù)習(xí)深度

良好的認知結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生及時提取知識，解決問題。如何幫助學(xué)生在整理與復(fù)習(xí)中構(gòu)建平面圖形面積的知識體系，形成良好的認識結(jié)構(gòu)呢？

課堂上，筆者先引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注課前梳理的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生說一說思維導(dǎo)圖中整理了哪些平面圖形的面積公式，并呈現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，以及它們的面積公式。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生從中選擇一個圖形，說出該圖形面積公式的推導(dǎo)過程，并用課件同步呈現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化的動態(tài)過程，如根據(jù)長方形面積公式推導(dǎo)出正方形和平行四邊形面積公式的過程等。在回顧與整理的過程中，零散的知識點被有序聯(lián)結(jié)起來，學(xué)生再次感悟到轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用。

然后，筆者提出關(guān)鍵問題：“如果從中選擇一個圖形，你認為哪個圖形最重要？為什么？”稍加思考后，一名學(xué)生回答：“我認為平行四邊形最重要。因為三角形和梯形的面積公式都是通過轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出來的。”另一名學(xué)生說：“我選長方形。雖然平行四邊形很重要，但它也是先轉(zhuǎn)化成長方形才推導(dǎo)出面積公式的，所以長方形是推導(dǎo)其他幾種圖形面積公式的基礎(chǔ)。”筆者引導(dǎo)：“大家說的都有道理，但老師選擇了梯形，因為梯形面積公式可以用來計算另外4種圖形的面積。”面對學(xué)生疑惑的神色，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過以下三個步驟展開探究。

第一步，動畫演示，初步發(fā)現(xiàn)。筆者用動畫演示方格圖中梯形上底變化而形成新圖形的過程，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：當上底為0時，梯形變身為三角形；當上底和下底相等時，梯形變身為平行四邊形；當上底和下底相等且兩腰垂直于底時，梯形變身為長方形。

第二步，代入數(shù)據(jù)，初步驗證。筆者在變動梯形上底的同時代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，用梯形面積公式計算每一次變化后的圖形面積，引導(dǎo)學(xué)生初步感知梯形面積公式的通用性。

第三步，梳理聯(lián)結(jié)，對比優(yōu)化。如圖2所示，筆者以梯形為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長方形、正方形等平面圖形的邊的特征，分別用字母表示邊長并代入梯形面積公式中，使學(xué)生通過觀察、對比，進一步理解梯形面積公式的通用性。

最后，筆者提問：“既然梯形面積公式是通用的，為什么還要推導(dǎo)三角形、平行四邊形各自的面積公式呢？學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)，上圖中代入字母的4個公式經(jīng)過化簡就轉(zhuǎn)化成常用的圖形面積公式，從而使表達更簡便。

以上教學(xué)，教師基于梯形、三角形和平行四邊形的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生借助梯形面積公式，重新整理各平面圖形的面積公式，使學(xué)生對平面圖形面積公式形成了整體認知，構(gòu)建了平面圖形面積的知識體系。

三、以練促思，拓寬思維廣度

練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者將前測情況反饋給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生分析典型錯例并訂正。在“化錯”的過程中，學(xué)生認識到要正確解決平面圖形面積的問題，僅僅記住公式是不夠的，還要理解平面圖形底與高的對應(yīng)關(guān)系，選擇合理的數(shù)據(jù)，并且要認真計算，養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣。

之后，筆者借助動畫調(diào)整前測中各圖形的位置（如圖3）。通過對比，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)：原來這些圖形都是等高的，而且前5個圖形面積相等。

為什么會這樣呢？它們的底又有什么關(guān)系呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這些圖形等高時，因為上底與下底的和相等，所以面積也相等。不僅如此，學(xué)生還驗證了之前在思維導(dǎo)圖中呈現(xiàn)的規(guī)律：等底等高時，三角形的面積是平行四邊形面積的一半；等積等高時，三角形的底是平行四邊形底的2倍。

理解幾種平面圖形面積間的內(nèi)在聯(lián)系后，學(xué)生解決“在格子圖中畫與給定平行四邊形等積等高的梯形和三角形”的問題變得容易多了，因為他們已經(jīng)理解了“要滿足面積相等，可以在保證等高的前提下，使梯形上底與下底的和等于平行四邊形上底與下底的和”。對三角形而言，如果三角形的底是8厘米，與之面積相等的平行四邊形或梯形的上底與下底之和也應(yīng)該是8厘米。隨后，筆者借助教材中計算組合圖形面積的習(xí)題（第101頁第2題），幫助學(xué)生鞏固平面圖形的面積公式，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題。通過計算和多樣化方法的交流，學(xué)生明確：不論是將組合圖形分割成多個已經(jīng)學(xué)習(xí)的圖形后計算面積和，還是將組合圖形添補成已經(jīng)學(xué)習(xí)的圖形后計算面積差，都要把組合圖形轉(zhuǎn)化成面積公式已知的規(guī)則圖形。

（作者單位：武漢市光谷第十七小學(xué)）

責(zé)任編輯 ?劉佳