基于差分陣列的雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)高分辨多維參數(shù)估計

潘小義 謝前朋 孟曉明 陳吉源 艾 夏 劉佳琪

①(國防科技大學(xué)電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點實驗室 長沙 410073)

②(解放軍 95913部隊 沈陽 110041)

③(陸軍裝備部駐南京地區(qū)軍事代表局駐上海地區(qū)第二軍事代表室 上海 200031)

④(試驗物理與計算數(shù)學(xué)國家重點實驗室 北京 100076)

1 引言

近年來，雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的多維參數(shù)估計問題得到了廣泛的研究[1–5]。由于發(fā)射陣列和接收陣列均是電磁矢量傳感器，相比于原始的雙基地MIMO雷達(dá)，雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)不僅能夠?qū)崿F(xiàn)2維發(fā)射角和2維接收角的角度參數(shù)估計，還能夠?qū)崿F(xiàn)發(fā)射/接收極化角和發(fā)射/接收極化相位差的估計。為了實現(xiàn)對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的發(fā)射4維參數(shù)和接收4維參數(shù)的估計，文獻(xiàn)[1]首先提出ESPRIT算法，該算法通過利用Khatri-Rao乘積的性質(zhì)重構(gòu)EMVS的空間響應(yīng)，從而實現(xiàn)發(fā)射/接收方位角，發(fā)射/接收極化角，發(fā)射/接收極化相位差的估計。為了降低角度參數(shù)和極化參數(shù)求解過程中的計算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[2]提出PM算法，該算法的優(yōu)勢在于使用低維的數(shù)據(jù)來實現(xiàn)對接收數(shù)據(jù)模型信號子空間的近似。文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步對PM算法進(jìn)行修正，提出發(fā)射4維參數(shù)和接收4維參數(shù)自動配對的PM算法。通過對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)陣列接收數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特性的利用，文獻(xiàn)[4]基于3階張量模型提出平行因子分解算法。文獻(xiàn)[5]通過把陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣構(gòu)建成4階張量模型，提出高階奇異值分解算法。高階奇異值分解算法的優(yōu)勢在于較好的參數(shù)估計性能，但算法的計算復(fù)雜度較高。針對相關(guān)信源的多維參數(shù)估計問題，文獻(xiàn)[6]基于空間平滑技術(shù)來實現(xiàn)對發(fā)射角和接收角的角度參數(shù)估計。文獻(xiàn)[7]利用極化多樣性平滑技術(shù)來實現(xiàn)去相關(guān)操作。文獻(xiàn)[8]通過把發(fā)射/接收空間響應(yīng)矩陣合并到信號矩陣中來構(gòu)建新的接收信號模型，然后對該信號模型進(jìn)行解相關(guān)處理獲得相應(yīng)的發(fā)射角和接收角的角度參數(shù)估計。但是，文獻(xiàn)[6–8]中所提的算法無法實現(xiàn)對相關(guān)信源的發(fā)射/接收方位角，發(fā)射/接收極化角，發(fā)射/接收極化相位差的估計。文獻(xiàn)[9]通過構(gòu)建廣義空間平滑矩陣實現(xiàn)了對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中相關(guān)信源的8維參數(shù)有效估計。文獻(xiàn) [10–12]通過把稀疏陣列結(jié)構(gòu)應(yīng)用于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列來實現(xiàn)對角度參數(shù)和極化參數(shù)的有效估計。

從以上分析可以看出，針對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的多維參數(shù)估計問題，眾學(xué)者提出了各種有效的算法。但是，以上文獻(xiàn)所提的算法均是基于原始的陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的信號處理。根據(jù)文獻(xiàn)[13–18]，原始陣列的差分陣列結(jié)構(gòu)能夠進(jìn)一步提升陣列的孔徑。對于M元半波長均勻線性陣列，其差分陣列的自由度為 2M-1 。因此，為了進(jìn)一步提升雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的多維參數(shù)估計性能，本文利用發(fā)射/接收EMVS陣列的差分結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)高分辨的多維參數(shù)的估計。在雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中，構(gòu)建發(fā)射/接收EMVS的差分陣列的難點在于空間響應(yīng)矩陣與陣列導(dǎo)向矩陣的耦合。因此，為了有效地構(gòu)建發(fā)射/接收EMVS陣列的差分陣列，需利用高階張量來對陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。張量結(jié)構(gòu)能夠充分地體現(xiàn)出接收數(shù)據(jù)的多維空時特性[19–22]。首先，通過對5階張量陣列接收數(shù)據(jù)在時間維上進(jìn)行張量外積處理獲得一個8階張量。然后對該8階張量進(jìn)行張量順序交換和高階張量縮并操作獲得一個新的5階張量，該5階張量結(jié)構(gòu)包含了發(fā)射/接收EMVS的差分陣列。再進(jìn)一步地利用選擇矩陣和張量縮并運算規(guī)則可以獲得一個新的3階張量模型，該3階張量模型的第3個維度為36。最后，通過利用平行因子分解算法來實現(xiàn)對發(fā)射/接收因子矩陣進(jìn)行求解來獲得相應(yīng)的發(fā)射/接收4維參數(shù)。仿真實驗表明，借助張量處理獲得的差分陣列結(jié)構(gòu)能夠有效地提升雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的多維參數(shù)估計性能。

文中 (·)T, (·)H, (·)-1和 (·)?分別表示轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置、矩陣求逆和矩陣偽逆操作；⊕,?,⊙和?分別表示Hadamard乘積、Kronecker乘積、Khatri-Rao乘積和矢量外積操作；I和1分別表示單位矩陣和全1矩陣； ∠ 和 real(·)分別表示取角度和取實部操作。

2 信號模型

如圖1所示，假設(shè)雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)系統(tǒng)包含M個發(fā)射陣列和N個接收陣列，且相鄰發(fā)射EMVS和相鄰接收EMVS的陣元間距為半個波長。

圖1 雙基地 EMVS-MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)

圖2 不同算法的計算復(fù)雜度隨快拍數(shù)的變化

對于K個空中目標(biāo)，發(fā)射EMVS和接收EMVS的陣列導(dǎo)向矢量可以分別表示為

其中，θtk表示發(fā)射俯仰角，θrk表示接收俯仰角，且(θtk,θrk)∈[0,π)；?tk表示發(fā)射方位角，?rk表示接收方位角，且(?tk,?rk)∈[0,2π)；γtk表示發(fā)射極化角，γrk表示接收極化角，且 (γtk,γrk)∈[0,π/2)；ηtk表示發(fā)射極化相位差，ηrk表示接收極化相位差，且(ηtk,ηrk)∈[-π,π),k=1,2,...,K；qtk=[1,ejπsinθtk,...,ejπ(M-1)sinθtk]T和qrk=[1,ejπsinθrk,...,ejπ(N-1)sinθrk]T分別表示發(fā)射和接收陣列導(dǎo)向矢量；ctk(θtk,?tk,γtk,ηtk)和crk(θrk,?rk,γrk,ηrk)分別表示發(fā)射和接收空間響應(yīng)矢量。對于一個EMVS，其空間響應(yīng)c(θ,?,γ,η)的詳細(xì)形式為

其中，F(xiàn)(θ,?)∈C6×2表 示空間角度位置矩陣，g(γ,η)∈C2×1表示極化狀態(tài)矢量。因此，對于雙基地EMVSMIMO雷達(dá)，其單快拍陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

其中，Qt=[qt1,qt2,...,qtK]表示發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量矩陣，Qr=[qr1,qr2,...,qrK]表示接收陣列導(dǎo)向矢量矩陣，Ct=[ct1,ct2,...,ctK]表示發(fā)射空間響應(yīng)矩陣，Cr=[cr1,cr2,...,crK]表示接收空間響應(yīng)矩陣，s(t) 是入射信號，n(t)為噪聲信號。

對于L個采樣快拍，多快拍陣列接收數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步表示為

其中，At=Qt⊙Ct=[at1,at2,...,atK],Ar=Qr⊙Cr=[ar1,ar2,...,arK] 。從式(5)可以看出，At⊙Ar的維度為 C36MN×K，且陣列接收數(shù)據(jù)Y滿足多維張量結(jié)構(gòu)特性。為了實現(xiàn)對雙基地E M V SMIMO雷達(dá)中的多維參數(shù)估計，下面利用高階張量來構(gòu)建對應(yīng)于Qt和Qr的差分陣列結(jié)構(gòu)。

3 基于差分陣列的高分辨8維參數(shù)估計

3.1 發(fā)射/接收EMVS差分陣列的構(gòu)建

從式(5)可以看出，為了實現(xiàn)對Qt和Qr的差分陣列結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，必須實現(xiàn)對Qt和Ct,Qr和Cr的解耦合處理。首先，為了充分利用陣列接收數(shù)據(jù)Y中的多維空時結(jié)構(gòu)，一個5階張量χ可以表示為

進(jìn)一步地，通過利用文獻(xiàn)[19–22]中的張量縮并規(guī)則，從8階張量?1中可以得到如下的5階張量

故，為了得到唯一的陣列元素，通過利用選擇矩陣J1和J2來實現(xiàn)對重復(fù)元素的去除，J1和J2的構(gòu)建可以參考文獻(xiàn)[14]中差分陣列的元素對應(yīng)的不同權(quán)重來實現(xiàn)。因此，去除重復(fù)元素之后新構(gòu)建的5階張量為

從式(13)和式(14)可以看出，發(fā)射EMVS和接收EMVS的差分陣列有效地實現(xiàn)了陣列自由度的提升。再次利用張量的縮并規(guī)則，可以得到如式(15)的3階張量模型

3.2 高分辨多維參數(shù)估計

因此，經(jīng)過以上的處理過程可以得到相應(yīng)的發(fā)射4維參數(shù) (θtk,?tk,γtk,ηtk),k=1,2,...,K。并且，以上處理過程得到的參數(shù)不需要額外的角度參數(shù)配對過程。

3.3 CRB，計算復(fù)雜度和最大可分辨信源數(shù)分析

對于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)，其發(fā)射4維參數(shù)(θt,?t,γt,ηt) 和接收4維參數(shù) (θr,?r,γr,ηr)的克拉默-拉奧羅界(CRB) 可以表示為[5]

其中，A=(At⊙Ar)表示發(fā)射E M V S 和接收EMVS的聯(lián)合發(fā)射接收矩陣，ΠA⊥=I36MN-AA?表示矩陣A的投影矩陣，⊕表示 Hadamard 乘積，Rs表示多快拍信號協(xié)方差矩陣，18×8表示維度為8×8 的 全1矩陣。D表示聯(lián)合發(fā)射接收矩陣A對4維發(fā)射參數(shù) (θt,?t,γt,ηt) 和 4維接收參數(shù) (θr,?r,γr,ηr)的聯(lián)合導(dǎo)數(shù)矢量矩陣。

最大可分辨信源數(shù)：根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的Kruskal’s定理，為了實現(xiàn)公式(15)中3階張量分解的唯一性，最大可分辨的信源個數(shù)為K應(yīng)該滿足如式(30)的條件

同時，最大可分辨的信源數(shù)K也應(yīng)該滿足在求解發(fā)射俯仰角和接收俯仰角時構(gòu)建的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系，即

結(jié)合式(31)和式(32)可以看出，最大可分辨的信源數(shù)K為

因此，經(jīng)過分析可以看出，本文所提算法能夠有效地實現(xiàn)雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中陣列自由度的提升。

4 仿真實驗

實驗1 多維參數(shù)估計性能

仿真實驗中發(fā)射EMVS陣列的個數(shù)M設(shè)置為9，接收EMVS陣列的個數(shù)N設(shè)置為10。假設(shè)入射的獨立非相關(guān)信源個數(shù)K=5，其相應(yīng)的發(fā)射4維參數(shù)(θt,?t,γt,ηt) 和接收4維參數(shù) (θr,?r,γr,ηr)分別為θt=[10?:15?:70?],?t=[5?:15?:65?],γt=[15?:15?:75?],ηt=[23?:15?:83?],θr=[15?:15?:75?],?r=[10?:15?:70?],γr=[15?:15?:75?]和ηr=[20?:15?:80?]。另外，信噪比和快拍數(shù)分別設(shè)置為10 dB和200。噪聲設(shè)置為獨立非相關(guān)高斯白噪聲，且噪聲與信號相互獨立。

圖3(a)和圖3(b)中的星座圖分別表示2維發(fā)射角和2維接收角的角度參數(shù)配對情況，圖3(c)和圖3(d)中的星座圖分別表示發(fā)射俯仰角和發(fā)射方位角，發(fā)射極化角和發(fā)射極化相差配對情況，圖3(e)和圖3(f)中的星座圖分別表示接收俯仰角和接收方位角，接收極化角和接收極化差位配對情況。因此，從圖3的仿真實驗可以看出，文中所提算法能夠有效地實現(xiàn)對發(fā)射4維參數(shù)和接收4維參數(shù)的估計。

圖3 基于差分陣列的空間譜估計性能

實驗2 不同信噪比下的均方誤差性能

從圖4的仿真實驗可以看出，相比于ESPRIT算法、PM算法和 PARAFAC算法，本文所提算法的均方誤差估計性能明顯優(yōu)于以上3種算法；相比于Tensor 子空間算法，在信噪比大于 8 dB時，本文所提算法的性能較好，其中圖4中的下標(biāo) d 和 p分別表示角度參數(shù)和極化參數(shù)。通過以上的蒙特卡羅仿真實驗可以看出，本文通過對差分陣列的利用可以明顯地提升雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計性能。

圖4 均方誤差隨信噪比的變化

實驗3 不同采樣快拍數(shù)下的均方誤差性能

下面驗證不同算法的均方誤差隨采樣快拍數(shù)的變化，此時快拍數(shù)L的變化范圍為 [40:40:520]，信噪比設(shè)置為10 dB，其余仿真實驗參數(shù)和實驗2相同。

從圖5的仿真實驗可以看出，隨著快拍數(shù)L的增加，各種算法的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計均方誤差呈現(xiàn)減小趨勢，即估計性能均能得到有效的提升。但相比于ESPRIT 算法、PM算法、 PARAFAC算法和Tensor 子空間算法，本文所提算法在采樣快拍數(shù)較少時仍然具有較好的角度參數(shù)和極化參數(shù)均方估計誤差，且角度和極化均方誤差大小均小于 1?。

圖5 均方誤差隨快拍數(shù)的變化

5 結(jié)論

本文通過對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中發(fā)射/接收EMVS的差分陣列的構(gòu)建有效地實現(xiàn)了對發(fā)射4維參數(shù)和接收4維參數(shù)的高精度估計。本文所提算法的意義在于利用高階張量的運算規(guī)則有效地解決了發(fā)射/接收電磁矢量傳感器空間響應(yīng)和發(fā)射/接收陣列導(dǎo)向矩陣之間的耦合。該處理過程能夠有效地實現(xiàn)陣列孔徑的倍增，從而提升雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的8維參數(shù)的估計性能。并且，本文所提算法的處理流程可以進(jìn)一步推廣應(yīng)用于雙基地EMVSMIMO雷達(dá)中稀疏發(fā)射/接收EMVS的差分陣列結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，從而獲得更大陣列自由度的提升。