析元運動求解無限次碰撞問題*
——湖南省2022年學業水平選擇性考試物理卷第14題第(3)問的探析

馬林園 曾長興

(深圳市龍崗區華中師范大學龍崗附屬中學 廣東 深圳 518172)

湖南省2022年普通高中學業水平選擇性考試物理卷第14題,是一道以籃球運動為背景的無限次碰撞問題,屬于生產實踐情境類的原始問題.在解題時,學生往往困難重重,特別是對第(3)小問,學生普遍感覺難度較大,部分教師對此也很難正確判斷.本文以該題為例,對無限次碰撞問題做深入分析,探討出有用的解題思路和方法,以期對高三備考有所幫助.

1 原題呈現

圖1 原題題圖

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比;

(2)若籃球反彈至最高處h時,運動員對籃球施加一個向下的壓力F,使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處,力F隨高度y的變化如圖1(b)所示,其中h0已知,求F0的大小;

(3)籃球從H高度處由靜止下落后,每次反彈至最高點時,運動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短),瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I,經過n次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處,求沖量I的大小.

2 對前兩問的分析與解答

(1)設籃球與地面碰撞的碰后速率為v2,碰前速率為v1,則由題意得

籃球在下落過程中,根據動能定理得

籃球反彈至最高點,根據動能定理得

聯立解得

(2)籃球反彈至最高點時,運動員對籃球施加一個向下的力,根據動能定理得

根據第(1)問的描述可知,籃球落地反彈的速率為

v4=kv3

籃球反彈至最高點,根據動能定理得

聯立解得

3 關于第(3)問的基本思路分析

3.1 試題情境分析與轉化實施路徑

在物理教學中,應讓學生獲得在實際情境中解決物理問題的大量經驗,形成把情境與知識相關聯的意識和能力[1].在實際的問題解決中,把問題中的實際情境轉化成解決問題的物理情境,建立相應的物理模型,是解決問題的關鍵.由此,我們建立了基于問題解決的試題情境分析與轉化實施路徑,如圖2所示.

圖2 試題情境分析與轉化實施路徑

該實施路徑要求學生能夠從復雜的實際情境問題中提取關鍵物理信息,將研究對象和過程轉化成物理模型,實現情境問題轉化成物理問題;然后運用科學思維對物理過程綜合分析,利用物理概念和規律對物理問題推理論證,獲得正確規律和結論;最后運用數學工具解決實際問題,利用運算結果解釋問題情境,通過判斷是否符合物理意義,檢查結果是否科學.

3.2 無限次碰撞問題解題思路框架

碰撞問題是學習的重點和難點,也是歷年高考常考考點.本題以拍籃球真實情境為背景,考查力與運動、功和能量、動量等物理核心知識.籃球豎直下落,在與地面發生非彈性碰撞前做勻加速運動,碰撞后做勻減速直線運動.雖然碰撞前后的速度不連續,但每次碰撞均滿足相同規律,我們稱之為無限次碰撞問題.基于問題解決的試題情境分析與轉化實施路徑,我們提出了無限次碰撞問題解題思路框架,如圖3所示.

圖3 無限次碰撞問題解題思路框架

該框架以情境分析、模型建構、推理論證、探究規律、數學應用為主要階段進行該題的問題解決.其中,模型建構是解決該題的核心,而探究規律是解決該題的關鍵.析元運動,就是在重復運動過程中,選取一段運動為元運動,根據碰撞規律得出第n次碰撞后的速率與第n-1次碰撞后的速率關系(或者位移關系等),構建等差或等比數列,從而實現問題的解決.

4 關于第(3)問的進一步探析

按照物體間無限次碰撞問題解題思路框架,利用析元運動的解題思路,我們將第(3)問的分析過程分成4個步驟,即:情境分析,模型建構;析元運動,推理論證;探究規律,數學處理;搭架簡化,解釋檢驗.

4.1 情境分析 模型建構

籃球從高處下落做勻加速直線運動,與地面發生非彈性碰撞(速率前后比一定),反彈后向上做勻減速運動,運動員在最高點瞬間給籃球一個沖量,使籃球獲得一定初速度.此后,籃球重復前次相同的運動規律,直至原來的高度.每一個階段,籃球都經歷四個過程:最高點獲得相同速度、勻加速下落、碰撞及勻減速上升,運動過程如圖4所示.

圖4 籃球運動過程示意圖

4.2 析元運動 推理論證

由于籃球每次都重復相同的運動規律,我們可以取第n-1次碰撞后到第n次碰撞前為一個元運動,分析籃球在這個階段的運動規律.設每次拍球時,籃球獲得速度為v,第n次拍球后,籃球與地面相碰前速率為vn,反彈后速率為v′n,碰撞后與碰前速率之比為k,籃球與地面碰撞反彈后上升到最高點距離為hn,則

籃球第n-1次與地面碰撞反彈至最高點,根據動能定理得

(1)

因為拍打的時間極短,重力的沖量可忽略不計,則根據動量定理可知

I=mv

(2)

拍打第n次下降過程中,根據動能定理得

(3)

籃球與地面第n次碰撞前后速率關系為

v′n=kvn

(4)

由第(1)問可知

聯立式(1)～(4),解得

(5)

4.3 探究規律 數學處理

通過析元運動,得到了籃球與地面第n次碰撞后速率v′n與第n-1次碰撞后速率v′n-1之間的關系,可以進一步探究第n次碰撞后上升高度hn與第n-1次碰撞后上升高度hn-1之間的規律,分析過程如下.

籃球第n次與地面碰撞反彈至最高點,根據動能定理得

(6)

聯立式(1)、(5)、(6),解得

(7)

由式(7)構造等比數列,可得

(8)

其中n=1時,h0=h,故等比數列首項為

其通項表達式為

由題意知,n次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處,即hn=H,解得

4.4 搭架簡化 解釋檢驗

通過數學深入研究物理本質,才能揭示出數學和物理學之間強烈的概念關系[2].鑒于此,我們有必要對運算結果進行整理與分析,讓學生深入挖掘無限次碰撞問題的物理本質,以此提升習題教學的效果.題目3問都求解完成了,我們可以追問一個問題:如果在最高點時不給籃球沖量,那么籃球由靜止下落到最終停止時經過的總路程是多少?下面來分析一下.

根據題設條件,不給籃球沖量,則I=0,由式(7)得

(9)

籃球運動總路程等于H加上與地面每次碰撞反彈后上升高度之和的2倍,即

在上述問題求解的過程中,我們發現籃球與地面無限次碰撞的物理本質,即

所以在最高點時不給籃球沖量,前面的分析依然有效.不過,當在最高點時給籃球瞬間沖量時,即有

(10)

式中b為常量.

將式(10)化簡,可以得到

這正是式(8)所要得到的物理規律,體現了一般性無限次碰撞的物理本質.

5 總結及啟示

通過逐步求解完這道題目,回過頭來想想我們在分析第(3)問時存在困難,主要表現為以下兩點:一是學生存在心理恐懼感,覺得壓軸題前面兩問都這么復雜,那么第三問就更沒戲了;二是在面對問題情境時,試圖一次性想明白籃球的運動狀態,但大都是經驗性判斷,最終無法得到正確結論.作為物理學科的壓軸題,其實該題第(3)問計算量并不太大,重在考查學生思考問題的能力.對于困難一,我們建立情境分析與轉化的實施路徑,對實際問題情境進行抽象、概括提取關鍵信息、建構物理模型.對于困難二,我們提出析元運動解題思路,把元運動的狀態和經歷的過程及其物理規律數學化,挖掘問題情境的物理本質.基于以上認識,結合近幾年高考試題特點,我們對高三復習提出以下幾點教學建議與啟示.

首先,創設變式情境,引導思維教學.高考物理試題注重把常規模型賦予新的物理情境,融合多個知識點,考查學生的知識遷移能力,檢驗學生分析物理模型的能力.這啟示我們,在日常教學中,教師要把基本物理模型融入到新情境中,不斷進行情境變式,搭建思考的腳手架,引導學生在新情境中建構模型,應用老模型解決新問題.

其次,夯實必備知識,提升關鍵能力.新高考的命題已由知識立意轉向能力和素養立意,關注點是必備知識和關鍵能力.在這種情況下,有效培養學生的能力、發展學生的核心素養才是教學的最終目標.在高三復習中,教師要強調對核心概念理解,掌握物理規律的形成過程,善于對規律與方法的應用進行拓展與延伸,以提高解決綜合問題的關鍵能力和核心素養.

最后,規范科學表述,提升數學素養.物理學科的一個突出的特點是“數學是物理學習的語言和工具”,不會利用數學工具是無法解決復雜的物理問題的.在高中物理教學中,教師需培養學生運用物理規律把各物理間的關系列出,利用函數、方程等數學知識求解,把物理問題轉化為數學問題,要把數學的思維方法遷移到物理的學習中,不斷訓練和強化學生的數學與物理思維有機融合能力[3].