論計算勻質半球體質心的微元選取

曾 山

(中國礦業大學化工學院 江蘇 徐州 221116)

質心是一個很重要的概念,其實質心是與質心系質量分布有關的一個代表點,它的位置在平均意義上代表著質量分布的中心.我們要研究物體的整體運動,就只需找到這個物體的質心,則物體任何一部分的運動一般都可以分解為質心的運動和物體該部分相對于質心的運動.

1 質心的定義

如圖1所示的物體,我們用mi和ri表示物體系統中第i個質點的質量和位矢,則質心C的3個直角坐標被定義為

圖1 質心的位置

其矢量式為

對質量連續的物體,如本文將討論的勻質半球體,可以當成質點系,質點就成為微小的質量元,把求和改為積分,即

2 問題的引入

計算一半徑為R、質量為M的勻質半球體的質心位置,通過5種微元的選取方法來得到結果.不妨設其密度為ρ.

3 微元的選取

3.1 直角坐標系下取dxdydz

如圖2所示,半球體可看作無窮多個長方體,其邊長分別為dx、dy和dz.我們選用最常用的體積微元dV=dxdydz,則質量微元

圖2 半球體可看作無窮多個長方體

dm=ρdV=ρdxdydz

對其積分

而半球體質量M可表示為

即

(1)

從而得到

3.2 柱坐標系下取dθdrdz

如圖3所示,半球體可看作無窮多個柱體,其底面積為rdθdr,高為dz.從而選取體積微元dV=rdθdrdz,則質量微元

圖3 半球體可看作無窮多個柱體

dm=ρrdθdrdz

對其積分

與式(1)聯立,從而得到

3.3 球坐標系下取dθdφdr

如圖4所示,在球面坐標系下,半球體可看作無窮多個曲面六面體的組合,這些曲面六面體可近似看作長方體,其經線方向的長為rdφ,緯線方向的寬為rsinφdθ,徑向方向的高為dr.從而選取體積微元

圖4 半球體可看作無窮多個曲面六面體

dV=r2sinφdθdφdr

則質量微元[1]

dm=ρr2sinφdθdφdr

對其積分

與式(1)聯立,從而得到

3.4 薄圓盤高度取dz

如圖5所示,半球體可看作無窮多個薄圓盤,圓盤的底面積為Sz,圓盤的高為dz,選取體積微元為dV=Szdz,如圖5所示.

圖5 半球體可看作無窮多個薄圓盤

由幾何關系,有

Sz=π(R2-z2)

則質量微元

dm=ρπ(R2-z2)dz

對其積分

與式(1)聯立,從而得到

3.5 薄球殼厚度取dr

圖6 半球體可看作無窮多個薄半球殼

(2)

因此可以對無窮多個薄半球殼進行如下微元選取和積分.

對應體積微元dV=2πr2dr,則質量微元

dm=2πρr2dr

對其積分

將式(2)代入上式,得

與式(1)聯立,從而得到

4 結論

通過上述5種微元選取的方法,了解了在積分過程中微元選取方法的多樣性,亦即計算物體質心位置方法的多樣性,在具體問題中,可以視微元選取的簡便性采用不同的微元取法.

但我們知道,微元的選取方法遠不止上述5種,質心位置的計算方法也不僅如此,在具體計算中,還可以借助一些轉換[2]來簡化計算和拓寬思路.

在大學物理的學習過程中,微元法作為一種廣泛的分析方法,在計算物體的質心位置、轉動慣量、非保守力做功、電場和電勢的分布、穩恒電流的磁場分布等問題中都有涉及.因而需要用到不同的微元法對問題進行分析,這也是我們討論多種微元選取方法的意義所在.